VECTEURS ET DROITES
1) Vecteur directeur d'une droite Définition : D est une droite du plan On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u qui possède la même direction que la droite D 2) Equation cartésienne d'une droite Théorème et définition : Toute droite D admet une équation de la forme ax+by+c=0 avec (a;b)≠(0;0) Un vecteur directeur
de droites Équations de droites
directeur d'une droite Dé nition 11 1 Soient D une droite et ~u un vec-teur non nul du plan On dit que ~u est un vecteur directeur de D s'il existe deux p oints A et B D tels que ~u= −→ AB riété Prop 11 1 Soient D une droite, ~u et ~v deux vecteurs non nuls du plan On supp ose que ~u est un vecteur directeur de D rs Alo ~v est un
Droites - BAFDILI
alors est un vecteur directeur de D - Si D n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, alors le vecteur 1 a est un vecteur directeur de D, où y = ax + b est une équation de la droite D D u j O i D a 1 u
CHAPITRE 12 : DROITES ET SYSTEMES
est un vecteur directeur de D, où y = ax + b est une équation de la droite D Démonstration : La droite D d’équation y = ax + b passe par les points A 0;b et B 1; ab Les points A et B étant distincts, le vecteur AB de coordonnées 10 a b b soit 1 a est un vecteur directeur de la droite D Exemple : La droite D
FONCTIONS AFFINES, DROITES ET SYSTÈMES
La droite δ a une équation de la forme y =ax+b La droite δ′ a une équation de la forme y =a′x +b′ Dire que les deux droites sont parallèles revient à dire que leur vecteur directeur sont colinéaires Soit que les vecteurs 1 a et 1 a′ sont colinéaires, c’est à dire que a =a′ 4 Droites et système d’équations linéaires
Chap 8 : Fonctions affines et droites - Lycée Jean- Rostand
D´efinition 3 : On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur non nul dont la direction est (D) Remarque : Si A et B sont deux points de (D) alors −−→ AB est un vecteur directeur de (D) Propri´et´e 2 : • Si (D) admet pour´equation y = ax+b dans le rep`ere O ; →− i , −→ j alors le vecteur −→u (1;a) est un vecteur
Droites du plan
27 5 1Equation paramétrique de la droite Dénition 27 17 Vecteur directeur Soit (d) une droite Si A et B appartiennent à (d), le vecteur # AB dirige la droite : c'est un vecteur directeur On choisit A comme origine de (d) Pour tout point M de (d), il existe un nombre k tel que # AM = k # AB ; les vecteurs # AM et #
1 ) ÉQUATION DUNE DROITE A ) ÉQUATION RÉDUITE DUNE DROITE
Si dans un repère (O;⃗i,⃗j), une droite d a pour équation y=ax+b, alors le vecteur ⃗u(1 a) est un vecteur directeur de d Preuve : A(0;b) et B(1;a+b) sont deux points distincts de d Le vecteur ⃗u(1 a) est donc un vecteur directeur de d Propriété : Dans le plan muni d'un repère (O;⃗i,⃗j), on considère les droites d:y=ax+b et
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Équation réduite d’une droite: y mx p= + sauf si verticale alors x a= Avec deux points A et B on résoud le système B B A A y mx p y mx p = + = + Vecteur directeur de ax by c+ + =0 : b u a − = Vecteur normal de ax by c+ + =0 : a n b = Condition de parallélisme des vecteurs x u y = et ' ' x v y = : xy yx' ' 0− = Condition de
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Équation réduite d’une droite: y mx p= + sauf si verticale alors x a= Avec deux points A et B on résoud le système B B A A y mx p y mx p = + = + Vecteur directeur de ax by c+ + = 0 : b u a − = Vecteur normal de ax by c+ + = 0 : a n b = Condition de parallélisme des vecteurs x u y = et ' ' x v y = : xy yx' ' 0− = Condition de
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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET DROITES En 1837, le mathématicien italien Giusto BELLAVITIS, ci-contre, (1803 ; 1880) publie des travaux préfigurant la notion de vecteurs qu'il nomme "segments équipollents". Puis plus tard au XIXe siècle, le mathématicien et physicien allemand Hermann GRASSMANN (1809 ; 1877) pose les bases des opérations sur les segments orientés pour les besoins de la mécanique : addition de forces, de vitesses... Le calcul vectoriel prend alors réellement son essor. I. Colinéarité de deux vecteurs Définition : Deux vecteurs non nuls
u et vsont colinéaires signifie qu'ils ont même direction c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel k tel que
u =kv . Critère de colinéarité : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées x y et x' y' dans un repère (O, i j ). Dire que u et vsont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit : xy' - yx' = 0. Démonstration : - Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. - Supposons maintenant que les vecteurs
u et v soient non nuls. Dire que les vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel k tel que u =kv . Les coordonnées des vecteurs u et vsont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité : x x' y y' Donc : xy' = yx' soit encore xy' - yx' = 0.
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Réciproquement, si xy' - yx' = 0. Le vecteur
v étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que x'≠ 0. Posons alors k= x x' . L'égalité xy' - yx' = 0 s'écrit : y= xy' x' =ky' et donc u =kv . Exemple : Vérifier si les vecteurs u 5 -4 et v -7 5 sont colinéaires. 5 x 5 - (-4) x (-7) = -3 ≠ 0. Les vecteurs u et vne sont pas colinéaires. II. Equations de droite 1) Vecteur directeur d'une droite Définition : Dest une droite du plan. On appelle vecteur directeur de Dtout vecteur non nul
uqui possède la même direction que la droite D. 2) Equation cartésienne d'une droite Théorème et définition : Toute droite D admet une équation de la forme
ax+by+c=0 avec a;b ≠0;0 . Un vecteur directeur de D est u -b;a. Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite D. Démonstration : Soit A
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