Fiche méthode 3 : Montrer qu’une famille est libre 1 La
F HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Fiche méthode 3 : Montrer qu’une famille est libre Danstoutelasuite,Edésigneunespacevectoriel(pasforcémentdedimensionfinie)
Familles libres, génératrices, bases
Noter qu’une famille qui contient ~0 est toujours liée Définition 3 Une famille F = {~v 1, ,~v n} d’un espace vectoriel V sur un corps K est dite génératrice lorsque tout vecteur ~v ∈ V est combili de ses vec-teurs Par exemple la famille {(1,1,1),(1,2,3)} n’est pas génératrice de R3 car
Espaces vectoriels de dimension finie - prepacomnet
>onc la famille ˆ ˘˝ ˚˝ ˛ est une famille génératricefamille génératricefamille génératrice de ℝ² MontrerMontrer qu'une famille est génératrice revient à montrer qqu'une famille est génératrice revient à montrer quu'un système a des solutions 'un système a des solutions 'un système a des solutions
Feuille d’exercices 6 : Familles libres, g en eratrices
La notion de famille libre se g en eralise a une famille de vecteurs de cardinal quelconque Une famille F= fx ig i2I est libre ssi 8Jsous-ensemble d’indices ni ˆI; X j2J jx j = 0 ) j = 0 8j2J: Les deux premiers exercices qui suivent donnent des conditions equivalentes pour d eterminer si une famille nie est libre ou li ee
Exo7 - Cours de mathématiques
2 Montrer que toute famille contenant une famille liée est liée 3 Montrer que toute famille inclue dans une famille libre est libre 4 Montrer que si f: EF est une application linéaire et que fv1, ,vpgest une famille liée de E, alors ff (v1), , f (vp)gest une famille liée de F 5 Montrer que si f: E
FICHE MÉTHODE POUR L’ALGÈBRE LINÉAIRE EN L1
La famille L est dite génératrice si l’espace vectoriel engendré par L est E tout entier Le problème est plus compliqué qu’il n’y paraît En toute généralité, pour montrer qu’une famille est génératrice, il faut montrer que tout élément de E s’écrit comme une combinai-son linéaire des vecteurs de la famille en question
1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel
M´ethode : Pour montrer qu’une famille a` n el´ ´ements est li ee, on peut effectuer un pivot, et montrer que´ le nombre de pivots est < a` n; cela fournit en meme temps une base de l’espace ˆ Exercice 6 1) Montrez que la famille F = ((1,1,1,1),(2,1,−1,0),(4,3,1,2)) est liee, et trouver une base de´ l’espace engendre par cette
Espaces vectoriels - Claude Bernard University Lyon 1
1 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ℝ3 2 Déterminer une famille génératrice de et montrer que cette famille est une base 3 Montrer que { , } est une base de 4 Montrer que { , , } est une famille libre de ℝ3 5 A-t-on ⊕ =ℝ3 6 Soit =( , , ), exprimer dans la base { , , }
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Dimension finie
finie. Pour ces espaces, nous allons voir comment calculer une base, c"est-à-dire une famille minimale de vecteurs
qui engendrent tout l"espace. Le nombre de vecteurs dans une base s"appelle la dimension et nous verrons comment
calculer la dimension des espaces et des sous-espaces.1. Famille libre
1.1. Combinaison linéaire (rappel)
SoitEunK-espace vectoriel.Définition 1.
Soientv1,v2,...,vp,p>1 vecteurs d"un espace vectorielE. Tout vecteur de la forme u=1v1+2v2++pvp(où1,2,...,psont des éléments deK) est appelécombinaison linéairedes vecteursv1,v2,...,vp. Les scalaires
1,2,...,psont appeléscoefficientsde la combinaison linéaire.1.2. Définition
Définition 2.
Une famillefv1,v2,...,vpgdeEest unefamille libreoulinéairement indépendantesi toute combinaison linéaire
nulle1v1+2v2++pvp=0
est telle que tous ses coefficients sont nuls, c"est-à-dire1=0,2=0, ...p=0.
Dans le cas contraire, c"est-à-dire s"il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls, on dit
que la famille estliéeoulinéairement dépendante. Une telle combinaison linéaire s"appelle alors unerelation de
dépendance linéaireentre lesvj.DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE2
1.3. Premiers exemples
Pour des vecteurs deRn, décider si une famillefv1,...,vpgest libre ou liée revient à résoudre un système linéaire.
Exemple 1.
Dans leR-espace vectorielR3, considérons la famille8 :0 @1 2 31A ,0 @4 5 61
A ,0 @2 1 01 A9 On souhaite déterminer si elle est libre ou liée. On cherche des scalaires(1,2,3)tels que 1
123
+2456
+3210
=000 ce qui équivaut au système : 81+42+23=0
21+52+3=0
31+62=0
On calcule (voir un peu plus bas) que ce système est équivalent à :123=02+3=0Ce système a une infinité de solutions et en prenant par exemple3=1on obtient1=2et2=1, ce qui fait que
20 @1 2 31A 0 @4 5 61
A +0 @2 1 01 A =0 @0 0 01 A
La famille
8 :0 @1 2 31A ,0 @4 5 61
A ,0 @2 1 01 A9 est donc une famille liée. Voici les calculs de la réduction de Gauss sur la matrice associée au système :0 @1 4 2 2 5 1
3 6 01
A 0 @1 4 2 0330661
A 0 @1 4 2 033
0 0 01
A 0 @1 4 2 0 1 10 0 01
A 0 @1 02 0 1 10 0 01
AExemple 2.
Soientv1=
111
,v2=210
,v3=211
. Est-ce que la famillefv1,v2,v3gest libre ou liée? Résolvons le système linéaire correspondant à l"équation1v1+2v2+3v3=0 :81+22+23=0
12+3=0
1+3=0On résout ce système et on trouve comme seule solution1=0,2=0,3=0. La famillefv1,v2,v3gest donc une
famille libre.Exemple 3.
2103
1251
7158
. Alorsfv1,v2,v3gforme une famille liée, car3v1+v2v3=0.
1.4. Autres exemples
Exemple 4.
Les polynômesP1(X) =1X,P2(X) =5+3X2X2etP3(X) =1+3XX2forment une famille liée dans l"espace vectorielR[X], car3P1(X)P2(X)+2P3(X) =0.
DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE3
Exemple 5.Dans leR-espace vectorielF(R,R)des fonctions deRdansR, on considère la famillefcos,sing. Montrons que c"est
une famille libre. Supposons que l"on aitcos+sin=0. Cela équivaut à8x2Rcos(x)+sin(x) =0.
En particulier, pourx=0, cette égalité donne=0. Et pourx=2, elle donne=0. Donc la famillefcos,singest
libre. En revanche la famillefcos2,sin2,1gest liée car on a la relation de dépendance linéairecos2+sin21=0. Les
coefficients de dépendance linéaire sont1=1,2=1,3=1.1.5. Famille liée
SoitEunK-espace vectoriel. Siv6=0, la famille à un seul vecteurfvgest libre (et liée siv=0). Considérons le cas
particulier d"une famille de deux vecteurs.Proposition 1. La famillefv1,v2gest liée si et seulement si v1est un multiple de v2ou v2est un multiple de v1.Ce qui se reformule ainsi par contraposition : " La famillefv1,v2gest libre si et seulement siv1n"est pas un multiple
dev2etv2n"est pas un multiple dev1. »Démonstration.
Supposons la famillefv1,v2gliée, alors il existe1,2non tous les deux nuls tels que1v1+2v2=0. Si c"est1
qui n"est pas nul, on peut diviser par1, ce qui donnev1=21v2etv1est un multiple dev2. Si c"est2qui n"est
pas nul, alors de mêmev2est un multiple dev1.Réciproquement, siv1est un multiple dev2, alors il existe un scalairetel quev1=v2, soit1v1+()v2=0, ce
qui est une relation de dépendance linéaire entrev1etv2puisque16=0: la famillefv1,v2gest alors liée. Même
conclusion si c"estv2qui est un multiple dev1.Généralisons tout de suite cette proposition à une famille d"un nombre quelconque de vecteurs.
Théorème 1.
SoitEunK-espace vectoriel. Une familleF=fv1,v2,...,vpgdep>2vecteurs deEest une famille liée si et seulement
si au moins un des vecteurs deFest combinaison linéaire des autres vecteurs deF.Démonstration.C"est essentiellement la même démonstration que ci-dessus.
Supposons d"abordFliée. Il existe donc une relation de dépendance linéaire1v1+2v2++pvp=0,
aveck6=0 pour au moins un indicek. Passons tous les autres termes à droite du signe égal. Il vient
kvk=1v12v2pvp,oùvkne figure pas au second membre. Commek6=0, on peut diviser cette égalité parket l"on obtient
v k=1 kv 12 kv 2p kv p,c"est-à-dire quevkest combinaison linéaire des autres vecteurs deF, ce qui peut encore s"écrirevk2VectF nfvkg
(avec la notation ensemblisteAnBpour l"ensemble des éléments deAqui n"appartiennent pas àB).
Réciproquement, supposons que pour un certaink, on aitvk2VectF nfvkg. Ceci signifie que l"on peut écrire
v k=1v1+2v2++pvp, oùvkne figure pas au second membre. Passantvkau second membre, il vient0=1v1+2v2+vk++pvp,
ce qui est une relation de dépendance linéaire pourF(puisque16=0) et ainsi la familleFest liée.
DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE4
1.6. Interprétation géométrique de la dépendance linéaire
•DansR2ouR3, deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s"ils sont colinéaires. Ils sont donc sur
une même droite vectorielle.DansR3, trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s"ils sont coplanaires. Ils sont donc dans un
même plan vectoriel.v 1v 20 e 2e 3e 1v 1v 2v3Proposition 2.
SoitF=fv1,v2,...,vpgune famille de vecteurs deRn. SiFcontient plus denéléments (c"est-à-direp>n), alorsF
est une famille liée.Démonstration.Supposons que v 1=0 B BB@v 11 v 21...v n11 C
CCAv2=0
B BB@v 12 v 22...v n21 C
CCA...vp=0
B BB@v 1p v 2p... v np1 C CCA.L"équation
x1v1+x2v2++xpvp=0
donne alors le système suivant8>>>< >>:v11x1+v12x2++v1pxp=0
v21x1+v22x2++v2pxp=0
v n1x1+vn2x2++vnpxp=0C"est un système homogène denéquations àpinconnues. Lorsquep>n, ce système a des solutions non triviales
(voir le chapitre " Systèmes linéaires », dernier théorème) ce qui montre que la familleFest une famille liée.Mini-exercices.
1.Pour quelles valeurs det2R,1t,t2
test une famille libre deR2? Même question avec la famillen1t t 2 t2 111t1
o deR3. 2. Montrer que toute famille contenant une famille liée est liée. 3. Montrer que toute famille inclue dans une famille libre est libre. 4.Montrer que sif:E!Fest une application linéaire et quefv1,...,vpgest une famille liée deE, alors
ff(v1),...,f(vp)gest une famille liée deF. 5.Montrer que sif:E!Fest une application linéaireinjectiveet quefv1,...,vpgest une famille libre deE, alors
ff(v1),...,f(vp)gest une famille libre deF.DIMENSION FINIE2. FAMILLE GÉNÉRATRICE5
2. Famille génératrice
SoitEun espace vectoriel sur un corpsK.
2.1. DéfinitionDéfinition 3.Soientv1,...,vpdes vecteurs deE. La famillefv1,...,vpgest unefamille génératricede l"espace vectorielEsi
tout vecteur deEest une combinaison linéaire des vecteursv1,...,vp.Ce qui peut s"écrire aussi :
8v2E91,...,p2Kv=1v1++pvpOn dit aussi que la famillefv1,...,vpgengendrel"espace vectorielE.
Cette notion est bien sûr liée à la notion de sous-espace vectoriel engendré : les vecteursfv1,...,vpgforment une
famille génératrice deEsi et seulement siE=Vect(v1,...,vp).