ALGÈBRE 1

Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1 1 Enonc´es Exercice 1 On rappelle que (E,+,·) est un K-espace vectoriel si (I) (E,+) est un groupe commutatif;

Algèbre et Analyse Recueil d’Exercices Corrigés

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ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

Exercice 1 : Soit E l’ensemble défini par E { (x ,x ,x ) R /x 1 2x 2 x3 0} 3 = 1 2 3 ∈ + − = Montrer que E est un sev de R3 Exercice 2 : Soit E un ev sur K et F1 et F 2 deux sev de E Montrer que F1 IF2 est un sev de E 3 Somme de 2 sev Théorème : Soit F 1 et F 2 deux sev de E

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Exercices dAlgèbre

C Bajard et S Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 () 2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 14 4 1 3 14 50 0214 0411 04199 04190 drg rg rg rg

Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1

5 Démontrer que est un homomorphisme de groupe si et seulement si le groupe est abélien Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23 Soit ( ) un groupe d’élément neutre 1 Soit l’application de dans qui à tout élément son inverse Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est abélien 2

ALGÈBRE 1 - École Normale Supérieure

Exercice 1 2 —Soit G un groupe tel que g2 ˘e pour tout g 2G Montrer que G est abélien Exercice 1 3 —Montrer que GLn(Q) est dense dans GLn(R) 1 2 Sous-groupes, générateurs — Une partie H d’un groupe G est appelée un sous-groupe (on note H•G, et H ˙G si de plus H 6˘G) si la loi de composition de G se restreint

ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1

1 1 3 D efinition On appelle groupe commutatif, ou groupe ab elien , tout groupe G dont la loi ? v eri e de plus la condition suppl emen taire de commutativit e: x y = y x pour tous x;y 2 G 1 1 4 Exemples (a) Pour tout ensemble X, l’ensemble S(X) des bijections de X sur X muni de la loi de

DEUX CENT DIX-NEUF EXERCICES D’ALGÈBRE POUR LA LICENCE DE

L’hypothèse de commutativité du groupe est indispensable dans l’exercice 2 12, en voiciunepreuve Onconsidèrelegroupeaﬃne G commedansl’exercice1 16,dontonavuqu’iln’est pascommutatif Montrerqueleséléments x7→−x et x7→−x +1 sontd’ordre2 maisqueleurproduit

6 janvier 2016

ALGÈBRE 1

TABLE DES MATIÈRES

I. Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Généralités sur les groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Groupes opérant sur un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Groupes abéliens de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Le groupe GL

n(Z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Groupes simples et suites de composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Groupes résolubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7. Groupes nilpotents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8. Croissance des groupes de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II. Groupes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1. Préliminaires sur les corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Le groupe linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Formes bilinéaires et quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Théorème de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6. Groupe de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7. Groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8. Groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9. Formes sesquilinéaires et hermitiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10. Groupe unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11. Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

III. Algèbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1. Produit tensoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2. Algèbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

3. Algèbre extérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

4. Pfaffien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

5. Algèbre symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

6. Algèbre de Clifford et groupe spinoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

6TABLE DES MATIÈRES

IV. Représentations des groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

1. Représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

2. Caractères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

3. Propriétés d"intégralité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

CHAPITRE I

GROUPES

1. Généralités sur les groupes

1.1. Définition. -Ungroupeest la donnée d"un ensemble G muni d"une loi de compo-

sition

G£G!G

(g1,g2)7!g1g2 et d"unélément neutre e2G satisfaisant les propriétés suivantes

1°associativité: pour tousg1,g2,g3dans G, on a

(g1g2)g3AEg1(g2g3) ;

2°élément neutre(nécessairement unique)

8g2GgeAEegAEg;

3°inverse: chaque élémentgde G admet un inverse (nécessairement unique), c"est-

à-dire un élémentg¡1de G tel que

¡1AEg¡1gAEe.

On note aussi souvent 1 l"élément neutre. Pour tout élémentgd"un groupe G, et tout n2Z, on note g nAE8 >>>>:nfoisz}|{ g¢¢¢gsinÈ0 ; esinAE0 ;

¡nfoisz}|{

¡1¢¢¢g¡1sinÇ0.

Sim,n2Z, on a alors la formule habituelle

g mÅnAEgmgn. On dit que G estabélien(ou commutatif) si, pour tousg1,g22G, on ag1g2AEg2g1.

Dans ce cas, on note généralement la loi de composition additivement (g1Åg2), l"élément

neutre 0, et l"inverse degest appelé l"opposé, noté¡g.

8CHAPITRE I. GROUPES

On dit que le groupe G estfinisi c"est un ensemble fini. On appelle alors son cardinal sonordre,notéjGj.

Si G et G

0sont des groupes, on peut former un groupe G£G0appeléproduit directen

munissant l"ensemble produit de la loi de composition (g1,g01)(g2,g02)AE(g1g2,g01g02). Exemples 1.1. -1° L ap aire( Z,Å) est un groupe abélien.

2° SiKest un corps(1)(commeQ,RouC), (K,Å) et (K£,£) sont des groupes abéliens;

plus généralement, pour un anneau A, on a le groupe abélien (A,Å) et le groupe multipli- catif (A £,£) des unités de A (les éléments de A inversibles dans A). sont ditscycliques.

4° Si X est un ensemble, l"ensemble Bij(X) des bijections de X dans X, muni de la com-

position des applications, est un groupe. En particulier, le groupe symétriqueSndes bi- jections de l"ensemble {1,...,n} est un groupe fini d"ordren!, non abélien pournÊ3.

général linéaireGLn(K). Si E est unK-espace vectoriel, les applications linéaires bijectives

de E dans E forment un groupe GL(E); si E est de dimension finien, le choix d"une base de

E fournit un isomorphisme entre GL(E) et GL

n(K). Les applications affines bijectives de E dans E (c"est-à-dire les applications du typex7!u(x)Åb, avecu2GL(E) etb2E) forment aussi un groupe, legroupe général affine,noté GA(E).

6° Plus généralement, si A est un anneau commutatif, on peut former le groupe GL

n(A) des matrices inversibles d"ordrenà coefficients dans A : il s"agit exactement des matrices dont le déterminant est dans A £(2). Par exemple, le groupe GLn(Z) est constitué des ma- tricesn£nà coefficients entiers de déterminant§1. Exercice 1.2. -S oitG u ngr oupet elqu eg2AEepour toutg2G. Montrer que G est abélien. Exercice 1.3. -M ontrerq ueGL n(Q) est dense dans GLn(R).

1.2. Sous-groupes, générateurs. -Une partie H d"un groupe G est appelée unsous-

groupe(on note H·G, et HÇG si de plus H6AEG) si la loi de composition de G se restreint à H et en fait un groupe, ce qui est équivalent aux propriétés suivantes :

1°e2H;

2° pour tou sh1,h22H, on ah1h22H; 3° pour tou th2H, on ah¡12H. Exemples 1.4. -1° L "intersectiond "unef amillequ elconquede sous- groupesd "un groupe G est un sous-groupe de G.

2° Les sous-groupes deZsont lesnZpourn2N.1. Dans ces notes, un corps est toujours commutatif, sauf mention expresse du contraire.

2. Si une matrice M admet un inverse M

¡1à coefficients dans A, on obtient, en prenant les dérteminants

dans la formule M¢M¡1AEIn, la relation d´et(M)d´et(M¡1)AE1, qui entraîne que d´et(M) est inversible dans A.

Inversement, si d

´et(M) estinversible dans A, laformule M¢tcom(A)AEd´et(M)Inentraîne que Madmetuninverse

à coefficients dans A.

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES9

3° Le groupe O

n(R) des matrices M de taillen£nréelles orthogonales (c"est-à-dire qui satisfont tMMAEIn) est un sous-groupe du groupe GLn(R).

4° Soitnun entierÊ2. Legroupe diédralDndes transformations orthogonales deR2

préservant les sommets d"un polygone régulier àncôtés centré à l"origine est un sous-

groupe d"ordre 2nde O2(R) : sirest la rotation d"angle2¼n etsla symétrie par rapport à une droite passant par l"un des sommets, on a D nAE{Id,r,...,rn¡1,s,rs,...,rn¡1s}, avecrsrsAEId. On peut voir aussi Dncomme un sous-groupe du groupeSn, puisque ses

éléments permutent lesnsommets du polygone.

5° Lecentre

Z(G)AE{h2Gj8g2GghAEhg}

Par exemple, le centre de GL

n(K) est constitué des homothéties.

Exercice 1.5. -Q uelest l ec entredu gr oupeD n?

Exercice 1.6. -Q uelest l ec entredu gr oupeSn?

Proposition 1.7. -SoitAune partie d"un groupeG. Il existe un plus petit sous-groupe de GcontenantA. On l"appellesous-groupe engendréparAet on le notehAi.

Démonstration. -I ly a deux cons tructionséq uivalentes.L ap remièrecon sisteà d éfinir

hAicomme l"intersection de tous les sous-groupes de G contenant A (utiliser l"ex. 1.4.1°). La seconde construction consiste en la description explicite :

hAiAE{x"11x"22¢¢¢x"nnjn2N,xi2A,"i2{1,¡1}}.Unepartie AdeGestunepartiegénératricedeG,ouengendreG,ouestunensemblede

générateurs de G, sihAiAEG. On dit que G estde type finis"il admet une partie génératrice

finie. Tout groupe fini est bien sûr de type fini. Attention : un sous-groupe d"un groupe de type fini n"est pas nécessairement de type fini (cf.exerc. 1.11)! premier àn.

2° Voici trois ensembles de générateurs pour le groupe symétriqueSn:

tou tesle str anspositions; l est ranspositions(1 2),(23),...,((n¡1)n); l at ransposition(12 )et le cy cle(12 ¢¢¢n).

3° Avec les notations précédentes, le groupe diédral D

nest engendré par la rotationret la symétries. Exercice 1.9. -M ontrerq u"ungr ouped et ypefini est dénombr able. Exercice 1.10. -M ontrerq uel eg roupe( Q,Å) n"est pas de type fini.

10CHAPITRE I. GROUPES

Exercice 1.11. -S oitG le sous- groupe(d et ypefin i)de GL 2(Q) engendré par les matricesµ2 0 etµ1 1 . Montrer que le sous-groupe de G qui consiste en les éléments de G dont les coefficients diagonaux sont tous les deux égaux à 1 n"est pas de type fini (3).

1.3. Morphismes (de groupes). -Unmorphisme de groupesest la donnée d"une appli-

cationf:G!G0entre groupes, satisfaisant

8g1,g22Gf(g1g2)AEf(g1)f(g2).

Sifest bijective, son inversef¡1est aussi un morphisme (de groupes) et on dit quefest unisomorphisme. Si en outre GAEG0, on dit quefest unautomorphismede G. Sif:G!G0est un morphisme de groupes, lenoyauet l"imagedef, ker(f)AE{g2Gjf(g)AEe} , im(f)AE{f(g)jg2G} sont des sous-groupes de G et G

0respectivement. Plus généralement, l"image inverse par

fde tout sous-groupe de G0est un sous-groupe de G, et l"image parfde tout sous-groupe de G est un sous-groupe de G 0. si im(f)AEG0. Exemples 1.12. -1° S oitn2N. La surjection canoniqueZ!Z/nZest un morphisme surjectif. Son noyau est le sous-groupenZdeZ. le noyau est legroupe alternéAn. Ce groupe est engendré par les 3-cycles (abc), car (ab)(ac)AE(acb) et (ab)(cd)AE (acb)(acd).

3° L"application exponentielle exp : (C,Å)!(C£,£) est un morphisme surjectif. Son

noyau est le sous-groupe 2i¼ZdeC.

4° SoitKun corps. Le déterminant d´et : GLn(K)!K£est un morphisme surjectif. Son

noyau est legroupe spécial linéairedes matrices de déterminant 1; il est noté SLn(K).

5° L"ensemble des automorphismes d"un groupe G, muni de la loi de composition des

applications, est un groupe noté Aut(G).

Sig2G, l"application

g:G¡!G x7¡!gxg¡1 est un automorphisme de G. Un tel automorphisme de G est appeléautomorphisme inté- rieurde G et

est un morphisme de groupes dont le noyau est le centre Z(G).3. Un théorème de Higman, Neumann et Neumann dit que les sous-groupes des groupes de type fini sont

tous les groupes dénombrables (dont la plupart ne sont pas de type fini!).

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES11

1.4. Classes à gauche. -Soit H un sous-groupe d"un groupe G. On définit sur G une

relation d"équivalenceRpar g

1Rg2() 9h2Hg2AEg1h.

Les trois propriétés caractéristiques des relations d"équivalence (réflexivité, symétrie,

transitivité) se vérifient facilement. La classe d"équivalence d"un élémentx2G est gHAE{ghjh2H}. Les partiesgH (pourg2G) sont appeléesclasses à gauchede G, et l"ensemble quotient de G parR, c"est-à-dire l"ensemble des classes à gauche, est noté G/H. Si cet ensemble est fini, son cardinal, noté [G:H], est appelé l"indicede H dans G. On peut définir aussi lesclasses à droitecomme les ensembles HgAE{hgjh2H}, et

l"ensemble des classes à droite est noté H\G. Heureusement, il est à peu près indifférent

d"utiliser des classes à droite ou à gauche, car l"application inverseÁ: G!G,g7!g¡1, envoiegH sur Hg¡1, donc envoie classes à gauche sur classes à droite, induisant ainsi une bijection

G/H¡!H\G.

Soitg2G. L"application H!G,h7!gh, induit une bijection

H¡!gH.

En particulier, si H est fini, le cardinal d"une classe à gauchegH est égal à l"ordre de H. Les

classes à gauche forment donc une partition de G par des classes de même cardinal. On en déduit le résultat suivant. Théorème de Lagrange 1.13. -SoitHun sous-groupe d"un groupe finiG. On a jGjAEjHj[G:H]. En particulier, l"ordre d"un sous-groupe deGdivise l"ordre deG. Exercice 1.14. -S oitG u ng rouped etype fin iet soi tH un sou s-grouped "indicefini de G . Montrer que H est de type fini (Indication :sia1,...,amengendrent G, et sig1H,...,gnH sont les classes à gauche, avecg1AEe, on pourra montrer que l"ensemble fini H\{g¡1iakgjj1É kÉm, 1Éi,jÉn} engendre H).

1.5. Sous-groupesdistingués. -Onditqu"unsous-groupeHd"ungroupeGestunsous-

groupe distingué, ousous-groupe normal, et on note HEG (et HCG si de plus H6AEG), s"ilquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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ALGÈBRE 1

6 janvier 2016

ALGÈBRE 1

TABLE DES MATIÈRES

1. Généralités sur les groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Groupes opérant sur un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Groupes abéliens de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Le groupe GL

5. Groupes simples et suites de composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Groupes résolubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7. Groupes nilpotents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8. Croissance des groupes de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1. Préliminaires sur les corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Le groupe linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Formes bilinéaires et quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Théorème de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6. Groupe de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7. Groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8. Groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9. Formes sesquilinéaires et hermitiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10. Groupe unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11. Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1. Produit tensoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2. Algèbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

3. Algèbre extérieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

4. Pfaffien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

5. Algèbre symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

6. Algèbre de Clifford et groupe spinoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

6TABLE DES MATIÈRES

1. Représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

2. Caractères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

3. Propriétés d"intégralité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

CHAPITRE I

GROUPES

1. Généralités sur les groupes

1.1. Définition. -Ungroupeest la donnée d"un ensemble G muni d"une loi de compo-

G£G!G

1°associativité: pour tousg1,g2,g3dans G, on a

2°élément neutre(nécessairement unique)

8g2GgeAEegAEg;

3°inverse: chaque élémentgde G admet un inverse (nécessairement unique), c"est-

à-dire un élémentg¡1de G tel que

¡1AEg¡1gAEe.

¡nfoisz}|{

¡1¢¢¢g¡1sinÇ0.

Sim,n2Z, on a alors la formule habituelle

8CHAPITRE I. GROUPES

Si G et G

0sont des groupes, on peut former un groupe G£G0appeléproduit directen

2° SiKest un corps(1)(commeQ,RouC), (K,Å) et (K£,£) sont des groupes abéliens;

4° Si X est un ensemble, l"ensemble Bij(X) des bijections de X dans X, muni de la com-

E fournit un isomorphisme entre GL(E) et GL

6° Plus généralement, si A est un anneau commutatif, on peut former le groupe GL

1.2. Sous-groupes, générateurs. -Une partie H d"un groupe G est appelée unsous-

1°e2H;

2° Les sous-groupes deZsont lesnZpourn2N.1. Dans ces notes, un corps est toujours commutatif, sauf mention expresse du contraire.

2. Si une matrice M admet un inverse M

Inversement, si d

à coefficients dans A.

1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES9

3° Le groupe O

4° Soitnun entierÊ2. Legroupe diédralDndes transformations orthogonales deR2

éléments permutent lesnsommets du polygone.

5° Lecentre

Z(G)AE{h2Gj8g2GghAEhg}

Par exemple, le centre de GL

Exercice 1.5. -Q uelest l ec entredu gr oupeD n?

Exercice 1.6. -Q uelest l ec entredu gr oupeSn?

2° Voici trois ensembles de générateurs pour le groupe symétriqueSn:

3° Avec les notations précédentes, le groupe diédral D

10CHAPITRE I. GROUPES

1.3. Morphismes (de groupes). -Unmorphisme de groupesest la donnée d"une appli-

8g1,g22Gf(g1g2)AEf(g1)f(g2).

0respectivement. Plus généralement, l"image inverse par

3° L"application exponentielle exp : (C,Å)!(C£,£) est un morphisme surjectif. Son

4° SoitKun corps. Le déterminant d´et : GLn(K)!K£est un morphisme surjectif. Son

5° L"ensemble des automorphismes d"un groupe G, muni de la loi de composition des

Sig2G, l"application