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Sp ecialit e math ematiques Premi ere

Premi ere D erivation d’une fonction compos ee Exemple : On consid ere la fonction f d e nie par f(x) = p 3x + 1 1 D eterminer l’ensemble de d e nition de f 2 D eterminer l’ensemble de d erivabilit e de f 3 Calculer f0(x) pour tout x de l’ensemble de d erivabilit e 1) Pour d eterminer l’ensemble de d e nition, on r esout l’in

COURS DE MATHEMATIQUES PREMI´ ERE ANN` EE (L1)´ UNIVERSITE

COURS DE MATHEMATIQUES PREMI´ ERE ANN` EE (L1)´ UNIVERSITE DENIS DIDEROT PARIS 7´ Marc HINDRY Introduction et pr´esentation page 2 1 Le langage math´ematique page 4 2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes, structures alg´ebriques page 23 4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33 5 L’anneau des entiers Z page 46

Concours X Ens 2006 - PSI - Maths (4H) Premi`ere Partie

Concours X Ens 2006 - PSI - Maths (4H) Premi`ere Partie 1 (a) La fonction indicatrice de l’intervalle ]−1,1[ est continue par mor-ceaux de R dans R, positive, ne prend pas la valeur 0 sur l’intervalle

CORRIGE DE L’´ EPREUVE MATH 1 DE L’X 2009´ Premi`ere partie

Premi`ere partie (1) Soit g(t) = f(et x) alors g0(t) = xet f0(et x) d’ou` g0(0) = xf0(x) = (Af)(x) (2) Soit p ∈ N et f(x) = x palors, par une r´ecurrence imm´ediate, (Anf)(x) = pnx d’ou` tn n (Anf)(x) = (pt)n n xp qui est le terme g´en´eral d’une s´erie exponentielle convergente On a alors X n>0 tn n (Anf)(x) = ept xp = (et x

Concours National Marocain 1999 Corrig edelapremi ere epreuve

question2) de la premi ere partie, le produit in ni Y n 1 (1+ (−1)n+1 p n)diverge Donc, on peut avoir des s eries P u n convergentes sans que leurs produits in nis Q (1+u n) soient convergents 4-Las erie X n 1 −1 4n2 estabsolumentconvergente, doncd’apr es la question 2) de la deuxi eme partie, le produit in ni Y n 1 (1+ −1 4n2)converge 3

Exercice 1 - WordPresscom

on d eveloppe par rapport a la premi ere colonne D n+1 = det(A+(2cos )I n+1) = 2cos 1 (0) 1 2cos 1 (0) 1 2cos := 2cos D n 1 0 (0) 1 2cos 1 2cos 1 (0) 1 2cos :on d eveloppe par rapport a la premi ere ligne D n+1 = 2cos D n D n 1 2 montrons que D n= sin(n+ 1) sin pour tout n 1 On a : l’ equation caract eristique associ ee a la

Arendrelundi01Novembre2010 - WordPresscom

Premi`ere m´ethode (utilisant les d´eriv´ees) 1 Pr´eciser et justifier le domaine de d´efinition de f et de g 2 Pr´eciser les points ou` f est d´erivable et montrer que f′ = 1 2ch 3 Faire de mˆeme avec la fonction g On justifiera le calcul efffectu´e 4 En d´eduire que f = g Deuxi`eme m´ethode (trigonom´etrique) 1

CONCOURS G2E MATHEMATIQUES

p le num ero du lancer ou appara^ t «pile» pour la premi ere fois (dans l’exemple propos e, on a T p = 3) et T fp le num ero du lancer ou apparait le motif «face pile» pour la premi ere fois (dans l’exemple propos e, on a egalement T fp = 3) (a)Justi er que T p suit une loi g eom etrique dont on pr ecisera le param etre

THS-S

www maths-S {orthogonaux www maths-S {orthogonaux MATHS-S FR Premi ere S-exercice corrig e Chapitre 7: Produit scalaire Chapitre 7 : Lecture graphique du produit scalaire avec les projet es orthogonaux EXERCICE 7-2-1 temps estim e:7-10mn Dans chaque cas, calculer le produit scalaire des vecteurs u et v , l’unit e etant d e nie par un

CONCOURS G2E MATHEMATIQUES

di erent Par exemple, si n> 3 et que les num eros des premi eres zones atteintes par la bille sont 2, 2, 2, 3, 1 alors : T 1 prend la valeur 1 (correspondant a la premi ere victoire) T 2 prend la valeur 3 (correspondant aux seconde, troisi eme et quatri eme victoires) T 3 prend la valeur 1 (correspondant a la cinqui eme victoire) 1 (a

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CPGE Lycee technique

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2TSI1 Mathematiques 2020-2021,

Corrige

Exercice 1::

Soita1;:::;an2Ketb1;:::;bn2Ktels que pour tout (i;j),ai+bj6= 0:

Soit le determinant d'ordren:n=

1a

1+b11a

1+b2:::1a

1+bn1a

2+b1::: :::1a

2+bn...

1a n+b1:::1a n+bn 1. S'il existe ( i;j)2 f1;2;::;ng2;telles quei6=j ;ai=ajalorsli=Ljet donc n= 0 de m^eme sibi=bj, alorsCi=Cjet donc n= 0 On suppose dorenavant que lesaisont deux a deux distincts de m^eme que lesbjet que les sommesai+bjsont toutes non nulles .on se propose de calculer npar recurrence . 2.

Calculer

1=1a

1+b1pour 2=(a1+b2)(a2+b1)(a1+b1)(a2+b2)(a1+b1)(a1+b2)(a2+b1)(a2+b2)=(a2a1)(b2b1)Y

1i;j2(ai+bj)

3. On consid erean+1;bn+12Kveriant les conditions precedentes et la fraction rationnelle

F(X) =(Xb1):::(Xbn)(X+a1):::(X+an+1)

(a) On a le degr ede la fraction rationnelle Fest egale a1 et F admetn+1 p^oles simples distinctsai;i= 1:::n+ 1 ,D'apres le th de decomposition en elements simples qu'il existe (1;2;:::;n+1)2Kn+1telle queF(x) =n+1X i=1 iX+ai, (b)

Calculer la v aleurde n+1

n+1= limx!an+1(x+an+1)F(x) =n Y i=1(an+1bi)n Y i=1(an+1+ai)=n Y i=1(an+1+bi)n Y i=1(an+1ai) n+1est non nulle. car lesan+1+bi6= 0 par hypothese . (c)

On c onsiderele d eterminant

n+1, on ajoute a sa derniere ligneLn+1la combinaison lineaire des lignes n+1X i=1 iLi, on obtient un nouveau determinant egal an+1n+1= 1a

1+b11a

1+b2:::1a

1+bn+11a

2+b1::: :::1a

2+bn+1...

1a n+b1:::1a n+bn+1F(b1)F(b2):: F(bn+1) 1a

1+b11a

1+b2:::1a

1+bn+11a

2+b1::: :::1a

2+bn+1...

1a n+b1:::1a n+bn+10 0::0F(bn+1) :dont la derniere ligne est constituee par les coecientsF(bi);i= 1;::n+ 1 qui sont tous nuls sauf celui de la position (n+ 1;n+ 1) qui est egal aF(bn+1) , on developpe le determinant obtenu par rapport a sa derniere ligne on obtientn+1n+1=F(bn+1)net donc n+1=F(bn+1)n n+1 (d)

En d eduire

n d'apres la question precedente , on a n+1=F(bn+1)n n+1== nF(bn+1)n Y i=1(an+1ai)n Y i=1(an+1+bi)= Y i=1(an+1ai)n Y i=1(an+1+bi) http://mathscpge.wordpress.com 1

CPGE Lycee technique

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2TSI1 Mathematiques 2020-2021et puisque

1i;j2(ai+bj)alors on

verie par recurrence que n=Y

1i

1i;jn(ai+bj)

Exercice 2::

Soitn2N,

A=0 B

BBB@0 1 (0)

1 ......1 (0) 1 01 C

CCCA2 M

n(R) Pour tout2Rtelle que sin6= 0, On poseDn() = det(A+ (2cos)I) 1. une relation d er ecurrenceen treDn+1;DnetDn1pour toutn2 on developpe par rapport a la premiere colonneDn+1= det(A+(2cos)In+1) =

2cos1 (0)

1 ...2cos1 (0) 1 2cos

2cosDn

1 0 (0)

1 2cos1

...2cos1 (0) 1 2cos :on developpe par rapport a la premiere ligne D n+1= 2cosDnDn1 2. mon tronsque Dn=sin(n+ 1)sinpour toutn1. On a : l'equation caracteristique associee a la relation recurrenteDn=sin(n+ 1)sinpour tout n1 estr22cosr+ 1 = 0 admet deux solutions complexeseieteidistinctes car sin6= 0 donc le terme general de la suiteDns'ecrit sous la formeDn=cosn+sinn et puisqueD1= 1 etD2= 4cos21 on obtient

2cos=cos+sin

4cos

21 =cos2+sin2

et on le determinant de ce systeme est = sinet = sinet = cos donc= 1=cossinetDn= cosn+cossinnsin =sin(n+ 1)sin 3. En d eduireles v aleurspropres de A. onsin(n+ 1)sin= 0,=kn+ 1;k2 f1;2;:::ng le polyn^ome caracteristique de A de degre n possede exactementnracines distinctes sont

2cos(kn+ 1);k2 f1;2;:::ngce sont les vp deA

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