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inverse sauf le nombre 0 L’inverse d’un nombre écrit en écriture fractionnaire s’obtient en « inversant » son numérateur et son dénominateur a et b sont des nombres relatifs L’inverse de a b est b a et nécessairement l’inverse de b a est a b (b ne peut pas être égal à 0 car on ne peut pas diviser par 0) Exemples : 1) L

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(autant d’équations que d’inconnues) Lorsqu’on dispose d’une équation scalaire ax = b, pour déterminer x, il sufﬁt de multiplier (à droite ou à gauche) l’équation par l’inverse de a si

1 LES FRACTIONS (Partie 3)

I Inverse d’un nombre Exemples : 0 n’a pas d’inverse ↑ Définition : L’inverse d’un nombre x différent de 0 est x 1 Propriété : Deux nombres sont

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4 L’inverse d’un élément x 2 R⁄ est x0 ˘ 1 x (car x£ x est bien égal à l’élément neutre 1) L’inverse de x est donc x¡1 ˘ 1 x Notons au passage que nous avions exclu 0 de notre groupe, car il n’a pas d’inverse Ces propriétés font de (R⁄,£) un groupe 5 Enﬁn x£ y˘ y£x, c’est la commutativité de la

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Utiliser l’inverse d’une matrice pour résoudre un système d’équations & courbes polynomiales Exercice 1:Dansuneferme,ilyadeslapinsetdespoules Ondénombre58têteset160pattes Combienya-t-ildelapinsdemoinsquedepoules? Solution: –Onchoisitlesdeuxinconnues: – x lenombredelapins; – y lenombredepoules Lenombredetêtesétantde58,onal

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wn=l alors(v n) est une suite convergente et converge vers l Démonstration : A partir d'un certain rangun⩽vn⩽wn, c'est à dire qu'il existe un entier naturel N tel que sin⩾N alors un⩽vn⩽wn Soit I un intervalle ouvert contenant l lim n→+∞ un=l donc il existe un entier natureln 0 tel que : sin⩾n0 alorsun∈I lim n→+∞

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ExercicesLes matrices2012-2013

Spécialité Mathématiques

Term ES

Utiliser l"inverse d"une matrice pour résoudre un systèmed"équations & courbes polynomiales

Exercice 1: Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. On dénombre 58 têtes et 160 pattes.

Combien y a-t-il de lapins de moins que de poules?

Solution:

On c hoisitles deux inconn ues:

-xle nombre de lapins; -yle nombre de poules. Le nombre de têtes étant de 58, on a l"égalité : x+y= 58 Le nombres de pattes étant de 160, on a l"égalité :

4x+ 2y= 160

On obtient ainsi le système :?x+y= 58

4x+ 2y= 160

C esystème p eutse traduire sous la forme matricielle AX=Bavec :

A=?1 1

4 2? ,X=?x y? etB=?58 160?
Il reste à v érifierque la matrice du système A est in versible,auquel cas on aurait :

AX=B??X=A-1B

A la calculatrice, on obtient :

A -1=?-1 0,5

2-0,5?

On effectue le calcul :

X=A-1B=?-1 0,5

2-0,5?

×?58

160?
?-1×58 + 0,5×160

2×58-0,5×160?

?22 36?

Doncx= 22ety= 36.

Finalement, il y a36-22 = 14lapins de moins que de poules.Exercice 2: Stères de bois D"après BAC Pro Maintenance de matériels 2008

Pour mesurer la quantité de bois de chauffage, on utilise comme unité le stère. Lorsqu"un stère

de bois est coupé en bûches, il occupe un volume qui dépend de la longueur de coupe comme indiqué

ci-dessous : un stère de bûc hesde longueur 1 mètre o ccupeun v olumede 1m3;

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ExercicesLes matrices2012-2013

Spécialité Mathématiques

Term ES

un stère de bûc hesde longueur 0,5 mètre o ccupeun v olumede 0,8m3; un stère de bûc hesde longueur 0,33 mètre o ccupeun v olumed"en viron0,68m3.

Pour une longueur L de bûches donnée, le nombre de stèresnest proportionnel au volume V occupé

par le bois rangé. Le coefficient de proportionnalitékL, dont la valeur dépend de la longueur de

coupe, vérifie la relationn=kL×V.

Pour des longueurs de bûches L comprises entre 0,20 m et 1 m, le coefficient de proportionnalitékL

peut être calculé à l"aide de la formule suivante : k

L=aL3+bL2+cL+d

où a, b, c et d sont des réels à déterminer. a.Avec les données fournies, déterminer les valeurs exactes dek1etk0,5.

Solution:Pourk1, on a :1 =k1×1donc :k1= 1.

Pourk0,5, on a :1 =k0,5×0,8donck0,5 =10,8= 1,25.b.En admettant quek0,8= 1,1et quek0,2= 1,76, à l"aide de la questiona, déterminer un

système vérifié par les inconnues a, b, c et d.

Solution:k1= 1donca+b+c+d= 1.

0,5 = 1,5donc0,125a+ 0,25b+ 0,5c+d= 1,25.

0,8 = 1,1donc0,512a+ 0,64b+ 0,8c+d= 1,1.

0,2 = 1,76donc0,008a+ 0,04b+ 0,2c+d= 1,76.

On a donc le système :

?????a+b+c+d= 1

0,125a+ 0,25b+ 0,5c+d= 1,25

0,512a+ 0,64b+ 0,8c+d= 1,1

0,008a+ 0,04b+ 0,2c+d= 1,76c.Résoudre le système précédent à l"aide d"un calcul matriciel. En déduire l"expression dekLen

fonction de L. Solution:Le système d"équations précédent s"écrit sous forme matricielle :AX=Bavec : A=( ((((1 1 1 1

0,125 0,25 0,5 1

0,512 0,64 0,8 1

0,008 0,04 0,2 1)

)))),X=( ((((a b c d) ))))etB=( ((((1 1,25 1,1 1,76)

On chercheA-1à la calculatrice :

((((252 2009
-2509 -12518 -754 -4009 4259
57536
334
2329
-2009 -42536 -1-329 259
259
))))Géraldine MénéxiadisPage 2 / 5

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Spécialité Mathématiques

Term ES

On détermineXpar :X=(

((((a b c d) ))))=A-1B=( ((((-2,5 5,75 -4,75 2,5) Finalement :kL=-2,5L3+ 5,75L2-4,75L+ 2,5.d.Déterminer avec ce qui précède la valeur dek0,6.

Déterminer alors le volume occupé par un stère de bois coupé en bûches de 0,60 m (donner le résultat

arrondi au centième).

Solution:k0,6 = 1,18donc le volume occupé par un stère de bois coupé en bûches de 0,6 m est

de :V=11,18, soit environ0,85m3.Exercice 3: On considère la fonctionfdéfinie sur?parf(x) =ax2+bx+c, où a, b et c sont des coefficients réels.

On donnef(-0,5)=7,f(1)=4 etf(1,5)=5.

a.Montrer que les informations surfse traduisent sous la formeAX=BoùX=( (a b c) )et A et B deux matrices à préciser.

Solution:

f(0,5) = 7??0,25a-0,5b+c= 7 f(1) = 4??a+b+c= 4 f(1,5) = 5??2,25a+ 1,5b+c= 5 Les données précédentes se traduisent sous forme matricielle par :

AX=BavecX=(

(a b c) )etB=( (7 4 5) (0,25-0,5 1 1 1 1

2,25 1,5 1)

(a b c) (7 4 5) )b.En déduire les coefficients a, b et c.

Géraldine Ménéxiadis

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Spécialité Mathématiques

Term ES

Solution:A la calculatrice, on obtient :A-1=(

(13 -43 1 56
43
-12 12 1-12

On obtient donc l"inconnueX=(

(a b c) )=A-1( (7 4 5) (2 -3 5)

Pour tout réelx:f(x) = 2x2-3x+ 5Exercice 4:

D"après BAC Pro Aéronautique 2008

Après arrêt d"un moteur turbo propulseur, l"hélice d"un avion continue à tourner librement jus-

qu"à son arrêt. Son mouvement est un mouvement de rotation uniforme décéléré. Le nombre de tours

Neffectués en fonction du temps t (en secondes) est donné parN=f(t) =at2+bt, où a et b sont des

réels à déterminer ett?[0;72,5].

a.Sachant que l"hélice étudiée effectue 250 tours en 20 secondes et 510 tours en une minute, déter-

miner le système d"équations d"inconnues a et b correspondant à ces données.

Solution:

f(20) = 250??400a+ 20b= 250 f(60) = 510??3600a+ 60b= 510

Comme dans l"exercice précédent, les données précédentes se traduisent sous la forme matricielle :

?400 20

3600 60??

a b? =?250

510?b.Résoudre ce système à l"aide d"un calcul matriciel et en déduire l"expression def(t).

Solution:

AX=B??X=A-1B

A l"aide de la calculatrice :A-1=?-1800

12400
340
-1120

On trouve :X=A-1B=?-0,1

14,5?

Donc pourt?[0;72,5]:f(t) =-0,1t2+ 14,5t.c.On admet que la fréquence de rotation de l"hélice est donnée par la dérivéef"de la fonctionf.

Déterminerf"(t) pourt?[0;72,5], puis déterminer le nombre de tours effectués par l"hélice jusqu"à

son arrêt (arrondir à l"unité).

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Spécialité Mathématiques

Term ES

Solution:Pourt?[0;72,5],f?(t) =-0,2t+14,5. Lorsque l"on arrête le moteur :f?(t) = 0?? t=14,50,2= 72,5.

L"hélice aura alors effectué f(72,5) tours, soit environ 526 tours.Géraldine MénéxiadisPage 5 / 5

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Term ES

Solution:

On c hoisitles deux inconn ues:

4x+ 2y= 160

On obtient ainsi le système :?x+y= 58

4x+ 2y= 160

A=?1 1

AX=B??X=A-1B

A la calculatrice, on obtient :

2-0,5?

On effectue le calcul :

X=A-1B=?-1 0,5

2-0,5?

×?58

2×58-0,5×160?

Doncx= 22ety= 36.

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Spécialité Mathématiques

Term ES

L=aL3+bL2+cL+d

Solution:Pourk1, on a :1 =k1×1donc :k1= 1.

Solution:k1= 1donca+b+c+d= 1.

0,5 = 1,5donc0,125a+ 0,25b+ 0,5c+d= 1,25.

0,8 = 1,1donc0,512a+ 0,64b+ 0,8c+d= 1,1.

0,2 = 1,76donc0,008a+ 0,04b+ 0,2c+d= 1,76.

On a donc le système :

0,125a+ 0,25b+ 0,5c+d= 1,25

0,512a+ 0,64b+ 0,8c+d= 1,1

0,008a+ 0,04b+ 0,2c+d= 1,76c.Résoudre le système précédent à l"aide d"un calcul matriciel. En déduire l"expression dekLen

0,125 0,25 0,5 1

0,512 0,64 0,8 1

0,008 0,04 0,2 1)

On chercheA-1à la calculatrice :

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Term ES

On détermineXpar :X=(

On donnef(-0,5)=7,f(1)=4 etf(1,5)=5.

Solution:

AX=BavecX=(

2,25 1,5 1)

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Spécialité Mathématiques

Term ES

Solution:A la calculatrice, on obtient :A-1=(

On obtient donc l"inconnueX=(

Pour tout réelx:f(x) = 2x2-3x+ 5Exercice 4:

D"après BAC Pro Aéronautique 2008

Solution:

3600 60??

510?b.Résoudre ce système à l"aide d"un calcul matriciel et en déduire l"expression def(t).

Solution:

AX=B??X=A-1B

A l"aide de la calculatrice :A-1=?-1800

On trouve :X=A-1B=?-0,1

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