Analyse Complexe 2005-2006 - Exo7 : Cours et exercices de
Il s’agit du polycopié (154 pages) d’un cours fait par l’auteur à l’automne 2005 On trouvera des exercices et des examens sur la page de l’auteur De plus un autre polycopié, plus court, a été rédigé l’année suivante, et il est aussi disponible sur la page de l’auteur
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2 1 Racines carrées d’un nombre complexe Pour z 2C, une racine carrée est un nombre complexetel que2 = z Par exemple si x 2R +, on connaît deux racines carrées : p x, p x Autre exemple : les racines carrées de 1 sont i et i Proposition 3 Soit z un nombre complexe, alors z admet deux racines carrées, et Attention
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Université Lille 1 - UFR de Mathématiques
Licence de Mathématiques (S5, année 2005-2006)L305 : ANALYSE COMPLEXE
Responsable : Jean-François Burnol
Note : le texte pourrait (devrait) être rendu plus compréhensible par l"incorporation de figures
appropriées; leur mise en place a été reportée par l"auteur à une hypothétique date ultérieure et en
attendant le lecteur est encouragé à utiliser les marges pour y dessiner lui-même ce qui lui paraîtra
utile. Il s"agit du polycopié (154 pages) d"un cours fait par l"auteur à l"automne 2005. On trouvera des exercices et des examens sur la pagede l"auteur. De plus un autre polycopié, plus court, a été rédigé l"année suivante, et il est aussi disponible sur la pagede l"auteur. Quelques sections du présent cours y furent reprises, ce quidonna lieu à quelques amélio- rations, non répercutées ici a posteriori.Table des matières
1 Premiers pas4
2 Dérivabilité au sens complexe, équations de Cauchy-Riemann8
3 L"exponentielle complexe12
4 Fonctions analytiques15
5 Principe du prolongement analytique21
6 Les fonctions holomorphes sont analytiques26
7 Existence de primitives et Théorème de Cauchy-Goursat29
8 Annexes33
8.1 Différentiabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2 Séries doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.3 Théorème de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.4 L"équation différentielley??+y= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9 Le Logarithme complexe43
10 Ouverts étoilés et primitives50
11 Fonctions puissances et série binomiale52
212 Intégrales le long de chemins54
13 Critère d"holomorphie, limites uniformes62
14 Intégrales à paramètre complexe65
15 Annexes71
15.1 Interversion de séries et d"intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
15.2 Continuité d"intégrales à paramètres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
15.3 Dérivabilité d"intégrales à paramètres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
15.4 Intégrales doubles de fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
15.5 Dérivées secondes mixtes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
16 Singularités isolées, Pôles79
17 De la Série Binomiale à la fonction Gamma (I)85
18 Formule des Compléments, Produit infini pour sinus, Nombres de Ber-
noulli 8719 De la Série Binomiale à la fonction Gamma (II)91
20 Convergence de la Série Binomiale94
21 Les intégrales Euleriennes97
22 Preuve de la Formule des Compléments102
23 La série hypergéométrique et un Théorème de Gauss104
24 Annexes109
24.1 Formule de Stirling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
24.2 Théorème d"Abel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
24.3 Critère d"Abel-Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
25 Formules de Cauchy (pour un disque)117
26 Formule de la moyenne et Principe du maximum119
27 Théorème de Liouville121
28 Séries de Laurent et Résidus123
29 Invariance par homotopie126
30 Indices de lacets, variation de l"argument131
31 Le théorème des résidus avec indices134
32 Le théorème des résidus en version classique136
Université Lille 1
c?JF Burnol, 2005,2006,2007 333 Annexes141
33.1 Formules de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
33.2 Théorème de convergence uniforme de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . 143
33.3 Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
33.4 Sur les cycles homologiquement triviaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
33.5 Ouverts simplement connexes et Théorèmes de Riemann. . . . . . . . . . . 152
Licence de Mathématiques (S5, troisième année) L305 " Analyse Complexe» 4PREMIER CHAPITRE
1 Premiers pas
Que vautlog(-1)? On peut imaginer quelog(-1)+log(-1) = log((-1)(-1)) = log(1) =0donc2log(-1) = 0donclog(-1) = 0. Plus généralement2log(-r) = log((-r)2) =
log(r2) = 2log(r), pourr >0et donclog(-r) = log(r). D"ailleurs si l"on calcule alors d dxlog(x)pourx <0on obtient par la règle de dérivation des fonctions composées : d dxlog(x) =ddxlog(-x) =1-xddx(-x) =-1x×(-1) = +1xce qui paraît réconfortant puisque d dxlog(x) =1xpourx >0. L"argument paraît convaincant. Mais on a aussi la formuleexp(log(x)) =x, donc on devrait avoirexp(log(-1)) =-1. Mais avec notre définition je trouveexp(log(-1)) = exp(0) = 1, et non pas-1. Il y a un problème. Bien sûr on pourrait définir totalement arbitrairementlog(x)pour x <0, le tout c"est de trouver une définition qui soit le plus compatible avec ce dont on a l"habitude. Essayons à partir de la formule de base pour définir le logarithme : log(x) =? x 1dt t C"est clair que l"on a un problème si l"on veut fairex <0puisque l"intervalle allant de1 àxpassera par une singularité de l"intégrand1 t. On peut tenter de prendre comme formule une valeur principale à la Cauchy : log(x) = lim?→0+(? 1 x -?)dt t, ce qui donnelim?→0+(log(?)+[log|t|]x-?)soit tout simplementlog(|x|)(la valeur de l"intégrale ne dépend pas de?, dans ce cas particulier; cela s"explique par le fait que1 test une fonction impaire). On retombe sur la valeur problématiquelog(-1) = 0. À ce stade, il faut avoir une inspiration de génie. La voici : lorsque l"on va de1àx <0 on rencontre en0la singularité de1 t, mais c"est parce que l"on est confiné à l"axe réel. AlorsUniversité Lille 1
c?JF Burnol, 2005,2006,2007 5 plongeons cet axe réel dans un plan dont il sera l"axe horizontal et suivons un chemin dans le plan allant de1àx <0sans passer par l"origine. On veut que1 tait un sens le long de ce chemin, alors pour cela il n"y a pas d"autre choix que de considérer ce plan comme le plan des nombres complexest=z=x+iy, et de calculer1 tau sens des nombres complexes, et de poserdt=dx+idy. Alors nous prendrons comme définition : log(-1) =? -1 1dz z=? -11dx+idyx+iy=?
-11(x-iy)(dx+idy)x2+y2,
?u γ(u)?= 0. Nous avons paramétré le chemin menant de1à-1par le nombre réelu?[0,1] (dans votre tête imaginez ce[0,1]comme vivant sur une autre copie deRque celle plongée dansC, sinon cela risque de créer un terrible embrouillamini), etle chemin lui-même, par définition, est une certaine fonction dérivableγ: [0,1]→C.Notre notation
?-11n"est pas bonne. Elle devrait refléter le fait que nous avons choisi un
cheminγ. On écrira donc dorénavant?γdz
z. Dans la dernière intégrale à droite on remplace xparx(u),dxparx?(u)du, etc..., et l"on arrive à la définition : log(-1) =?γdz
z:=? 10(x(u)-iy(u))(x?(u) +iy?(u))x(u)2+y(u)2du
J"ai abrégéx(γ(u)) = Re(γ(u))enx(u)et idem poury(u) = Im(γ(u)). Dans l"équation ci-dessus la dernière expression est la définition de?γdz
z. On s"est ramené à l"intégrale d"une fonction (un peu compliquée, à valeurs complexes) surl"intervalle réel[0,1]. En ce qui concerne le symbolelog(-1)on s"attend à ce qu"il dépende du chemin choisi, donc on devrait peut-être le noterlogγ(-1)par exemple. Tout cela est bien, mais qu"est-ce que cela donne concrètement? Par exemple on peut prendreγ(u) = cos(πu)+isin(πu)qui va de+1à-1par le demi-cercle de rayon1dans le demi-plan supérieur. On obtient alors : log(-1) =? 10?(cos(πu)-isin(πu))(-πsin(πu) +iπcos(πu))?du
=iπ? 10?(cos(πu)-isin(πu))(+isin(πu) + cos(πu))?du=iπ
Bon,log(-1)vautiπen fin de compte! enfin, non. Voyons ce qui passe avec le cheminγ(u) = cos(πu)-isin(πu), qui passe lui par le demi-plan inférieur. Je vous invite à faire le
Licence de Mathématiques (S5, troisième année) L305 " Analyse Complexe»6calcul. Vous trouverezlog(-1) =-iπet non plus+iπ. Remarquez que la réponse ancienne
0qui vient de la valeur principale au sens de Cauchy est la moyenne entre+iπet-iπce
qui n"est pas un hasard, mais en fait tout cela commence à devenir assez embrouillé; alors, vraiment, c"est0ou+iπou-iπ? C"est le moment d"énoncer un théorème que nous n"avons pas encore les moyens de prouver mais que nous établirons plus tard : Théorème 1Si le chemin dérivableγ: [0,1]→Cva de+1à-1, ne passe pas par0, et reste toujours dans le demi-plan supérieurIm(z)≥0, alors l"intégrale?γdz
zvaut+πi.Elle ne dépend pas du chemin (restant dans le demi-plan supérieur).Si le cheminreste dans le demi-plan inférieur alors l"intégrale vauttoujours-πi. Dans le cas général
la valeur de l"intégrale est toujours de la formeπi+k(γ)2πiavec un certaink(γ)qui est un
nombreentier relatif(k(γ)?Z). Cek(γ)ne change pas lorsque l"on déforme le chemin sans jamais le faire passer par l"origine; plus encore si deux chemins ont le mêmekc"est que l"on peut déformer continûment (sans jamais passer par zéro!) le premier de manièreà le faire coïncider avec le second.
Remarquez que le fait queπi?=-πiprouve, compte tenu de ce qu"affirme le théorèmequ"il est impossible de déformer dans le plan le demi-cercle supérieur en le demi-cercle infé-
rieur sans qu"à un moment l"un des chemins intermédiaires nepasse par l"origine (et tout enmaintenant les extrémités fixes, si on pouvait bouger les extrémités alors certainement on
pourrait déformer l"un en l"autre sans passer par l"originedu plan). C"est là quelque chose qui paraît intuitivement évident, mais qui n"admet pas de démonstration mathématique- ment rigoureuse " gratuite ». En fait ce genre de question està l"origine de la " Topologiealgébrique », une discipline mathématique dont les débuts se trouvent dans les travaux de
Riemann sur l"Analyse Complexe. Plus tard nous évoquerons un autre théorème de Topo-logie du plan, le Théorème de Jordan, dont la démonstration serait encore plus difficile, et
que nous admettrons. Pour en revenir au théorème une version plus complète nous dirait que si un chemin part de1et aboutit enz0alors?γdz
zpeut prendre une infinité de valeurs distinctes, mais deux quelconques parmi elles diffèrent toujours par un multiple entier relatif de2πi. AutrementUniversité Lille 1
c?JF Burnol, 2005,2006,2007 7ditlog(z0)n"est défini qu"à2πiprès. À vrai dire si l"on imposez0/?]-∞,0]et aussi si l"on
oblige le chemin à éviter]- ∞,0]alors l"intégrale donne un résultat qui est indépendant
du chemin choisi; on l"appelle la détermination principaledu logarithme et on la noteraLog(z0).
Donc le problème avec la preuve quelog(-1) = 0car2log(-1) = log((-1)2) = log(1) =0c"est qu"en faitlog(1)lui-même n"est défini qu"à2πiprès, et donc lorsque l"on divise par
2on prouve quelog(-1)vaut0certes, mais seulement à1
22πi=πiprès. Donc cela ne
contredit pas les valeursπi+k2πidonnées par les intégrales. On pourrait penser que le problème est lié à l"emploi de la formulelog(z1) + log(z2) = log(z1z2)mais cette formule est tout-à-fait valable à2πiZprès. Donc on peut écrire2log(-1) = 0à condition de comprendre cela à2πiZprès.
Comme nous le verrons en ce qui concerne la détermination principaleLog(z), la formule Log(z1) + Log(z2) = Log(z1z2)n"est effectivement pas toujours valable (elle est valable si et seulement si|Im(Log(z1) + Log(z2))|< π). Mais elle est toujours valable modulo2πi. Avec les nombres réels, la fonction logarithme, historiquement comme logiquement, vient avant la fonction exponentielle. Le logarithme est cette découverte géniale dont les anciens de l"Antiquité ne disposaient pas, à savoir que l"on peut transformer des multiplicationsen des additions. Il est lié à la géométrie de l"hyperbole, mais le plus simple maintenant
est de le définir parlog(1) = 0,log?(x) =1 x. Ensuite on prouvelog(ab) = log(a) + log(b), limx→0log(x) =-∞,limx→+∞log(x) = +∞, et l"on définitexp :R→]0,+∞[comme sa
fonction réciproque (grâce au théorème des valeurs intermédiaires). On prouveexp(t+u) =
exp(t)exp(u), et : ?t?Rexp?(t) = exp(t) Nous avons vu qu"il y a des difficultés avec le logarithme de nombres réels négatifs, difficultés qui sont partiellement résolues en passant aux nombres complexes. Après tout trouverlog(x)c"est résoudre l"équationexp(z) =x, donc on progressera peut-être à condi- tion de disposer d"une fonction " exponentielle complexe ».Notons la provisoirementE(z). Licence de Mathématiques (S5, troisième année) L305 " Analyse Complexe»8On veutE(x) =expourx?R, et on va imposer aussi
?z?CE?(z) =E(z)Ici il faut faire une pause importante.
2 Dérivabilité au sens complexe, équations de Cauchy-Riemann
Définition 1 (dérivabilité et holomorphie)Une fonctionf:U→Csur un ouvert du plan complexe est ditedérivable au sens complexeau pointz0?Usi la limite f ?(z0) := limh→0f(z0+h)-f(z0) h existe. La fonctionfest diteholomorphesurUsi elle dérivable au sens complexe en tout point deU, et elle est dite holomorphe sur un ensembleAsi il existe un ouvertVcontenant Asur lequelfest définie et holomorphe. Une fonction holomorphe surCtout entier est ditefonction entière. Par exemple, la fonctionf(z) =zest holomorphe surC, etf?(z) = 1. La fonction f(z) =z2est une fonction entière etf?(z) = 2z. En effetf(z0+h) =f(z0) +h(2z0+h),d"où le résultat. Vous démontrerez que les résultats habituels sur(f+g)?,(fg)?,(f/g)?, et
(g◦f)?valent pour les fonctions dérivables d"une variable complexe1. En particulier par
récurrence surn?N,n >0, on obtientd dzzn=nzn-1et d"ailleurs cela vaut aussi pour n?Z(pourn= 0, on considère que la formule veut dire0, même enz= 0). Remarque : pour des raisons qui seront explicitées en une autre occasion on préfère habituellemnt la notation ∂zàddz. La fonctionf(z)de la variable complexez=x+iypeut (doit) aussi être vue comme une fonction des deux variables réellesxety.2On écrira d"ailleurs souvent
f(x+iy) =u(x,y) +iv(x,y), u= Ref,v= Imf1. prouver aussi(g◦f)?(t) =g?(f(t))f?(t)pourf:I→Cune fonction dérivable sur un intervalle réel,
etgune fonction holomorphe surf(I).2. on s"efforce en général de réserver certaines lettres (x,y,u,v,t,p,q,σ,τ...) pour les réels et d"autres
Université Lille 1
c?JF Burnol, 2005,2006,2007 9Dans le calcul def?(z), prenonshréel : alors on est en train d"évaluer la dérivée partielle
∂xf(x+iy), donc f ?(z0) =∂ ∂x? ?(x,y)=(x0,y0)f(x+iy) =∂u ∂x(x0,y0) +i∂v∂x(x0,y0) Tacitement on a utilisé le fait que la partie réelle (respectivement, imaginaire) d"une limite est la limite des parties réelles (respectivement, imaginaires), donc l"existence def?(z0) implique l"existence des dérivées partielles par rapport àxdes fonctionsuetv(au point (x0,y0)). Dans le calcul def?(z), prenonshimaginaire pur :h=ik,k?R,k→0. Alors (pourquoi?) on est en train d"évaluer la dérivée partielle 1 i∂∂yf(x+iy), donc f ?(z0) =1 i∂∂y? ?(x,y)=(x0,y0)f(x+iy) =-i∂uquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47