Familles libres, génératrices, bases

Définition 1Si{?v1,...,?vn}est une famille de vecteurs d"un espace vectoriel Vsur un corpsK, on appellecombinaison linéairede ces vecteurs (oucombili en abrégé) tout vecteur?v=λ1?v1+···+λn?vnoùλ1,...,λnsont des nombres deK(ces nombres sont appelés lescoefficientsde la combili). Par convention, on dira que la famille vide∅a pour (seule) combili le vecteur?0. Par exemple le vecteur(1,2,4)est combili de(1,1,1)et(0,12 ,32 )car(1,2,4) =

1(1,1,1)+2(0,12

,32 ). Par contre(1,2,4)n"est pas combili de(1,1,1)et(1,2,3). En effet si on avait(1,2,4) =λ(1,1,1) +μ(1,2,3), ceci entraîneraitλ+μ=

1,λ+ 2μ= 2,λ+ 3μ= 4; les deux premières équations entraînentμ= 1et

λ= 0, mais alors la troisième équation n"est pas satisfaite. Remarquons qu"un vecteur peut fort bien s"écrire comme combili d"une fa- mille de différentes façons. Ainsi par exemple(1,2) = 1(1,1)+1(0,1)+0(1,0) =

3(1,1) + (-1)(0,1) + (-2)(1,0).

Noter que?0est combili de n"importe quelle famille de vecteurs{?v1,...,?vn} car on a toujours?0 = 0?v1+···+ 0?vn. Définition 2Une familleF={?v1,...,?vn}d"un espace vectorielVsur un corpsKest ditelibre, et ses vecteurs sont ditslinéairement indépendants, lorsque ?λ1,...,λn?K, λ1?v1+···+λn?vn=?0 =?λ1=···=λn= 0.

Une famille qui n"est pas libre est diteliée.

Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule combili de ses vecteurs qui donne le vecteur?0est celle dont tous les coefficients sont nuls. Inversément, une famille est liée lorsqu"il existe une combili de ses vecteurs qui donne?0et dont les coefficients ne sont pas tous nuls.

Par exemple{(1,1,1),(0,12

,32 )}est une famille libre car siλ(1,1,1)+μ(0,12 ,32 (0,0,0), ceci entraîne queλ= 0,λ+12

μ= 0,λ+32

μ= 0; les deux premières équa-

tions suffisent pour imposer queλ=μ= 0. Par contre{(1,1,1),(0,12 ,32 ),(1,2,4)} est liée car1(1,1,1) + 2(0,12 ,32 ) + (-1)(1,2,4) = (0,0,0)avec des coefficients qui ne sont pas tous nuls (ils sont même tous non nuls). Noter qu"une famille qui contient?0est toujours liée. Définition 3Une familleF={?v1,...,?vn}d"un espace vectorielVsur un corpsKest ditegénératricelorsque tout vecteur?v?Vest combili de ses vec- teurs. Par exemple la famille{(1,1,1),(1,2,3)}n"est pas génératrice deR3car on a vu plus haut que(1,2,4)(entre autres) n"est pas combili de ces vecteurs. Par contre{(1,1,1),(1,2,3),(1,2,4)}est génératrice car étant donné un vecteur 1 quelconque(a,b,c)?R3, on peut trouver des coefficientλ,μ,νtels que(a,b,c) = λ(1,1,1)+μ(1,2,3)+ν(1,2,4). En effet pour obtenir ceci il faut et il suffit que ?λ+μ+ν=a

λ+ 2μ+ 2ν=b

λ+ 3μ+ 4ν=c

En résolvant ces équations on trouve :

λ= 2a-b μ=-2a+ 3b-c ν=a-2b+c

Ainsi par exemple le vecteur(0,1,2)est combili de(1,1,1),(1,2,3),(1,2,4) avec les coefficientsλ=-1,μ= 1,ν= 0. Définition 4Une familleF={?v1,...,?vn}d"un espace vectorielVsur un corpsKest ditebasedeVlorsqu"elle est libre et génératrice. Par exemple la famille{(1,1,1),(1,2,3),(1,2,4)}est une base deR3. En effet nous avons déjà vu que c"était une famille génératrice deR3; de plus le calcul que nous avons fait des coefficientsλ,μ,νqui permettent d"obtenir(a,b,c) comme combili de ces vecteurs montre en particulier que pour obtenir(0,0,0), il faut que les coefficients soient nuls; par conséquent cette famille est aussi libre. Remarquons que d"après nos conventions, la famille vide∅est une base de l"espace vectoriel{?0}qui ne contient qu"un élément. Proposition 5SiB={?v1,...,?vn}est une base d"un espace vectorielV, tout vecteur?v?Vs"écrit de façon uniquecomme combili des vecteurs de la base. Preuve.Tout vecteur?v?Vs"écrit comme combili deBpuisque c"est une partie génératrice. Supposons que?v=λ1?v1+···+λn?vn=μ1?v1+···+μn?vn. Ceci entraîne que (λ1-μ1)?v1+···+(λn-μn)?vn=?v-?v=?0. Et commeBest libre, ceci entraîne queλ1-μ1=···=λn-μn= 0, c"est-à-dire queλ1=μ1,...,λn=μn. Ainsi la combili des vecteurs deBqui donne?vest bien unique.? Définition 6SiB={?v1,...,?vn}est une base d"un espace vectorielV, et?v=

1?v1+···+λn?vnest un vecteur deV, les coefficientsλ1,...,λnde la combili

(unique) des vecteurs deBqui donne le vecteur?vsont appelés lescoordonnées de?vdans la baseB. On écrit les coordonnées dans un tableau vertical qu"on notera B (?v) =( 1... n) Ainsi par exemple les coordonnées du vecteur?v= (0,1,2)deR3dans la baseB={(1,1,1),(1,2,3),(1,2,4)}sont B (?v) =( (-1 1 0) 2 L"espace vectorielR3a aussi une baseC={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, ap- peléebase canonique. Les coordonnées d"un vecteur dans la base canoniquene sont rien d"autre que ses composantes. Ainsi pour le même?v= (0,1,2), on a C (?v) =( (0 1 2) Lemme 7Si on ajoute un vecteur à une famille génératrice, elle reste généra-

trice. Si on retire à une famille génératrice un vecture qui est combili des autresvecteurs de cette famille, elle reste génératrice.

Lemme 8Une famille est liée si et seulement si elle contient un vecteur qui est combili des autresvecteurs de cette famille. Proposition 9SiG={?u1,...,?um}est une famille génératrice, alors il existe une sous-famille deGqui est une base. Preuve.SiGn"est pas libre, elle contient par le lemme 8 un vecteur qui est combili des autres; disons que c"est?um. Donc par le lemme 7, on peut le retirer deGet la familleG?={?u1,...,?um-1}est encore génératrice. On réitère le raisonnement avecG?, et ainsi de suite tant qu"on n"obtient pas une famille libre. Comme il n"y a qu"un nombre fini d"éléments dansG, le processus doit s"arrêter tôt ou tard..? Lemme 10Si on retire un vecteur d"une famille libre, elle reste libre. Si on ajoute à une famille libre un vecteur ni n"est pascombili des vecteurs de cette famille, elle reste libre. Théorème 11SoitVun espace vectoriel. S"il y a une base{?v1,...,?vn}deV qui comptenéléments, alors - toute famille libre deVcompte au plusnéléments; - toute famille génératrice deVcompte au moinsnéléments; - et toute base deVcompte exactementnéléments. Ce nombrenest appelédimensiondeV, et se notedimV. En particulier la dimension de l"espace vectorielRnsur le corpsRestncar il possède une base ànéléments, ditecanonique: Notons que la dimension dépend non seulement deVmais aussi du corpsK. Ainsi l"espace vectorielC2surCa pour base{(1,0),(0,1)}et sa dimension est donc 2 mais l"espace vectorielC2surRa pour base{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)}et sa dimension est donc 4. Preuve.SoientG={?u1,...,?um}une famille génératrice deVetL={?w1,..., ?wr} une famille libre. PuisqueGest génératrice,?w1=λ1?u1+···+λm?um. L"un des coefficientsλiest non nul (sinon,?w1=?0etLserait liée); disons qu"il s"agit de

1. Alors

1=1λ

1?w1+ (-λ2λ

1)?u2+ (-λ3λ

1)?u3+···+ (-λmλ

1)?um 3 Donc?u1est combili de{?w1,?u2,...,?um}. OrGest génératrice, donc{?w1,?u1,...,?um} aussi, donc par le lemme 7G?={?w1,?u2,...,?um}aussi. Dès lors?w2=μ1?w1+λ?2?u2+···+λ?m?um. L"un des coefficientsλ?iest non nul, sinon on aurait?w2=μ1?w1etLne serait pas libre par le lemme 8; disons que c"estλ?2qui est non nul. Alors ?u

2=1λ

?2?w

2+ (-μ1λ

?2)?w1+ (-λ?3λ ?2)?u3+ (-λ?4λ ?2)?u4+···+ (-λ?mλ ?2)?um Donc?u2est combili de{?w2, ?w1,?u3,...,?um}. OrG?est génératrice, donc aussi {?w2, ?w1,?u2,?u3,...,?um}, donc par le lemme 7G??={?w1, ?w2,?u3,...,?um}aussi. On peut continuer de la sorte en remplaçant chaque?uipar?witout en conser- vant une famille génératrice. Si on avaitm < r, on obtiendrait ainsi{?w1,..., ?wm}génératrice, et donc?wr serait combili de{?w1,..., ?wm}, ce qui par le lemme 8 contredit la liberté deL; On a ainsi montré que le nombre d"éléments de n"importe quelle famille libre est inférieur ou égal au nombre d"éléments de n"importe quelle famille génératrice. En particulier le nombre d"éléments de n"importe quelle famille libre est inférieur ou égal àn(qui est le nombre d"éléments d"une base, donc famille génératrice). Et en particulier le nombre d"éléments de n"importe quelle famille génératrice est supérieur ou égal àn(qui est le nombre d"éléments d"une base, donc famille libre). N"importe quelle base qui est à la fois libre et génératrice aura doncnéléments.?

Notons que ce théorème a pour conséquence que toute famille qui n"a pasautant d"éléments que la dimension de l"espace ne peut pasêtre une base. Par

exemple puisquedimR3= 3, on peut dire d"office que ni{(1,1,1),(1,2,3)}, ni {(1,1,1),(1,2,3),(1,-1,5),(0,8,2)}ne sont des bases deR3, la première famille n"ayant pas assez d"éléments pour être génératrice, et la seconde famille ayant trop d"éléments pour être libre. Proposition 12SoitVun espace vectoriel de dimensionn. Alors - toute famille libre deVqui comptenéléments est une base; - toute famille génératrice deVqui comptenéléments est une base. Preuve.Par hypothèse,Vpossède une baseB={?v1,...,?vn}avecnéléments. Soit une famille libreL={?w1,..., ?wn}avecnéléments. SupposonsLnon génératrice, c"est-à-dire qu"il existe un vecteur?v?Vqui n"est pas combili des vecteurs deL. Dans ce cas,L?={?v, ?w1,..., ?wn}est aussi libre par le lemme

10. Mais alors on a une famille libreL?qui a plus d"éléments qu"une famille

génératriceB, ce qui contredit le théorème 11. Soit une famille génératriceG={?u1,...,?un}avecnéléments. Supposons Gnon libre, donc par le lemme 8 elle contient un élément qui est combili des autres; disons que c"est?un. Par le lemme 7, la familleG?={?u1,...,?un-1} est encore génératrice. Mais alors on a une famille génératriceG?qui a moins d"éléments qu"une famille libreB, ce qui contredit le théorème 11.? Retenons surtout de cette proposition que si on connaît la dimension d"un espace vectorielV, alors pour vérifier qu"une famille est une base, il suffit de vérifier qu"elle possède autant d"éléments que la dimension, et qu"elle est libre. 4quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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Fiche méthode 3 : Montrer qu’une famille est libre 1 La