[PDF] Cours dalgèbre linéaire, 2 ème année duniversité

Chapitre 16 : Algèbre linéaire - WordPresscom

5 Écrire 2X2 +3X −1 comme combinaison linéaire de la famille (1,X,X2) 6 Écrire 2X2 +3X −1 comme combinaison linéaire de la famille (1,X +1,X2 +X +1) Comme on vient de le voir, certaines familles sont très pratiques pour écrire des combinaisons linéaires

Algèbre linéaire et calcul MAT102 - Université de Sherbrooke

la place de l’addition, l’ensemble des polynômes de degré 2 n’est pas un espace vectoriel car le produit de deux polynômes de degré 2 est un polynôme de degré 4 (en général) qui n’appartient pas à l’ensemble de départ des polynômes de degré 2; l’opération (de multiplication) choisie n’est pas une loi interne

ALGÈBRE LINÉAIRE : RÉVISIONS ET COMPLÉMENTS

n[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un sous-espace vectoriel de K[X] L’ensemble des polynômes de degré égal à n n’en est pas un Lemme 1 12 Soit (F i) i2I une famille de sous-espaces vectoriels de E Leur intersection F = T i2I F i est un sous-espace vectoriel de E Proposition-DØfinition 1 13 Soit A une partie

Algèbre 4 – Polynômes

3 Découle de la question précédente : V est décroissante, et chute davantage que la multiplicité des racines de P 4 Se restreindre à un compact englobant toutes les racines positives de P 5 Si k est le nombre de 0 dans la suite des coefficients, il y a au plus n−k changements de signe stricts Compter les racines

CHAPITRE 1 Compléments d’algèbre linéaire

Rappelons qu’une famille de polynômes non nuls de K[X] est dite échelonnée en degré si les polynômes de la famille sont de degrés deux à deux distincts Proposition1: Toutes famille de polynômes non nuls de K[X] échelonnée en de-gré est libre Exemple 2 : La famille (Pk)k2N de K[X] où Pk ˘ X2k ¯Xk ¯1 est libre I B -Familles

Cours dalgèbre linéaire, 2 ème année duniversité

férentielle, semi groupes de matrices stochastiques, le cochonnet monstrueux de l'exercice II 4 10, base de Schmidt du tétraèdre régulier, quaternions, simplicité de SO(3), ombres d'un cube, algèbres de von Neumann de dimension nie, inégalité de Mar£enko Pastur, décomposition de Cholewsky pour les arbres, graphes de Dynkin

1 Polynômes et monômes

Il convient de distinguer le polynôme nul, qui est sans monômes (une sommation indexée sur l’ensemble vide est nulle par convention) ; le polynôme nul n’a pas de degré (ou bien on convient de lui attribuer le degré -1 ) Un polynôme de degré nul, c’est donc une constante non nulle

Polynômes - Département de Mathématiques d’Orsay

1 4 Relation de Bezout 1 4 1 SOURCE Etant donné deux polynômes A et B de R[X], le théorème de Bezout affirme que A et B sont premiers entre eux dans R[X] si et seulement si il existe un couple (U,V) de polynômes de R[X] tel que AU + BV = 1 On suppose que A et B sont premiers entre eux a Montrer que, si les couples (U 1,V 1) et (U 2,V

Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange

Correction : Ici on procède de la même manière que précédemment en remar- quant que 1 et 2 sont racines de P c On obtient par le même raisonnement que précédemment P c(X) = −(X−2)(X−1)

Exo7 - Cours de mathématiques

Voici des exemples de démonstrations : 4 Il suffit de comparer les deux assertions « non(P et Q)» et « (non P) ou (non Q)» pour toutes les valeurs possibles de P et Q Par exemple si P est vrai et Q est vrai alors « P et Q » est vrai donc « non(P et Q)» est faux; d’autre part (non P) est faux, (non Q) est faux donc « (non P) ou

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[PDF] ALGO 1ère Mathématiques

x=x1e1+···+xqeq. e

1= [1,0,...,0]T, e2= [0,1,...,0]T, ...,ep= [0,0,...,1]T

e=Iq.???? ?? [a(x)]f= [a]fe[x]e.????? [b◦a]ge= [b]g f[a]fe.????? f ????x?E?? ? [x]e?= [id]e? e[idE]e=P-1[x]e.????? [a]f? e ?= [idF]f? f[a]fe[idE]ee?=Q-1[a]feP.????? [a]e? e ?= [idE]e? e[a]ee[idE]ee?=P-1[a]eeP.????? q

D= diag(λ1Im1,...,λpImp).

A= diag(A11,...,App).

????? ??? ??????? ??????? ?? ???????q(q+ 1)/2? ?? ??? ???? ?????? ??? ??? ?????? ??? -1P(x)dx?? ?? ??? ???Rek??fk??? e k(x) =e(2k-n)x, fk(x) = (sinhx)k(coshx)n-k. k=0ckek ?1 0 ca 1?? a0

0d-bca

1ba 0 1? =?a b c d? ?Ip0 C 1Iq?? A0 0D1?? IpB1 0Iq? =?A B C D? ?Ip0 C 1Iq? C D? ??[b]f= [b1,...,bp]T.??e?= (e?1,...,e?q)??f?= (f?1,...,f?p)???? ??? ????? ?????? ??? e [a]ee=?A B 0C? m ik=p? j=1a ijbjk ?? ???? ?????(AB) =?q i=1? p

A=?1 0

1 1? , B=?1 0 0 2? , C=?1 1 0 1? ????? ??E? ????a?L(E).???????det[a]ee= det[a]e? e ?,???????[a]ee=?????[a]e? e ???? ?????? ????? ? ???? ???Aij= 0??i > j.????? detA= detA11detA22...detAnn. 0A22?

σ?Sp?(σ)f(σ)????

f(σ) =p 1? i=1a iσ(i)p i=p1+1a iσ(i). ??????(σ1σ2) =?(σ1)?(σ2)?? ?????? ? detA= (?

1?(σ1)p

1? i=1a iσ1(i))(?

2?(σ2)p?

i=p1+1a iσ2(i)) = detA11detA22. A=? ??A

11A12... A1n

0A22... A2n

0 0... Ann?

0B22? B 11=? ??A

11A12... A1,n-1

0A22... A2,n-1

0 0... An-1,n-1?

????? ??? ????? ??2q?????? ????? ? det(A+B) =?

T?{1,...,q}detATdetBT?.

det(DA+B) =?

σ?Sq?(σ)q?

i=1c iσ(i)=?

σ?Sq?(σ)q?

i=1(λiaiσ(i)+biσ(i)).????? det(DA+B) =?

T?{1,...,q}c

T? j?Tλ j ?? ???cT???? ????K.???? ?????? ??????? ???cT= detATdetBT?.?? ??????? ????? ...=λq= 0.?? ??????? ????? ??????? det(DA+B) =?

σ?Sq?(σ)k?

i=1(λiaiσ(i)+biσ(i))q? i=k+1b iσ(i).

1...λk?????k

i=1(λiaiσ(i)+biσ(i))?q S k i=1a iσ1(i)k i=k+1b iσ2(i).

1?Sk?(σ1)k?

i=1a iσ1(i)?

2?Sq-k?(σ2)q?

i=k+1b iσ2(i)) = detA{1,...,k}detB{k+1,...,q} det ?A B C D? = det(A)det(D-CA-1B). det?A B C D? = det(AD-CB). p??q.??????? ???XTAY=?????(AY XT). ?????? ???b?→?????b). det ?A-B B A? =|det(A+iB)|2. ?IqiIq iI qIq?? A-B B A?? IqiIq iI qIq? -1 P kXPk=xkkPk??f(XPk) =f(PkXPk) =xkkf(Pk). U kP1U-1 k.???? ????c=f(P1).??????? ? ?????? ?? ?? ???c=f(Pk)???? ????k= 1,...,n. f(X) =c?????X. ???|T|= 0,1,≥2. ???? ????? ? ?? ?? ???????detD?= 0.??????? ? ?????? ?? ?? ??????? ?? ??????? ??? det(D-Jq) =μ1···μq?

1-1μ

1- ··· -1μ

q? s?Sas.???? C= [c1,...,cq]??? ??????? ?????? ???????q????? ???cj? {a,b}???? ????j.???? ????

S={j;cj=a}??S?={j;cj=b}.??????? ??? ??λ?K?????

det(λIq+C) =λq+ (aS+bS?)λq-1+ (aSbS?-aS?bS)λq-2.

T;|T|=2detCT.

??????? ???????q A det(AB) =?

T?TdetATdetBT.

T?TcT?

j?Tλj.??????? ???cT= det(AB)S×R=?

T?TdetAS×TdetBT×R.

???ker(a-λidE)?={0} ? ?x?E; (a-λidE)(x) = 0? ?x?E;a(x) =λx.?? ????? x

1=...=xp= 0.???? ?? ??? ?? ???? ??????F??E???? ?F=F1+···+Fp??? ??????

L j(X) =? i?=j(X-λi)? i?=j(λj-λi). ???P(λj) =aj.??????? ? ?????P=a1L1+···+apLp:?? ?????? ?? ??????? ??????? ???P

A= [a]ee?????[ak]ee=Ak.

P(a) =c0idE+c1a+c2a2+···+cnan.

?? ???? ????? ??A= [a]ee????? [P(a)]ee=P(A) =c0Iq+c1A+c2A2+···+cnAn. R=? ????0 1 0...0

0 0 1...0

0 0 0...1

1 0 0...0?

????R2=? ????0 0 1...0

0 0 0...0

1 0 0...1

0 1 0...0?

[P(r)]ee=P(R) =a0Iq+a1R+···+aq-1Rq-1=? ????a

0a1a2... aq-1

a q-1a0a1... aq-2 a

2a3a4... a1

a

1a2a3... a0?

x a

2(xj) =a(a(xj)) =a(λjxj) =λja(xj) =λ2jxj.

0 =P(a)(0) =P(a)(x1+···+xp) =P(a)(x1)+···+P(a)(xp) =P(λ1)(x1)+···+P(λp)(xp).

x

F=Eλ1? ···Eλp.

dimE≥dimF= dimEλ1+···+ dimEλp≥p. xy ???????1,j,j2???? ??? ??????? ??????? ??a. ??????0n0 0...0 0 0

1 0n-1 0...0 0 0

0 2 0n-2...0 0 0

0 0 0 0... n-1 0 1

0 0 0 0...0n0?

A=12 (A+AT) +12 (A-AT). ????a?L(E,F)??b?L(F,E).??? ?? ??????? ???(idF-ab)-1??????? ??????? ??? (id P a(X) = det? ??a

11-X a12... a1q

a

21a22-X ... a2q

a q1aq2... aqq-X? a??? ?? ?????q??Pa(X) = (-1)qXq+ (-1)q-1?????(a)Xq-1+···+ deta.?? Pquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10