Produit vectoriel - F2School
Chapitre 5 — Produit vectoriel, produit mixte Produit vectoriel 1 Rappels 1 On a vu que Le produit vectoriel permet de calculer l’aire d’un triangle : aire
§ 3 Produit vectoriel - F2School
Applications du produit vectoriel Aire d'un triangle a fi b fi Géométriquement l'aire du triangle sous-tendu par les vecteurs a fi,b fi est égal à la moitié de l'aire du parallélogramme sous-tendu par les vecteurs a fi,b fi Aire Ktriangle Ka fi,b fi OO= 1 2 þa fi ·b fi þ Distance d'un point à une droite
TP : produit vectoriel
TP : produit vectoriel 1°) Choisissez trois points de l’espace et calculez l’aire exacte du triangle ainsi formé Vérifiez avec Geogebra 2°) Même
Feuille complémentaire sur produit scalaire, produit vectoriel
1- Trouver l’aire du parallèlogramme de côtés v 1 et v 2 2- Trouver l’aire du triangle dont 2 des côtés sont v 1 et v 2 Exercice 4 : Soient = 4 2 1 v 1, = 0 3 2 v 2 1- Calculer v 1 ⋅v 2 2- En utilisant le produit scalaire, calculer l’angle tdes vecteurs v 1 et v 2 3- Calculer v 3 =v 1 ∧v 2 4- En utilisant le produit vectoriel
Algèbre 4 - COURSES
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3-ème année, mathématiques niveau avancé
Edition 2004-2005
§ 3 Produit vectoriel
Liens hypertextes
Produit scalaire 3D:
Supports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère):3.1 Construction
Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteursEtant donné deux vecteurs a®
, b® , on appelle produit vectoriel des vecteurs a® , b® le vecteur c® , noté c® =a®´b®
, défini de la manière suivante: dans le cas où a® , b® ne sont pas colinéaires, la direction de c® est définie par c®¦a®
et c®¦b®
le sens de c® est tel que que le triplet a® ,b® ,c® est direct, c'est-à-dire obéit à la règle de la main droite; la norme de c® est égale à l'aire du parallélogramme sous-tendu par a® ,b® , c'est-à-direþc®
þ=þa®
´b®
þ=þa®
þ×h=þa®
þ×þb®
þ×ýsinHjLý où j=a®
,b® a® b®c®jh dans le cas où a® , b® sont colinéaires, on a a® =0® ,b® =0® ousinHjL=0; c'est pourquoi on pose c® =a®´b®
=0®ProduitVectoriel-Determinant.nb15
Propriétés
Première propriété
Il découle de la définition que, pour tout vecteur a® , on a a®´a®=0®Deuxième propriété
b®´a®=-Ka®´b®
O HantisymétrieL
a® b a® ´b a® b b´a®
Troisième propriété
Pour toute base orthonormée directe i®
,j® ,k® , on a i®´j®
=k® ,j®´k®
=i® ,k®´i®
=j®HrègledespermutationscycliquesL
i® j® k® En combinant les propriétés 2 et 3, on obtient j®´i®
=-k® ,k®´j®
=-i® ,i®´k®
=-j®ProduitVectoriel-Determinant.nb16
Quatrième propriété
Jl×a®N´b®
=l×Ka®´b® ODans le cas où l>0, la direction et le sens des deux expressions précédentes sont les mêmes; pour la norme, lorsqu'on
multiplie le côté a® par l, l'aire du parallélogramme est multilpliée par l (dans la figure, l=1.6): a® b® a®´b®l×a® l×a®´b®Lorsque l<0, les sens des deux membres sont inversés; en effet, pour le membre de gauche, si a®
,b® ,c® est direct, c'est alors -a® ,b® ,-c® qui est direct (dans la figure, l=-1.6): a® b® a®´b®l×a® l×a®´b®D'une manière analogue, on montre que
a®´Km×b®O=m×Ka®´b®
OProduitVectoriel-Determinant.nb17
Cinquième propriété
Ja1+a2N´b®
=a1´b® +a2´b® a®´Kb1+b2O=a®´b1+a®´b2 Démontrons la propriété dans le cas particulier où les vecteurs a1 ,a2,b® sont coplanaires. a1a2a1+a2b®h1h2h1+h2i® j®Dans une base orthonormée directe i®
,j® ,k® dont les deux premiers vecteurs sont dans le plan de la figure, les produits vectoriels sont des multiples de k® . Pour le cas de figure représenté,þa1´b®
+a2´b® 0 0þa1´b®
0 0þa2´b®
þ=þa1´b®
þ+þa2´b®
h1×þb®þ+h2×þb®
þ=Hh1+h2L×þb®
þ=þJa1+a2N´b®
Il y a d'autres cas de figures à envisager: il est possible que les deux aires doivent se soustraire, mais la démonstration
demeure semblable.Quant au cas où les trois vecteurs ne sont pas coplanaires, nous renonçons à donner une démonstration, mais nous
effectuerons des vérifications au § 3.2. On regroupe les propriétés 4 et 5 en disant que le produit vectoriel est bilinéaire.ProduitVectoriel-Determinant.nb18
Expression analytique du produit vectoriel (ou définition algébrique du produit vectoriel)En utilisant les propriétés précédentes, nous pouvons exprimer le produit vectoriel en composantes dans une base
orthonormée directe i® ,j® ,k® . Pour a®=a1i® +a2j® +a3k® a1 a2 a3 ;b® =b1i® +b2j® +b3k® b1 b2 b3 on a a®´b® =Ka1i® +a2j® +a3k®O´Kb1i®
+b2j® +b3k® O= a1b1i®´i®
+a1b2i®´j®
+a1b3i®´k®
+a2b1j®´i®
a2b2j®´j®
+a2b3j®´k®
+a3b1k®´i®
+a3b2k®´j®
+a3b3k®´k®
0® +a1b2k® +a1b3 K-j®O+a2b1K-k®
O+0®
+a2b3i® +a3b1j® +a3b2K-i®O+0®
Ha2b3-a3b2L i®
+Ha3b1-a1b3L j® +Ha1b2-a2b1L k® a1 a2 a3 b1 b2 b3 a2b3-a3b2 a3b1-a1b3 a1b2-a2b1HVoirFormulairesettablesL
3.2 Vérifications
Puisque, dans l'établissement de la formule du produit vectoriel, nous avons sauté une démonstration, effectuons des
vérifications. L'expression analytique du produit vectoriel possède les 5 propriétés du § 3.1 Ces vérifications sont laissées au soin du lecteur. L'expression analytique du produit vectoriel vérifie la définition géométrique