CHAPITRE V III CALCULS APPROCHES DES INTEGRALES

• 2 - Suites – Si une suite est croissante et converge vers ℓalors tous les termes de cette suite sont 6ℓ • 2 - Suites – La suite (qn) avec q>1 tend vers +∞ • 2 - Suites – Une suite croissante et non majorée tend vers +∞ • 6 - Exponentielle – Unicité d’une fonction fdérivable sur R vériﬁant f′ = fet f(0) = 1

SUJET + CORRIGE

en cours a n d’obtenir des algorithmes de rang plus e caces que le pr ec edent Dans toute la suite de l’exercice, vous pourrez utiliser la fonction classique Echange(T,i,j) qui echange les valeurs du tableau T indic ees par i et j def echange(T, i , j ): TMP = T[ i ] T[ i ] = T[ j ] T[ j ] = TMP Algorithme 6: Echange(T,i,j)

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CHAPITRE V III CALCULS APPROCHES DES INTEGRALES

de l'Analyse en TS Pour résumer, si par manque de temps une seule méthode doit être étudiée, c’est bien celle-ci Ceci posé, pour le traitement de ce chapitre, je procède selon le triptyque usuel dans ce texte : des activités préparatoires et des travaux pratiques proposés en exercices, et" le cours ", mise

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CHAPITRE V III

CALCULS APPROCHES DES INTEGRALES

PRESENTATION

A LA METHODE DES RECTANGLES

I PROBLEMATIQUE SUR TROIS EXEMPLES.(TP)

II EXPOSE DE LA METHODE. (COURS)

III PROGRAMME RECTANGLE. (TP)

IV MAJORANTS DES ERREURS. (TP ou COURS)

B LA METHODE DU POINT MEDIAN

I PROBLEMATIQUE SUR LES MEMES

EXEMPLES (TP)

II EXPOSE DE LA METHODE (COURS)

III PROGRAMME RECT. MEDIANS (TP)

IV MAJORANTS DES ERREURS (COURS)

C LA METHODE DES TRAPEZES

I EXPOSE DE LA METHODE (COURS)

II PROGRAMMATION ET CALCULS. (TP)

ANNEXE 10 MAJORANT POUR LA METHODE DU POINT MEDIAN: (TP)

ANNEXE 11 LA METHODE DE SIMPSON

I EXPOSE COMME BARYCENTRE DE B ET C. (COURS)

II PROGRAMMATION ET CALCULS. (TP)

123

PRESENTATION

Les calculatrices programmables et graphiques sont devenues un outil familier de l"élève, et bien que leur utilisation soit encore problématique lors des examens ou des contrôles des connaissances1, elles constituent désormais une aide dont il n"est pas question de se priver. Les textes des programmes officiels de terminale scientifique sont explicites à cet égard

puisqu"ils conseillent de dégager les séquences, les tests et les boucles ; ils supposent ainsi un

apprentissage élémentaire de la programmation sur ces machines. Presque toutes ces calculatrices dites " type Baccalauréat " donnent des valeurs approchées des intégrales des fonctions continues, en utilisant un logiciel souvent basé sur la plus performante des méthodes: celle de Simpson. Faut-il pour autant, en classe de terminale (spécialité math),

réduire le calcul approché des intégrales à un simple survol de recettes, sous le prétexte que la

machine fait le travail? Je ne crois pas. Le futur scientifique ne peut pas être un utilisateur ou un consommateur l de calculatrice: il doit pouvoir donner du sens, dans les cas simples, à certains des logiciels contenus dans les calculatrices. Sinon le risque est grand que l"objet devienne mythique pour lui, et de plus il sera incapable de le contrôler en cas de difficulté. L"élève qui se destine à des études scientifiques où les Mathématiques

jouent un rôle important, à le droit au "savoir" fut-il élémentaire : pourquoi telle méthode est-

elle plus performante qu"une autre ? qu"apporte le calcul d"un majorant des erreurs ? que signifierait un calcul approché sans contrôle des erreurs ? pourquoi et comment intervient le degré du polynôme d"interpolation (0 pour les rectangle, 1 pour les trapèzes ou le point médian, 2 pour Simpson) dans la performance de la méthode ? L"étude de la méthode des rectangles présente des apports théoriques

qui se prêtent à une séquence déductive lorsque la fonction est continue et monotone. Elle

permet de démontrer de nouveaux résultats sur les suites et les intégrales. Il est désormais

possible de calculer les limites de certaines suites (en fait des sommes de Riemann) comme intégrales ou inversement, c"est aussi l"occasion de souligner la cohérence de l"enseignement de l"Analyse en TS. Pour résumer, si par manque de temps une seule méthode doit être

étudiée, c"est bien celle-ci.

Ceci posé, pour le traitement de ce chapitre, je procède selon le triptyque usuel dans ce texte :

des activités préparatoires et des travaux pratiques proposés en exercices, et" le cours ", mise

au point essentielle, non seulement pour fixer les "savoirs" mais aussi pour "démontrer ",

donner les raisons des propriétés, lorsque cela est possible au lycée. Cela se traduit dans la

pratique par trois phases : a) la phase du dessin, du graphique. Je propose d"étudier les variations et de tracer le graphe des trois fonctions dont on calculera des valeurs approchées des intégrales, à savoir: uR x x vR xewR x x x 12 10101
4 1 2 2 Les intégrales de u, v et w mesurent, par définition (voir chapitre II), les aires. b) la phase du calcul. Elle consiste en un exposé succinct de la méthode (les rectangles, le point médian, les trapèzes et puis Simpson en annexe). Un organigramme

est proposé pour que l"élève réalise sur sa calculatrice le programme correspondant à chaque

1 Faut-il autoriser aux examens des outils qui accomplissent toutes les tâches, font du calcul formel (dérivées,

primitives...) libérant totalement l"élève de toute mémorisation et parfois de recherche du sens , nécessitant des

épreuves d"un type nouveau, soumis au progrès exponentiel de ces machines. Autant de questions auxquelles il

faudra répondre un jour. 124

méthode. Bien entendu, la démarche est plus riche si l"élève propose son propre programme.

Enfin, les résultats des calculs sont classés, pour une même intégrale, selon n le nombre de

subdivisions et la méthode utilisée; ce qui permet à l"élève d"énoncer des conjectures sur les

performances respectives des différents procédés. c) La phase de formalisation. Il faut contrôler les intuitions apportées

par les étapes précédentes. Pourquoi la méthode du point médian semble plus rapide que celle

des rectangles ? Pour cela, le calcul des majorants des erreurs est nécessaire; il s"appuie ici

essentiellement sur l"inégalité des accroissements finis2, à la suite d"une interprétation

géométrique de cette propriété lors de la méthode des rectangles. Je reste attaché, dans cette

recherche, au rôle que doit avoir la géométrie dans la démonstration de propriété de l"Analyse

élémentaire au Lycée. Il sera alors "naturel" d"essayer cette inégalité pour les autres

méthodes de calculs approchés. C"est le contrôle théorique des conjectures avancées à la phase

précédente. Cette dernière étape apporte la rigueur nécessaire à un enseignement scientifique

à ce niveau. Sont ainsi mis en évidence dans les majorants trouvés le rôle des facteurs en jeu:

n le nombre de subdivisions et d le degré des polynômes d"interpolation. On peut penser sur un sujet si courant: voici le nième exposé. Précisons que cet essai pédagogique trouve son originalité sur les deux points essentiels suivants : a) le calcul d"un majorant des erreurs est rendu accessible aux élèves de TS par une interprétation géométrique de l"inégalité des accroissements finis3 pour la méthodes des rectangles et généralisable à la méthode du point médian. b) l"interprétation de ces majorants permet de " prouver" la pertinence relative de ces différentes méthodes. Pour conclure, l"expérience montre qu"on ne peut être exhaustif sur la question en TS ; il suffirait je pense de traiter la méthode des rectangles et du point médian pour obtenir des résultats significatifs dans l"esprit décrit ci-dessus.

2 Notons que cette utilisation ajoute à la cohérence de notre travail, puisque nous avons démontré cette inégalité

au chapitre V

3 souvent réservée à l"unique usage de la convergence des suites récurrentes.

125

A LA METHODE DES RECTANGLES

I PROBLEMATIQUE SUR TROIS EXEMPLES

ENONCE4

: Soit les fonctions u, v et w définies par: uR x x vR xewR x x x 12 10101
4 1 2 2

1° Question Etudier les variations et tracer leurs graphes respectifs dans trois repères

orthonormés distincts. (unité graphique: 10 cm). Préciser les tangentes aux points remarquables de ces courbes.

2° Question Soient u ", v " et w " les fonctions dérivées de u, v et w.

Rappelons que si une fonction f est dérivable sur [a,b], et sa dérivée f "continue sur [a,b], alors

fx"() est aussi continue sur [a,b], car composée de deux fonctions continues. Alors, le théorème admis en TS, permet d"affirmer qu"elle atteint ses bornes (ou l"image d"un segment par une fonction continue est un segment), donc

Par définition, nous poseronsMSupfx

xab1= ,. Calculer M1 pour chacune des trois fonctions u, v et w définies ci-dessus.

3° problématique

Hachurer, sur chacun des graphes, les domaines dont les aires, en unité d"aire, sont les nombres: dx xedxetdx x x 12 01 2 01 24
1

L"objectif de l"étude qui suit est de calculer des valeurs approchées de ces intégrales par la

méthode des rectangles (déjà abordée au chap I, lors de la quadrature du segment de parabole

par B.Pascal). En TS, nous savons quedx x122=ln, les résultats approchés nous permettrons d"encadrer ln2 et d"évaluer l"efficacité de cette méthode. Les primitives des fonctions continues v et w ne sont pas connues (pour w, notons que Arctanx n"est pas défini en terminale.), donc le calcul approché prend ici tout son sens. On peut aussi faire remarquer, par les calculs, que 41201dx x+ est voisin de p, et construire un exercice qui prouve l"égalité; nous aurons ainsi un moyen d"approcher le réel p 5, de l"encadrer. Les deux encadrements ci- dessus sont au coeur du champ de l"Analyse en terminale.

4 Dans tout le texte qui suit , pour une plus grande clarté, j"encadre tout énoncé ou définition ou théorème soumis

à l"attention des élèves.

5 Cet exercice sera revu après l"exposé de méthodes plus performantes, où l"approche de p devient intéressante.

126

II EXPOSE DE LA METHODE (Cours)

§1Principe

Soit f ,continue et positive sur [a,b] a un repère orthonormé. On noteIfxdx a b=(). L"intervalle [a,b] est partagé en n intervalles adjacents et de même longueur6 hba n=-. On posera pour toute la suite : aaaahaaihaanhb yfayfayfayfafbin iinn 01 0011 Ridésigne le rectangle de largeur h et de longueur yi;la somme des aires des n rectangles RRRRin011,,.........- est notée:IhyyyyRin=++++-(........)011. Par construction, le réel

IRest une valeur approchée du nombre I qui est égal, en unités d"aire, à l"aire du domaine D

sous la courbe défini par: Mxyaxb yfx(,)()ÎÛ D0 §2 Sommes de Riemann pour une fonction continue positive et monotone. Si f, continue et positive, est de plus monotone sur [a,b], par exemple croissante:

Oaaiai+1baaiai+1bO

Soit uhyyyetvhyyynnnn=+++=+++-(........)(........)01112 (i) les aires respectives des rectangles qui minorent et majorent le réelIfxdx a b=(); celui-ci, par définition, est l"aire de D. Les suites ()()uetvnn sont définies pour n > 0.

1 La méthode a déja été exposée au chapitre I ( Lors d"un T.P., à la suite du calcul par B.Pascal, de la quadrature

du segment de parabole illustrée par le choix de n = 20). 127
()min() ()()()lim() 1 2 30

LenombreIestunmajorantdelasuiteu

Iestunorantdelasuitev

nNuIvE nNvuba nfbfadoncvun n nn nnnnn"Î££

Preuve

Les propriétés (1) et (2) sont des conséquences de la croissance de f sur [a,b] et des propriétés intuitives de l"aire (appelées axiomes au Chapitre I). "Î££++xaafafxainsihfafxdxiiiiaa ii,()();()()11; ceci est vrai sur tout intervalle partiel, donc par addition, ufxdxsoituIn a b n££();.On démontre de même queIvn£. Si f est décroissante sur [a,b], le majorant devient minorant, et réciproquement; la méthode est toujours opérante. La relation (E) est démontrée.

Pour (3):

vuhyyyhyyyba nyynnnnn-=+++-+++=---120110.........()() doncvunnnlim()®¥-=0. Alors d"après (E), 0 0

IuvuparsuiteuI

uvIvparsuitevInnnnn nnn nn;lim() ;lim()

On peut énoncer :

Théorème Définition1: Les réels uetvnn, définis ci-dessus par la relation (i), sont appelés

"sommes de Riemann" associées à f sur [a,b]7. Si f est continue, positive et monotone sur [a,b], alors les sommes de Riemann ()()uetvnn définies par la relation (i) sont respectivement des valeurs approchées par défaut et par exès de I à la précision de()[()()]ba nfbfa--. Ces suites convergent vers l"intégraleIfxdx a b=(). lim()().lim()()nk n ab n k n abba nfakhfxdxetba nfakhfxdx 0 1 1 Pour tout entier n > 0: si f est croissante sur [a,b]uIvnn££.

Si f est décroissante, alors:

vIunn££.

Remarque

Le théorème1 reste vrai si f est non monotone sur [a,b], nous pouvons, au besoin,

l"admettre en TS pour réaliser des calculs approchés d"intégrales et prouver des convergences

de suites.

Corollaire 1011

bafxdxyyy nab nn-=+++®¥-()lim( La valeur moyenne d"une fonction sur un intervalle [a,b], a < b, est la limite de la moyenne arithmétique des valeurs prises par f en aaaain011,,....,.......-.

Remarque Ce résultat éclaire la terminologie utilisée dans " valeur moyenne de f sur [a,b]".

Preuve: lim()()nn

a bufxdx®¥=d"après le théorème1; en divisant la suite par (b-a) on obtient le résultat annoncé.

7 Ce sont également des sommes de Darboux de f sur [a,b], puisque f est croissante (resp. décroissante).

128

§3 Intégrales et suites

Si on sait calculer la valeur de l"intégrale fxdx a b(), le théorème1 permet de montrer la

convergence et calculer la limite des suites définies dans ce théorème. Inversement, si on sait

calculer la limite de()()u netouvn, on aura la valeur de l"intégrale.

Exemple1

; vnnni nn n n=

1122222

Sous cette écriture,

(),vestunesommedeRiemannrelativeàfsurn01, f définie par f(x) = x2. l=1/3

Exemple2

Donc vn est une somme de Riemann relative à f sur[a,b]

Exemple 3: Soit la suite: vnnnnkn

kn =1 11 21
21

1........ C"est une somme de Riemann

relative à f: xxsur®+ 1

101,, donc elle converge vers. 1

112
01

01+=+=xxln()ln.

En conclusion

limln nnk k n =1 1

2. Représenter graphiquement f et interpréter le résultat

obtenu. *nNvnnni nn n nppppp 222

222coscos.....cos.....cos

xfxxbannainiÎ =-==0222,()cos;;.ppplim()cossin nnvxdxx

®¥===02021

pp 129

III PROGRAMME RECTANGLE. CALCULS.

§1 Organigrammes et programme sur calculatrice

PRGM RECTANGLE début PRGM sur TI80 DEBUT : LBL0 ENTRER A,B,N , f A a : DISP"A="

B b : DISP"B="

N n : DISP"N="

: INPUT A : INPUT B : INPUT N

Faire (B-A)/N va dans H

Faire 0 va dans S

Faire A va dans X H (B-A)/N : (B-A)/N H

Faire f(X) dans Y S 0 : 0 S

Faire S+H dans S X A : A X

i Faire X+H dans X

r : LBL 1

e Tant que X < B Y f(X) : Y1 Y

S S+Y : S+Y S

Faire S*H dans S X X+H :X+H X

Ecrire la valeur approchée 0ui X < B : If X < B

de l"intégrale: S : GOTO 1

FIN S

SH : SH S

S : DISP"S="

: DISP S : PAUSE

FIN : GOTO 0

Les organigrammes sont donnés, selon le savoir- faire des élèves. Par contre, ceux ci doivent

réaliser sur leur calculatrice, au titre de l"initiation à la programmation, les programmes correspondants. J"ai donné, ici, à titre indicatif, le programme sur TI 80. Sur celle ci, la fonction f sera stockée en Y1. Sur la Casio, par exemple, f est mise en" mémoire fonction " f1. Ces matériels sont élémentaires et choisis en tant que tels.

§2 Calculs

a) A partir de l"organigramme ci-dessus (ou d"un autre à votre convenance) rédiger le programme "rectangle". b) Compléter le tableau ci-dessous donnant une valeur approchée des termes de la suite vba nyyynn=-+++-011............, pour les fonction u, v et w définies au paragraphe I de ce chapitre. On fera successivement n = 5, 10, 50, 100, 500, 1000. c) Que pouvez vous conjecturer sur la valeur exacte de 4. dx x1201+? 130
dx x12 edxx- 2 0

1 dx

x1201+ 5

10 0,7187714 0,7778168 3,0399259

50 0,6981722 0,7531208 3,1215259

100 0,6956534 0,7499786 3,1315759

500 0,6936474 0,747456 3,1395919

1000 3,1405925

§3 Applications

Calculer des valeurs approchées des intégrales suivantes. On montrera que les fonctions continues proposées sont positives et monotones; préciser dans chaque cas si la valeur obtenue est approchée par excès ou par défaut. Ix xdxJdx xKedxLdx xMedxxx=- +=-==+=--12 2 2201
2 20 003 1

1121sinln

cospp

IV MAJORANTS DES ERREURS

(Cours ou Travaux Pratiques au choix.)

I COURS

L"objectif est de majorer e, le moyen : l"inégalité des accroissement finis. § 1 Interprétation graphique de l©inégalité des accroissement finis

Rappel: Si f est dérivable sur un intervalle I, a et b de I, a < b, si de plus il existe m et M tels

que: pour tout x de

I mfxM££"() ALORS on a l"encadrement:

mbafbfaMba()()()()-£-£- Nous supposons ici que, de plus, f est positive sur

I . Si la dérivée est encadrée sur I, l

"accroissement de f sur [a,b] est donc bien maîtrisé par cette inégalité. Soit L"inégalité des accroissement finis s"écrit pour tout xÎab,: Soif f une fonction continue, positive , dérivable et sa dérivée continue sur[a,b].

On pose e l"erreur commise, en valeur

absolue, en remplaçant(interpolant) f par la fonction constante: xfsurlervalle inclusdansab eftdtf® ()"int, ()()()aab baa ab 131
mxfxfMx soitmxyMx aaa DDD (i) A partir du point A(a,f(a)), traçons les droites (AQ) et (AR) de pentes

8 respectives m et M; la

relation (i) implique:

UNfxfUVMxetUWmx

doncUWUNUVainsiNWV=-=-=- ,aaa(ii)

Ainsi tout point de Cf d"abscisse

xÎab, est intérieur au triangle QAR. Pour x=b, la relation (ii) donne

PBffPQMPRm

doncPRPBPQBRQ=-=-=- ;,bababa figure1 Ce qui se traduit par les inégalités suivantes : ()()()()()()()()()baabaabaabaa ab-+-+££-+-+ fmffxdxfMf 22
()()()()()()()baababaaba ab-+-££-+-fmfxdxfM 22
22
quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] CHAPITRE V III CALCULS APPROCHES DES INTEGRALES

CHAPITRE V III

CALCULS APPROCHES DES INTEGRALES

PRESENTATION

A LA METHODE DES RECTANGLES

II EXPOSE DE LA METHODE. (COURS)

III PROGRAMME RECTANGLE. (TP)

IV MAJORANTS DES ERREURS. (TP ou COURS)

B LA METHODE DU POINT MEDIAN

I PROBLEMATIQUE SUR LES MEMES

EXEMPLES (TP)

II EXPOSE DE LA METHODE (COURS)

III PROGRAMME RECT. MEDIANS (TP)

IV MAJORANTS DES ERREURS (COURS)

C LA METHODE DES TRAPEZES

I EXPOSE DE LA METHODE (COURS)

II PROGRAMMATION ET CALCULS. (TP)

ANNEXE 11 LA METHODE DE SIMPSON

II PROGRAMMATION ET CALCULS. (TP)

PRESENTATION

étudiée, c"est bien celle-ci.

1 Faut-il autoriser aux examens des outils qui accomplissent toutes les tâches, font du calcul formel (dérivées,

2 Notons que cette utilisation ajoute à la cohérence de notre travail, puisque nous avons démontré cette inégalité

3 souvent réservée à l"unique usage de la convergence des suites récurrentes.

A LA METHODE DES RECTANGLES

I PROBLEMATIQUE SUR TROIS EXEMPLES

ENONCE4

1° Question Etudier les variations et tracer leurs graphes respectifs dans trois repères

2° Question Soient u ", v " et w " les fonctions dérivées de u, v et w.

Par définition, nous poseronsMSupfx

3° problématique

4 Dans tout le texte qui suit , pour une plus grande clarté, j"encadre tout énoncé ou définition ou théorème soumis

à l"attention des élèves.

5 Cet exercice sera revu après l"exposé de méthodes plus performantes, où l"approche de p devient intéressante.

II EXPOSE DE LA METHODE (Cours)

§1Principe

Oaaiai+1baaiai+1bO

1 La méthode a déja été exposée au chapitre I ( Lors d"un T.P., à la suite du calcul par B.Pascal, de la quadrature

LenombreIestunmajorantdelasuiteu

Iestunorantdelasuitev

Preuve

Pour (3):

IuvuparsuiteuI

On peut énoncer :

Si f est décroissante, alors:

Remarque

Corollaire 1011

Preuve: lim()()nn

7 Ce sont également des sommes de Darboux de f sur [a,b], puisque f est croissante (resp. décroissante).

§3 Intégrales et suites

Exemple1

1122222

Sous cette écriture,

Exemple2

Exemple 3: Soit la suite: vnnnnkn

1........ C"est une somme de Riemann

101,, donc elle converge vers. 1

01+=+=xxln()ln.

En conclusion

2. Représenter graphiquement f et interpréter le résultat

222coscos.....cos.....cos

®¥===02021

III PROGRAMME RECTANGLE. CALCULS.

§1 Organigrammes et programme sur calculatrice

B b : DISP"B="

N n : DISP"N="

Faire (B-A)/N va dans H

Faire 0 va dans S

S S+Y : S+Y S

S*H : S*H S

S : DISP"S="

FIN : GOTO 0

§2 Calculs

1 dx

10 0,7187714 0,7778168 3,0399259

50 0,6981722 0,7531208 3,1215259

100 0,6956534 0,7499786 3,1315759

500 0,6936474 0,747456 3,1395919

1000 3,1405925

§3 Applications

SH : SH S