3 PPCM - PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE 3 1 Définition 3 2 Méthode des facteurs premiers INTERMÈDE HISTORIQUE : ERATOSTHÈNE (276 A C – 196 A C ) EXERCICES DU CHAPITRE ♦ Exercice 1 ♦ Exercice 2 ♦ Exercice 3
cube, on cherche le PPCM de 24, 40 et 60 car la mesure de la longueur de l'arête du cube en cm doit être un multiple à la fois de 24,40 et 60) Si on cherche un nombre de taille minimale ayant telle ou telle propriété, on pense plutôt au PPCM
D´efinition 1 10 Un polynoˆme M est un plus petit commun multiple (ppcm) de deux polynoˆmes A et B si et seulement si 1 M est un multiple commun de A et B, 2 tout multiple commun de A et B est multiple de M Si A ou B est nul, le ppcm de A et B est 0 Si A et B sont tous les deux
D’après le cours II 3 b page 17, le PPCM est obtenu en faisant le produit de tous les facteurs qui figurent dans l'une ou l'autre des deux décompositions, affectés de l'exposant le plus grand avec lequel il figure dans l'une des décompositions Donc PPCM(780 ; 504) = 23 × 32 × 5 × 7 × 13 = 32 760
Résistance à l’ozone : 70 h à 500 ppcm (EPDM et SR)* Résistance aux températures élevées : Pour une vidéo d’installation ou un calculateur
moins bref, ils s'organisent en figure régulière Jusqu'au terme, en PPCM (plus petit commun multiple) en quelque sorte, où l'on revient au germe initial Zajega est plus inspiré par le biologique, l'envahissement progressif d'un espace par une sorte de croissance semi aléatoire d'une forme de rhizome
de ab divise le ppcm des ordres de a et b Montrer que si les ordres de a et b sont premiers entre eux, l’ordre de ab est égal au ppcm des ordres de a et de b Correction H [002124] Exercice 25 Soit G un groupe commutatif Montrer que l’ensemble des éléments d’ordre fini de G forme un sous-groupe de G Indication H [002125] Exercice 26
lcm PPCM round arrondi à l'entier le plus proche fix troncature floor arrondi vers -∞ ceil arrondi vers +∞ sign signe de rem reste de la division exp exponentiel log log népérien log10 log décimal Fonctions trigonométriques sin, asin, sinh, asinh cos, acos, cosh, acosh tan, atan, tanh, atanh
La règle de 3 On utilise la règle de 3 pour résoudre des problèmes de proportionnalité 1 Pour obtenir 100 kg de farine, il faut moudre 120 kg de blé
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Chapitre 1Polynˆomes
Pour le contenu du chapitre "Polynˆomes", on peut se reporter au chapitre
10 du Cours de math´ematiques - Alg`ebre 1
reann´ee de F. Liret et D. Martinais (´editions Dunod), ou au chapˆıtre 13 du livre "Toute l"alg`ebre du 1ercycle" de
J.-P. Escofier (´editions Dunod).
1.1 G´en´eralit´es
Un polynˆome `a une variable sur un corpsK(nous serons essentiellement int´eress´es par les cas o`uKestRouC) est une expression a
0+a1X+···+anXn,
o`u lesaisont des ´el´ements deK(lescoefficientsdu polynˆome). Formellement, on peut d´efinir un polynˆome comme la suite infinie (a0,a1,...,an,...) de ses coefficients, tous nuls `a partir d"un certain rang. Par exemple, le polynˆome
1 + 2X2-X3est cod´e par la suite (1,0,2,-1,0,0,...).
On noteK[X] l"ensemble des polynˆomes surK. Il est muni des deux op´erations de l"addition et de la multiplication, qui en font un anneau commutatif, comme Z. On identifie un ´el´ementadeKau polynˆome constant (cod´e (a,0,0,...)). La multiplication par les ´el´ements deKmunit alorsK[X] d"une structure d"espace vectoriel surK. SoitPun polynˆome non nul. Ledegr´edePest le plus grand entierntel que le coefficientandeXndansPsoit non nul. Ce coefficientans"appelle alors lecoefficient dominantdeP, et on dit quePestunitairesi son coefficient dominant est 1. Par convention on peut d´ecr´eter que le degr´e du polynˆome nul est-∞. On a deg(PQ) = deg(P) + deg(Q). On dit qu"un polynˆomeBdiviseun polynˆomeAs"il existe un polynˆomeQ tel queA=BQ. Noter que le fait qu"`a la foisBdiviseAetAdiviseB´equivaut au fait qu"il existe une constantec?= 0 telle queA=cB. Noter aussi que siB diviseAet deg(A)
4CHAPITRE 1. POLYNˆOMES Soitc?KetP=a0+a1X+···+anXnun polynˆome surK. On pose P(c) =a0+a1c+···+ancn. On dit quecestracinedePquandP(c) = 0. L"applicationc?→P(c) deKdans lui-mˆeme est lafonction polynˆomeassoci´ee au polynˆomeP. On peutsubstituerun polynˆomeQ`a la variableXdans un autre polynˆome Ppour obtenir un nouveau polynˆomeP(Q) (not´e aussiP◦Qchez Liret- Martinais) : siP=a0+a1X+···+anXn, alorsP(Q) =a0+a1Q+···+anQn. On aP1(Q) +P2(Q) = (P1+P2)(Q) etP1(Q)×P2(Q) = (P1P2)(Q). Exercice 1.1
Calculer par r´ecurrence (1 +X)(1 +X2)(1 +X4)···(1 +X2n). Exercice 1.2
SiPest un polynˆome de degr´en`a coefficients dansKetcun ´el´ement deK, combien faut-il d"op´erations (additions et multiplications) dansKpour calculer P(c)? Combien faut-il d"op´erations dansKpour multiplier deux polynˆomes de degr´en? Exercice 1.3
SoientA,B,C,U,Vdes polynˆomes deK[X]. Montrer que siAdiviseBetC, il divise aussiUB+V C. Exercice 1.4
Montrer que, si les trois polynˆomesP,Q,RdeR[X] v´erifient la relation P 2(X)-XQ2(X) =XR2(X),
ils sont nuls (faire jouer la parit´e du degr´e et les signes des coefficientsdomi- nants). Est-ce encore vrai dansC[X]? Exercice 1.5
Soita?K. Montrer queP(X) =X(X+a)(X+2a)(X+ 3a) +a4est un carr´e dansK[X]. En d´eduire une d´ecomposition deQ(X) =X(X+1)(X+2)(X+3)-8 en produit dansR[X]. Exercice 1.6
SoientPetQdes polynˆomes deK[X].
1. Montrer queP(X)-XdiviseQ?P(X)?-Q(X).
2. Montrer queP(X)-XdiviseP?P(X)?-X.
Exercice 1.7
Montrer que l"applicationP?→P(X+a) est une bijection deK[X] sur lui-mˆeme. Quelle est la bijection r´eciproque?
1.2. DIVISION EUCLIDIENNE, PGCD DE DEUX POLYNˆOMES5
1.2 Division euclidienne, pgcd de deux polynˆomes
Un point important qui fait que l"anneau des polynˆomes `a une variable sur un corpsKest tr`es semblable `aZest l"existence d"une division euclidienne. Th´eor`eme 1.1SoientAetBdeux polynˆomes deK[X], avecBdiff´erent du polynˆome nul. Alors il existe des polynˆomesQ(quotient) etR(reste) tels que A=BQ+Ravec degR De plus, le couple(Q,R)v´erifiant ces propri´et´es est unique. Proposition 1.2Le reste de la division euclidienne dePparX-cestP(c). En cons´equence, un ´el´ementc?Kest racine dePsi et seulement siPest divisible parX-c. D´efinition 1.3SiAetBsont deux polynˆomes deK[X], on dit quele polynˆome Dest un plus grand commun diviseur (en abr´eg´e, pgcd) deAetBquand 1.Dest un diviseur commun deAetB,
2. tout diviseur commun deAetBdiviseD.
Autrement dit, l"ensemble des diviseurs deDest ´egal `a celui des diviseurs com- muns deAetB. Ceci ne d´efinit pas le pgcd de mani`ere unique, mais `a un facteur constant non nul pr`es. L"existence du pgcd est ´etablie, comme pour les entiers, par l"al- gorithme d"Euclide. SoientAetBdeux polynˆomes. On pose R 0=A R1=B
et, pourn≥1, tant queRnest non nul, on d´efinitRn+1comme le reste de la division euclidienne deRn-1parRn: R n-1=RnQn+Rn+1avec deg(Rn+1)Comme pour les entiers, on a :
Th´eor`eme 1.5SoientAetBdeux polynˆomes,Dun pgcd deAetB. Il existe des polynˆomesUetVtels queD=UA+V B. D´efinition 1.6Deux polynˆomesAetBsont ditspremiers entre euxquand1 est pgcd deAetB, autrement dit si et seulement si les seuls diviseurs communs deAetBsont les constantes non nulles. 6CHAPITRE 1. POLYNˆOMES
Th´eor`eme 1.7 (Identit´e de Bezout)Deux polynˆomesAetBsont premiers entre eux si et seulement s"il existe des polynˆomesUetVtels queUA+V B= 1. Corollaire 1.8SoitAun polynˆome premier avec chacun des polynˆomesB1,...,Br. AlorsAest premier avec le produitB1···Br. Th´eor`eme 1.9 (Lemme de Gauss)SoientA,BetCdes polynˆomes tels que AetBsoient premiers entre eux et queAdivise le produitBC. AlorsAdivise C. D´efinition 1.10Un polynˆomeMest unplus petit commun multiple(ppcm) de deux polynˆomesAetBsi et seulement si 1.Mest un multiple commun deAetB,
2. tout multiple commun deAetBest multiple deM.
SiAouBest nul, le ppcm deAetBest 0. SiAetBsont tous les deux non nuls, et siDest un pgcd deAetB, alorsAB/Dest un ppcm deAetB. Th´eor`eme 1.11SoientA1,...,Ardes polynˆomes premiers entre eux deux `a deux (Aipremier avecAjsii?=j). Si chaqueAidiviseB, alors la produit A 1···ArdiviseB.
Dans les exercices on dira "le pgcd" ou "le ppcm", et on noterapgcd(A,B) ou ppcm(A,B) pour le pgcd ou le ppcm unitaire. Exercice 1.8
Effectuer les divisions euclidiennes de
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MATHEMATIQUES - Nombres premiers, PGCD, PPCM