Ensembles de Julia : Étude d’une famille de suites complexes

Les suites num´eriques Terminale ES Section 3 Algorithme de seuil Lorsque qu’une suite converge vers 0, cela signiﬁe qu’au bout d’un moment, les valeurs de u n sont aussi proches de 0 que l’on veut; cette ≪ proximit´e avec 0≫ se mesure a l’aide d’un seuil s C’est-`a-dire que pour une suite u

Suites

Suites Page 1 sur 6 Terminale technologique L’algorithme suivant permet de déterminer un seuil à partir duquel Mathématiques

Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

• 2 - Suites – Si une suite est croissante et converge vers ℓalors tous les termes de cette suite sont 6ℓ • 2 - Suites – La suite (qn) avec q>1 tend vers +∞ • 2 - Suites – Une suite croissante et non majorée tend vers +∞ • 6 - Exponentielle – Unicité d’une fonction fdérivable sur R vériﬁant f′ = fet f(0) = 1

Ensembles de Julia : Étude d’une famille de suites complexes

Terminale S Mathématiques 2013-2014 p1 Ensembles de Julia : Étude d’une famille de suites Terminale S Mathématiques 2013-2014 p3 Algorithme Programme Algobox

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4 b Donnons la valeur affichée en sortie de cet algorithme: Nous nous arrêtons à l’étape 6 car c’est à partir de cette étape que l’établissement dépassera sa capacité maximale de 33 000 étudiants En effet: 33 762 étudiants > 33 000 étudiants Ainsi, la valeur affichée en sortie de cet algorithme est de: 2016 + " 6 " cad

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Terminale SMathématiques 2013-2014 p1

Ensembles de Julia : Étude d"une famille de suites complexes

Travail suivi n°1

Présentation du problème :

Dans ce projet, on considère un nombre complexecde module inférieure strictement à 1 et la suite

complexe (zn) définie par½z0est un nombre complexe donné

8n2N,znÅ1AEz2nÅc

Cette suite est donc définie par la donnée decet dez0. Le comportement d"une telle suite ne peut

être qualifié en terme de variation comme pour les suites réelles, car nous ne connaissons pas de re-

lation d"ordre sur l"ensemble des nombres complexes. Cependant, il suivant la valeur decou dez0le

comportement de la suite (zn) peut être assez différent comme le montre les deux situations suivantes

où l"on a représenté les points d"affixec,z0,z1.... dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé

(O; 0z 0cz 1z 2z 3z 4z 5z 6z 7z 8z 0z 0cz 1z 2z 3z 4z 5z 6z 7z 8z

9Ainsi dans certains cas, les points M

nd"affixeznsemblent tous être situés dans une région du plan nsemblent

ne pas pouvoir être contenus dans une région "limitée". Dans la première situation, on dira que la suite

est "bornée". Pour une valeur decdonnée,quel sont les valeurs complexes dez0conduisant à une suite "bor-

née"? Est-on capable de faire une "carte" des points dont l"affixe correspondant à une valeur dez0

conduisant à une suite "bornée"?

Terminale SMathématiques 2013-2014 p2

Ensembles de Julia : Nombres complexes et Informatique

Travail suivi n°1

Exercice n° 1: Nombres complexes et programmation sous algobox.

Algobox comme la plupart des langages informatiques ne gère pas les nombres complexes, il faut donc

gérer chaque nombre complexe à l"aide de deux variables l"une étant sa partie réelle et l"autre sa partie

imaginaire. Ci-dessous figure un exemple où sont fourni un algorithme portant sur des nombres complexes et son implémentation sous Algobox :

AlgorithmeProgramme Algobox

Déclaration des variables

z est un nombre complexe

Entrée

lire z

Sortie

Afficher zVARIABLES

a EST_DU_TYPE NOMBRE b EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

lire a lire b afficher a afficher "+" afficher b

AFFICHER* "i"

FIN_ALGORITHME

Dans le tableau ci-dessous lorsque l"algorithme est fourni donner l"implémentation manquante et lorsque l"implémentation est fournie donner l"algorithme manquant :

AlgorithmeProgramme Algobox

Déclaration des variables

z est un nombre complexe c est un nombre complexe

Entrée

lire z

Donner à c la valeur 1-2i

Donner à z la valeur z+c

Sortie

Afficher zVARIABLES

a,b,ac,bc EST_DU_TYPE NOMBRE (lignes regroupées)

DEBUT_ALGORITHME

lire a lire b afficher a afficher "+" afficher b

AFFICHER* "i"

FIN_ALGORITHMEDéclaration des variables

z est un nombre complexe

Entrée

Sortie

Afficher zVARIABLES

a,b,t EST_DU_TYPE NOMBRE (lignes regroupées)

DEBUT_ALGORITHME

lire a lire b t PREND_LA_VALEUR pow(a,2)-pow(b,2) b PREND_LA_VALEUR 2*a*b a PREND_LA_VALEUR t afficher a afficher "+" afficher b

AFFICHER* "i"

FIN_ALGORITHME

Terminale SMathématiques 2013-2014 p3

AlgorithmeProgramme Algobox

Déclaration des variables

z est un nombre complexe z" est un nombre complexe

Entrée

Lire z

Lire z"

Donner à z la valeur z*z"

Sortie

Afficher zVARIABLES

.......... EST_DU_TYPE NOMBRE (lignes regroupées)

DEBUT_ALGORITHME

lire a lire b lire ap lire bp afficher a afficher "+" afficher b

AFFICHER* "i"

FIN_ALGORITHME

Exercice n° 2: Suite complexe.

On considère la suite complexe Z définie par½z0est un nombre complexe donné

8n2N,znÅ1AEz2nL"objectif de cet exercice est de déterminer pour quelle valeur dez0cette suite "reste bornée" c"est à

dire que le suite (mn) des modules associée est bornée.

Remarque : Attention, on ne peut comparer deux nombres complexes, donc les mots majorés et minorés

n"ont aucun sens pour la suiteZ, le caractère "borné" de Z est donc défini par le fait que la suite des

modules des termes est bornée (en fait, majorée car la suite des modules est toujours minorée par 0). Ainsi

dire queZreste bornée revient à dire que les images des termes de la suite dans un repère(O,~u,~v)sont

toutes contenues dans un cercle centré enO(le rayon du cercle étant un majorant de la suite des modules.

(mn) est la suite réelle définie pour tout entier naturelnparmnAEjznj.

1.Modifier l"algorithme ci-dessous pour qu"il affiche les 15 premiers termes de la suite Z et leur mo-

dule lorsque l"on saisitz0en entrée :

Déclaration des variables

z est un nombre complexe i est un entier naturel

Entrée

Lire z

Donner à i la valeur 0

Tant que i<100 faire

| Donner à z la valeur z^2 | Donner à i la valeur i+1

Sortie

Afficher z

l"algorithme modifié précédemment.

3.Ouvrir avec geogebra le fichieravjul1.ggb. Dans la figure le point A a pour affixez0, et il est pos-

sible de déplacer le point A pour modifierz0. a.Saisir dans zone de saisie : z_0 ˆ 2 . Vous constaterez que geogebra contrairement à algobox gère les nombres complexes et qu"il représente un nombre complexe dans le plan par son image. b.Construire ainsi les 10 premiers termes de la suite Z et leurs images. c.En déplaçant le point A conjecturer l"ensemble des points A pour lesquels la suite des mo- dules converge vers 0 et l"ensemble des points A pour lesquels la suite des modules reste bornée.Pour vous aider, il pourra être utile d"afficher le cercle de centreOet de rayonjz0jen cochant la case "Cercle".

Terminale SMathématiques 2013-2014 p4

Ensembles de Julia : diversité des comportements

Travail suivi n°1

A rendre pour le 7 novembre 2013

Dans la suite de ce travail, on considère un nombre complexecde module inférieure strictement à

1 et la suite complexe (zn) définie par½z0est un nombre complexe donné

8n2N,znÅ1AEz2nÅc

On note (mn) la suite réelle définie pour tout entier naturelnparmnAEjznj(suite des modules associée

à (Z

n)).

1.Dans cette question,la constantecest fixée à0. On retrouve ainsi la suite Z dont on a représenté

les premiers termes et calculé les premiers termes à l"aide de Geogebra et d"Algobox. Nous allons,

pour ce cas particulier, déterminer le caractère "borné" ou non de la suite (zn) suivant les valeurs

dez0. a.Justifier que lorsquejz0jAE1 ou lorsquejz0jAE0 la suite (mn) est constante.

b.Démontrer par récurrence que lorsque 0Ç jz0j Ç1, la suite (mn) est strictement décrois-

sante. Étant donné que la suite (mn) est minorée par 0, on pourra démontrer plus tard dans

l"année que la suite (mn) converge. c.Démontrer par récurrence que lorsquejz0j È1, la suite (mn) est strictement croissante. on pourra démontrer plus tard dans l"année que la suite (mn) diverge versÅ1. d.Conclure concernant le caractère "borné" ou non de la suite (zn) en fonction dez0.

2.Constitution d"outil de visualisation de la suite (zn)pourcquelconque.

valeur dec, influence fortement le comportement de la suite. Imprimer et rendre avec votre copie la figure obtenue lorsquecAE0,29Å0,01i etz0AE0,75Å0,52i, puis la figure obtenue lorsquecAE0,16Å0,12i etz0AE0,75Å0,52i. b.Transformer l"algorithme programmé en classe concernant le cas oùcAE0, pour afficher les (et non saisie en entrée) alors que la valeur dez0sera saisie en début d"algorithme. c.Programmer l"algorithme sous Algobox (vous imprimerez votre programme et le joindrez à la copie).

3.Production d"unalgorithmique de décision:

a.En utilisant les outils construits à la question précédente, peut-on conjecturer à quelle ré-

gion du plan correspond l"ensemble des points A tels que la suite (zn) est "bornée" lorsque z

0est l"affixe de A?

b.On peut démontrer que s"il existe un rang N tel quejuNj>2 alors la suite (mn) diverge vers l"infini. Cela permet de construire un algorithme qui, pour unz0donné, calcule successive- ment les termes de la suite (zn) et affichesuite non "bornée"dès quejznj>2. Écrire un tel algorithme en modifiant l"algorithme programmé précédemment (Vous pou- vez rendre cet algorithme écrit en langue naturelle ou sous algobox). c.Y-a-t-il des conditions où votre algorithme ne se termine pas? Justifier votre réponse.(la réponse à cette question ne doit pas se baser sur l"exécution du programme correspondant sous algobox qui ne fait apparaître souvent que les limitations du logiciel algobox) d.Pour garantir que l"algorithme se termine systématiquement, modifier votre algorithme de

manière qu"il calcule au plus 100 termes de la suite (zn) et affichesuite "non bornée"dès que

jznj>2 et affichela suite semble "bornée"si les 100 premiers termes ont un module infé- rieur à 2. Vous programmerez cet algorithme sous algobox aveccAE0,16Å0,12i et joindrez les impression des résultats obtenus avecz0AE0,75Å0,52i et avecz0AE0,04Å1,024i .

Nous avons ainsi construit un algorithme de décision concernant le caractère "bornée" ou non

de la suite (zn).

Terminale SMathématiques 2013-2014 p5

Ensemble de Julia : Démonstration

Travail suivi n°1

A rendre pour le

Dans la suite de ce travail, on considère un nombre complexecde module inférieure strictement à 1 et

la suite complexe (zn) définie par½z0est un nombre complexe donné

8n2N,znÅ1AEz2nÅc

On note (mn) la suite réelle définie pour tout entier naturelnparmnAEjznj(suite des modules associée

à (Z

n)).

1.Démonstration d"une propriété du module :

U nec onjecture:

On considère deux nombres complexeszAetzBtels quejzBjÈjzAjet on notezCAEzAÅzB.

Ouvrir à l"aide de Geogebra la figuretriangul.ggb. Dans cette figure sont représentés le plan

complexe muni du repère³

O,¡!u,¡!v´

, les points A, B et C d"affixeszA,zBetzC, ainsi que les images vectorielles de ces trois nombres complexes. De plus, trois cercles de centre O ont été tracés : en noir les cercles de rayonjzAjetjzBjet en rouge le cercle que nous nommerons

¡de rayonjzBj¡jzAj.

En déplaçant les points A et B, que peut-on conjecturer de la position relative de C et de¡?

b.Traduire la conjecture précédente sous forme d"une inégalité entre les modules dezA,zBet

z C. c. D émonstrationd ela c onjecture: Soiteetfdeux nombres complexes. On note E et F leur image respective dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal³

O,¡!u,¡!v´

. On considère D l"image du nombre complexeeÅf. i. F aireu nefi gureen p renantsoi nd "éviterle cas p articulieroù O, E et F son talign és. ii. Q uelest l anat uredu qu adrilatèreOE DF?J ustifierv otrerépon se. iii.

C omparerOD et OE ÅED.

iv. E ndéduir equ epour tou tnomb recomp lexeeetf,jeÅfj6jejÅjfj. v. E np osanteAEzAÅzBetfAE¡zA, justifier la conjecture énoncée précédemment.

2.Justifier que pour toutntel quejznj>2 alorsjznj2ÈjznjÅ1.

3.On note N un entier naturel tel quejzNj>2. On poserAE1¡jcj, et on note (un) la suite arithmé-

tique définie à partir du rang N, de premier termeuNAEjzNjet de raisonr. a.Justifier que pour toutnÈN,unÈ2.

b.En utilisant le résultat démontré à la question précédente, démontrer alors par récurrence

que pour toutnÈN,jznjÈun

4.Ainsi, s"il existe un rang N tel queuN>2, alors pour toutnÈN, la suitemnÈun. Déterminer,

dans ce cas, la limite de (mn).

Terminale SMathématiques 2013-2014 p6

Lignes de niveau

Travail suivi n°1

1.On considère l"algorithme suivant :

quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] Ensembles de Julia : Étude d’une famille de suites complexes

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Travail suivi n°1

Présentation du problème :

8n2N,znÅ1AEz2nÅc

9Ainsi dans certains cas, les points M

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Travail suivi n°1

AlgorithmeProgramme Algobox

Déclaration des variables

Entrée

Sortie

Afficher zVARIABLES

DEBUT_ALGORITHME

AFFICHER* "i"

FIN_ALGORITHME

AlgorithmeProgramme Algobox

Déclaration des variables

Entrée

Donner à c la valeur 1-2i

Donner à z la valeur z+c

Sortie

Afficher zVARIABLES

DEBUT_ALGORITHME

AFFICHER* "i"

FIN_ALGORITHMEDéclaration des variables

Entrée

Sortie

Afficher zVARIABLES

DEBUT_ALGORITHME

AFFICHER* "i"

FIN_ALGORITHME

Terminale SMathématiques 2013-2014 p3

AlgorithmeProgramme Algobox

Déclaration des variables

Entrée

Lire z

Lire z"

Donner à z la valeur z*z"

Sortie

Afficher zVARIABLES

DEBUT_ALGORITHME

AFFICHER* "i"

FIN_ALGORITHME

Exercice n° 2: Suite complexe.

8n2N,znÅ1AEz2nL"objectif de cet exercice est de déterminer pour quelle valeur dez0cette suite "reste bornée" c"est à

1.Modifier l"algorithme ci-dessous pour qu"il affiche les 15 premiers termes de la suite Z et leur mo-

Déclaration des variables

Entrée

Lire z

Donner à i la valeur 0

Tant que i<100 faire

Sortie

Afficher z

3.Ouvrir avec geogebra le fichieravjul1.ggb. Dans la figure le point A a pour affixez0, et il est pos-

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Travail suivi n°1

A rendre pour le 7 novembre 2013

1 et la suite complexe (zn) définie par½z0est un nombre complexe donné

8n2N,znÅ1AEz2nÅc

à (Z

1.Dans cette question,la constantecest fixée à0. On retrouve ainsi la suite Z dont on a représenté

2.Constitution d"outil de visualisation de la suite (zn)pourcquelconque.

3.Production d"unalgorithmique de décision:

0est l"affixe de A?

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Ensemble de Julia : Démonstration

Travail suivi n°1

A rendre pour le

8n2N,znÅ1AEz2nÅc

à (Z

1.Démonstration d"une propriété du module :

U nec onjecture:

O,¡!u,¡!v´

¡de rayonjzBj¡jzAj.

O,¡!u,¡!v´

C omparerOD et OE ÅED.

2.Justifier que pour toutntel quejznj>2 alorsjznj2ÈjznjÅ1.

3.On note N un entier naturel tel quejzNj>2. On poserAE1¡jcj, et on note (un) la suite arithmé-

4.Ainsi, s"il existe un rang N tel queuN>2, alors pour toutnÈN, la suitemnÈun. Déterminer,