[PDF] Ift 2421 Chapitre 2 Résolution d’équations non linéaires

ALGORITHME RESOLUTION DUNE EQUATION DU SECOND DEGRE On

B2 4AC D "DELTA=" D If D=0 Then "UNE SOLUTION" B (2A) If D>0 "DEUX SOLUTIONS ( B (D)) (2A) ( B+ (D)) (2A) Else "PAS DE SOLUTION REELLE" IfEnd IfEnd Remarques : Tous les mots en caractères gras sont des instructions particulières qu'il faut chercher dans les menus de la calculatrice

1èreS - TP02: ALGORITHMIQUE Résolution dune équation du

Voici un algorithme qui permet de trouver les solutions d'une telle équation: TRINOME DU SECOND DEGRE: Ax Bx2 + + = 0 Demander à l'utilisateur les valeurs de A, B, C Calculer le discriminant ∆, que l'on notera D Afficher la valeur de ∆ Si ∆ < 0, afficher "pas de solution" Si ∆ = 0, afficher "une solution", et sa valeur

TP 1 SCILAB : Résolution déquation

3 Définir une condition d'existence et un critère d'arrêt pour le programme 4 Ecrire une fonction scilab [x0,n]=dicho(f,a,b,e) permettant le calcul de x avec une précision donnée e ayant en arguments de sortie la valeur approchée x0 de x et le nombre d'itérations n Activité 2 : Méthode de la fausse position (200 ans av J -C )

Équations du troisième degré et du quatrième degré

Exercice 2 (Équations de degré 4) Nous allons maintenant résoudre les équations de degré 4, c'est-à-dire de la forme ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e= 0; avec a;b;c;det edes nombres réels et anon nul 1 On pose X = x+ b 4a Montrer qu'avec ce changement d'inconnue, on se ramène à la résolution d'une équation de la forme X4 + pX2 + qX+ r= 0;

Polynômes du second degré - algorithme pour déterminer les

resolution_equation_second_degre - 08 08 2010 Algorithme qui résout (en donnant des valeurs approchées des solutions éventuelles) une équation du second degré de la forme ax²

Ift 2421 Chapitre 2 Résolution d’équations non linéaires

Ift2421 10 Chapitre 2 Algorithme de la méthode d’interpolation linéaire: Pour déterminer une racine x de F(X), exacte à δ près Choisir X 1 et X 2 tels que F(X 1) F(X 2) ≤ 0

Fiche méthode : équations diophantiennes Résoudre une

Avant de commencer Vérifions s’il y a des solutions : à la calculatrice , on détermine PGCD(630 ;1088) = 2 Comme 20 est un multiple de 2 , il y a des solutions donc on peut poursuivre Simplifions par 2 : 315 x – 544 y = 10 Solution particulière de 315 x – 544 y = 1 On écrit l’algorithme d’Euclide : 544 = 315 + 229 315 = 229 + 86

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue

solution de l’équation Le degré d’une équation orrespond à l’exposant maximal trouvé sur la ou les in onnues dans l’équation Résoudre une équation ’est trouver toutes les solutions (si elles existent) de elle -ci Exemples : w + u= { est une équation à une inconnue de degré 1

Thème : Trinôme du second degré

Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux Équation du second degré, discriminant Signe du trinôme • Utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique On fait le lien avec les représentations graphiques

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Ift24211 Chapitre 2Ift 2421

Chapitre 2

Résolution d'équations

non linéaires

Ift24212 Chapitre 2Introduction

Description:

L W

SinB12=() L

W

SinC21=()

B = p - A - C

avec LLLW SinBW

SinC=+=+1221

L est une fonction de C maximum sidL

dCWCosB

SinBWCosC

SinC=-2

21()
()dL dCWCosAC

SinACWCosC

SinC=--

---2 21
2() ()p p

Ift24213 Chapitre 2Méthode de résolution de

l'équation scalaire

F(X)=0On veut évaluer

numériquement la (ou les) racines.G(X) = H(X)

ÛÛG(X) - H(X) = 0

Comment est faite la

fonction?

Quelles sont ses propriétés?

Sur quel intervalle en X

ferons-nous la recherche?Degré 1: aX+b =0

X= -b/a

Degré 2:

Solution impossible si le

degré du polynôme est supérieur à 4.

Ift24214 Chapitre 2Méthode de bissection

(interval-halving method)

Basée sur une alternance de signe

de part et d'autre de la racine cherchée pour

F(X) = 0

Départ:

X

1 et X2 telles que

F(X

1) et F(X2) sont de signes opposés

Itérations:

X

3 = centre de [ X1, X2 ]

Choisir le bon sous intervalle

Condition suffisante

(de convergence vers une racine):

F est continue sur l'intervalle de recherche [ X

1, X2 ]

Ift24215 Chapitre 2-4-224

-10-7.5-5-2.52.557.5

F(X) = ((X+1) X - 3) X - 3

= X

3 + X2 - 3 X -3

racine : -1,-3 et 3

Méthode

de bissection0.511.52 -4-3-2-1123 x1 x2

Ift24216 Chapitre 2Algorithme de la méthode de bissection:Pour déterminer une racine x de F(X), exacte à d près.Choisir X

1 et X2 tels que F(X1).F(X2) £ 0(F(X

1) et F(X2) sont de signes opposés)Calculer X3 = (X1 + X2)/2;Tant que { |X1 - X2|³ d et |F(X3)|³ e } faireCalculer X3 = (X1 + X2)/2;Si { F(X1).F(X3) £ 0} alorsposer X

2 = X3;Sinon

poser X

1 = X3;Fin siFin tantPoser X = X

3;Une itération est définie

comme un parcours entier de la séquence d'opérations de la boucle Tant.

L'itéré est alors la valeur

résultante obtenue après une itération.

Notons l'itéré d'ordre n par

X (n).Au départ, la racine X se trouve dans l'intervalle de confiance [X

1, X2]

L'erreur sur la racine est alors

de DDX = |X1 - X2|

Après chaque itération, on

divise l'intervalle en 2 on divise cette erreur par 2.

Donc l'erreur absolue sur

l'itéré d'ordre n estDXXXnn()||=-122

Ift24217 Chapitre 2Méthode de Bissection

Exemple :fonction considérée: -3 + x (-3. + x (1 + x)) ou -3 - 3. x + x

2 + x3

Estimations initiales:

x1 = 1. x2 = 2.

Tolérance sur x:0.0005

Tolérance sur f(x):0.00001

Maximum d'itération:100

1.73193-0.001109240.000488281Tolérance en X trouvée en 11 itérations.

Ift24218 Chapitre 2Méthode d'interpolation linéaire ('regula falsi' method)

Basée aussi sur une alternance de signe

Départ:

X

1 et X2 telles que

F(X

1) et F(X2) sont de signes opposés

Itérations:

X

3 est l'intersection avec l'axe des x

de la droite passant par (X

1,F(X1)) et (X2,F(X2))

choisir le sous intervalle contenant la racine

Condition suffisante

(de convergence vers une racine):

F est continue sur l'intervalle de recherche [ X

1, X2 ]

Ift24219 Chapitre 21.52

-4-3-2-1123 x1x2x3Droite parallèles dans un trianglexx xxfx fxfx23 212
21-

Méthode

d'interpolation linéaire1.52 -4-3-2-1123 x1x2

Ift242110 Chapitre 2Algorithme de la méthode d'interpolation linéaire:Pour déterminer une racine x de F(X), exacte à d près.Choisir X

1 et X2 tels que F(X1).F(X2) £ 0(F(X

1) et F(X2) sont de signes opposés)Calculer X3 = X2 - F(X2)(X2-X1)/(F(X2)-F(X1));Tant que { |X1 - X2|³ d et |F(X3)|³ e } faireCalculer X3 = X2 - F(X2)(X2-X1)/(F(X2)-F(X1));Si { F(X1).F(X3) £ 0} alorsposer X

2 = X3;Sinon

poser X

1 = X3;Fin siFin tantPoser X = X

3;Mêmes avantages que la méthode de bissection:

· Hypothèse faible (continuité) sur F

· Méthode facile à implanter

· Hypothèse de recherche: linéarité

Mêmes inconvénients que la méthode de

bissection:

· Il faut déterminer un intervalle de

départ Ift242111 Chapitre 2· La convergence vers la racine peut

être très lente

Méthode d'interpolation linéaire

Exemple :fonction considérée: -3 + x (-3. + x (1 + x)) ou -3 - 3. x + x

2 + x3

Estimations initiales:

x1 = 1. x2 = 2.

Tolérance sur x:0.0005

Tolérance sur f(x):0.00001= 10-5

Maximum d'itération:100

Itérx3f(x)|x1-x2|=|x1-x3| =|x3-x2|1

1.727882728-0.03933960.29458917842.24719068 10-20.27211727154

1.731404866-6.11067 10-30.27211727153.52213735 10-30.26859513425

1.731950853-9.45921 10-40.26859513425.45986904 10-40.26804914736

1.732035344-1.46349 10-40.26804914738.44911020 10-50.26796465617

1.732048415-2.26406 10-50.26796465611.30714566 10-50.26795158478

1.732050437-3.50252 10

-60.26795158472.02217663 10-60.2679495625x3 = 1.732050437 Ift242112 Chapitre 2Tolérance en f(X) trouvée en 8 itérations.

Ift242113 Chapitre 2Méthode de la sécante

(secant method)

Similaire à l'interpolation linéaire

mais permet l'extrapolation.

Dans cette méthode, on choisit toujours les

deux valeurs telles que les F(Xi) sont les plus proches de 0.

Et on a toujoursXXFXXX

FXFX32221

21=--
()()()1.52 -4-3-2-1123 x1x2 x3

Ift242114 Chapitre 2Exemple :1.52

-4-3-2-1123 x1x2x3Problème de la méthode de la sécantex1x2x3

Ift242115 Chapitre 2Méthode de la sécante

Exemple :fonction considérée: -3 + x (-3. + x (1 + x)) ou -3 - 3. x + x

2 + x3

Estimations initiales:

x1 = 1. x2 = 2.

Tolérance sur x:0.0005

Tolérance sur f(x):0.00001= 10-5

Maximum d'itération:100

Itérx1x2x3f(x3)|x1-x2|1

1.2.1.571428571-1.364431.2

863
024

1.7054108221.7351357711.731996371-5.15177 10-40.02972494

9025

1.7351357711.7319963711.732050698-1.039 10

-60.00313939

9878x3 = 1.732050698

Tolérance en f(X) trouvée en 5 itérations.

Ift242116 Chapitre 2Remarque importante :Départ : points quelconques dans le voisinage d'une racine.

Faire un graphique grossier de la fonction aide parfois beaucoup.

Question ?

Qu'arrive-t-il lorsque

X

1 tend vers X2 ?XXFXXX

FXFX32221

21=--
()()()x1 x2 x3

Ift242117 Chapitre 2Méthode de Newton

(Newton's Method)

Ne demande qu'une seule valeur de départ X

1. Mais suppose l'existence de la dérivée de la fonction F(X).tan()()q=-FX XX1 21x1
X2 Ift242118 Chapitre 2Algorithme de la méthode de Newton Pour déterminer une racine de F(X)=0, exacte à d près.

Choisir X

1, une valeur approché de la racine

Poser X2 = X1;Calculer X21 = X1 - F(X1)/F'(X1);Tant que { |X1 - X2|³ d et |F(X2)|³ e et F'(X1)¹0}faire

Poser X2 = X1;Calculer X1 = X1 - F(X1)/F'(X1);Fin siFin tantPoser X = X

1;Avantages :

Convergence rapide.

Une seule valeur de départ.

Inconvénients :

F' doit exister.

Evalue F(X) et F'(X).

Ift242119 Chapitre 2Méthode de Newton

Exemple :fonction considérée: -3 + x (-3. + x (1 + x)) ou -3 - 3. x + x

2 + x3

Estimations initiales:

x1 = 2.

Tolérance sur x:0.0005

Tolérance sur f(x): 10-5

Maximum d'itération:100

Itérationx1x2f(x2)|x1-x2|1

2.1.7692307690.3604920.23076923082

1.732923811.7320513064.71824 10

-60.000872504288x2 = 1.732051306 Tolérance en f(X) trouvée en 3 itérations.

Ift242120 Chapitre 2Exemple :1.51.75

-2-11234 x1x2

Ift242121 Chapitre 2Problème

de la méthode de Newton La méthode de Newton est-elle toujours efficace ? Ift242122 Chapitre 2Développement formel de la méthode de Newton

Connaissant une approximation

X n » r pour la racine telle que F(Xn) ¹ 0, cherchons à corriger X n+1 = Xn + d pour avoir F(X n+1) = 0 F(X n+1) = F(Xn + d)

» F(Xn) + d F'(Xn)

donc d = - F(Xn) / F'(Xn) ce qui est la méthode de NewtonXXFX FXnnn n +=-¢1()

Ift242123 Chapitre 2Remarques :

· Si on a convergence

X n+1 = Xn on déduit de l'algorithme queXXFX

FX=-¢()

donc F(X) = 0 => X = r · Le développement de l'algorithme de Newton est de la forme : X n+1 = G(Xn) avecGXXFX

FX()()

racine lorsque X= G(X)quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10