A PAPPUS REVERIE Jean - Louis AYME
point de vue du petit théorème de Pappus Scolies : (1) le centre de l'homothétie est à distance finie (2) L'axe de cette homothétie est à distance infinie ; c'est la droite à l'infini
À PROPOS DE - Universidad de Sevilla
Le petit théorème de Pappus 47 3 3 A, B deux points diamétraux de 0, Ta, Tb les tangentes à 0 resp en A, B et M, N deux points du même demi-plan de
ORTHOPÔLE DUNE DROITE - Universidad de Sevilla
• D'après Pappus "Le petit théorème" (Cf Annexe 1) appliqué à l'hexagone KCHBJPK, J, K et H sont alignés A B C R P Q I H au théorème de Carnot 8
Constructions à la règle courte et au compas à ouverture limitée
Le théorème de Pappus assure que les points A, C et B sont alignés Par ailleurs si les droites ont été choisies suffisamment « à peu près » parallèles et les points suffisamment « à peu près » au milieu, on obtient une figure (qui ressemble à celle représentée ci-dessus)
Feuille de Vigne - IREM
théorème de Pythagore et celui de Thalès Démonstration de la relation de Pythagore en s'inspirant de Pappus Mots clés : Théorème de Pythagore ; Pappus ; aires ; Théorème de Thalès Maints résultats de base en géométrie plane peuvent être établis simplement en usant de la notion d'aire et même, le plus souvent sans évaluer
Logique et calcul : Les preuves sans mots
d’algèbre de plus de 500 pages qui traite de droites, de plans, d’espaces, de paral-lèles, de parallélogrammes, de symétries, d’homothéties, de projections, de qua-drilatères, du théorème fondamental de la géométrie projective, du théorème de Pappus, du théorème de Desargues, etc Pas une figure L’idée derrière ce qui
THEOREME DE THALES - Automaths
On peut donc utiliser le théorème de Thalès dans les trois configurations suivantes : Dans le cas où M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] on se retrouve dans la configuration de la réciproque du théorème de la droite des milieux A B C M N Le diamètre d’un cercle coupe ce même cercle en deux parties de même aire
LA DROITE DE NEWTON Une nouvelle preuve
La droite de Newton 181 • En appliquant le petit théorème de Thalès 20 aux triangles BQE et BED, nous démontrons que les droites (JI) et (JK) sont parallèles à la droite (QED) • Conclusion : d’après le postulat d’Euclide, les droites (JI) et (JK) sont con-fondues ; ceci revient à dire que les points I, J et K sont alignés
Coniques - lescoursdemathsdepjhmonsite-orangefr
6 Sections planes des cylindres et des cônes de révolution 7 Le théorème de Pascal 8 Propriétés métriques des coniques à la mémoire de Henri Dupont-Roc, Pierre-Jean Hormière _____ Introduction On trouve des arrangements de pierres en forme d’ellipse dans les Îles britanniques, remontant
[PDF] parseval fourier
[PDF] théorème de dirichlet serie de fourier
[PDF] théorème de parseval traitement du signal
[PDF] théorème de parseval plancherel
[PDF] demonstration theoreme de parseval
[PDF] égalité de bessel
[PDF] transformation de fourier exercices corrigés
[PDF] transformation de fourier pdf
[PDF] transformée de fourier cours simple
[PDF] transformée de fourier pour les nuls
[PDF] transformée de fourier usuelles
[PDF] transformée de fourier traitement du signal
[PDF] propriété transformée de fourier
[PDF] similitude mécanique des fluides
UNE RÊVERIE
DEPAPPUS D"ALEXANDRIE
A PAPPUS REVERIE
Jean - Louis AYME
1 A B A" B" C" CRésumé. L"article présente une approche non classique du théorème de Pappus et de ses cas
particuliers, et propose une séries de miniatures concernant ce résultat non démontré par Pappus, mais seulement "rêvé" par celui-ci, d"où le titre de l"article. Le dual de ce théorème conduit à l"hexagone de Brianchon. L"auteur présente ensuite une preuve non classique du théorème de Desargues et donne enfin des exemples. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tousêtre démontrés synthétiquement.
Abstract. The article presents an unconventional approach to the Pappus"s theorem and its special cases, and offers a series of miniatures about this result not shown by Pappus, but only "dreamed" by it, hence the title of the article. The dual of this theorem leads to the Brianchon"s hexagon. The author then presents a non-classic proof of Desargues theorem and finally gives examples. The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved synthetically.1 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France) ; jeanlouisayme@yahoo.fr
2 2Sommaire
A. Pappus d"Alexandrie 2
1. Le petit théorème 2
2. Un résultat de Thalès 5
3. La proposition 139 9
4. Une courte biographie de Pappus 16
B. Hexagones particuliers de Pappus 171. Premier cas : un sommet à l"infini 17
2. Deuxième cas : deux sommets à l"infini 19
3. Troisième cas : trois sommets à l"infini 22
C. Miniatures pappusiennes 231. Un carré et deux triangles équilatéraux 23
2. Un joli résultat 24
3. Pappus et Brahmagupta 25
4. Un triangle, une ménélienne et trois parallélogrammes 28
5. Un triangle et une ménélienne 29
6. Un triangle et deux ménéliennes 31
7. Un quadrilatère complet 31
8. Un pentagone 33
D. Le dual de Pappus 34
1. Principe intuitif de dualité 34
2. L"hexagone de Brianchon ou le dual de celui de Pappus 34
3. Une miniature brianchonienne 38
E. L"architecte Girard Desargues 391. Le théorème des deux triangles ou de la perspective conique 39
2. Une courte biographie de Girard Desargues 44
F. Miniatures arguésiennes 451. Un résultat de Descartes 45
2. Un quadrilatère complet 47
G. Annexe 48
1. Le théorème de Brahmagupta 48
33A. PAPPUS D"ALEXANDRIE
1. Le petit théorème
2VISION DOUBLE
Figure :
A B A" B" C" C D" DTraits : D, D" deux droites,
A, B, C trois points pris dans cet ordre sur D, A", C" deux points de D" tels que (AB") // (BC") et (A"B) // (B"C), et B" un point. Donné : B" est sur D" si, et seulement si, (AA") est parallèle à (CC").VISUALISATION NÉCESSAIRE
A" A B" B C" C I D" D 1 2· Notons 1 le cercle passant par A, B", A",
2 le cercle passant par A", B, C"
et I le second point d"intersection de 1 et 2.· Les cercles 1 et 2, les points de base I et A", la monienne (B"A"C"), les parallèles (B"A) et (C"B),
conduisent au théorème 0" de Reim ; en conséquence, A, I et B sont alignés.2 Pappus, Collections υναγωγ´η, Livre VII
44· Conclusion partielle : I est sur (ABC).
A" A B" B C"C I , J
D" D 2 3 1· Notons 3 le cercle passant par C, C", B"
et J le second point d"intersection de 2 et 3.· Les cercles 2 et 3, les points de base J et C", la monienne (A"C"B"), les parallèles (A"B) et (B"C),
conduisent au théorème 0" de Reim ; en conséquence, B, J et C sont alignés. · Conclusion partielle : I et J sont confondus. A" A B" B C" C I=J D" D 3 1· Conclusion : les cercles 1 et 3, les points de base I et B", les moniennes (AIC) et (A"B"C"),
conduisent au théorème 0 de Reim ; il s"en suit que (AA") // (CC"). Scolie : (1) AA"BC"CB"A ayant ses sommets situés alternativement sur D et D", est un "hexagone de Pappus". (2) Une notation 5 5 A B A" B" C" C D"D 1 2 3
4 5 6 (2) Une figure équivalente à celle de Pappus B B" C" A" A C D D" 1 2 3 4 5 6Énoncé traditionnel : si, un hexagone est de Pappus a deux paires de côtés opposés parallèles
alors, les deux derniers côtés sont parallèles.VISUALISATION SUFFISANTE
A B A" C" C B" C"D" D · Raisonnons par l"absurde en affirmant que B" n"est pas sur D". 66· Notons C" le point d"intersection de (A"B") et (BC") ;
· Scolie : C" est distinct de C" sinon, B" serait sur D". · D"après la visualisation nécessaire, (AA") // (CC") ; ayant pu mener à partir de C, deux parallèles distinctes à (AA"), nous sommes en contradiction avec le postulat d"Euclide ; en conséquence, notre affirmation est fausse.· Conclusion : B" est sur D".
Énoncé : si, cinq des sommets d"un hexagone ayant trois paires de côtés opposés parallèles,
sont sur deux droites alors, le dernier sommet est sur l"une de ces droites.