[PDF] Cours Algebre et Analyse I`

ALGÈBRE 1

10 CHAPITRE I GROUPES Exercice 1 11µ —Soit G le sous-groupe (de type fini) de GL2(Q) engendré par les matrices 2 0 0 1 ¶ et µ 1 1 0 1 ¶ Montrer que le sous-groupe de G qui consiste en les éléments de G dont les

Exo7 - Cours de mathématiques

site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes et d’y parvenir Bonne route

Cours d’algèbre Maths1 LMD Sciences et Techniques

cours Toutes les remarques et commentaires sont les bienvenus de la part des étudiants ainsi que de la part d’enseignants ou spécialistes en mathématiques ou utilisateurs de mathématiques Ces remarques et commentaires nous permettront certainement d’améliorer le contenu ainsi que la présentation de la version finale

Algèbre 1

cours sont enseignés au premier semestre, tandis qu’en France et en Allemagne les cours d’algèbre ne commencent qu’en deuxième année et reposent sur les cours d’algèbre linéaire Ne soyez pas choqués par ce fait (mais gardez-le à l’esprit quand vous regardez des livres– il vous faut aussi des livres sur l’algèbre linéaire)

ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

ISPB, Faculté de Pharmacie de Lyon Année 2014 - 2015 Filière ingénieur 3ème année de pharmacie ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

Algèbre relationnelle

Cours 3 - - - - - - - - - - Le modèle relationnel, et en particulier l'algèbre relationnel qui lui est associée, est aussi le fondement théorique du langage standard SQL, qui est utilisé pour manipuler les données stockées dans une BD

Cours Algebre et Analyse I`

Universite 8 Mai 1945 - Guelma´ Dr HITTA Amara Cours Algebre et Analyse I` Conformement aux programmes´ LMD : DEUG I–MI/ST– 2008/2009 Mathematiques et informatique´

[PDF] exercice corrigé algèbre linéaire espace vectoriel

[PDF] exercice corrigé matrice de passage pdf

[PDF] algebre 3 ensa

[PDF] algèbre 4

[PDF] jordanisation cours pdf

[PDF] algebre 3 exo7

[PDF] réduction des endomorphismes pdf

[PDF] algèbre 3 cours et 600 exercices corrigés pdf

[PDF] exercices corrigés algebre 2 reduction endomorphisme

[PDF] exercices + solutions forme de jordan

[PDF] matrice de passage changement de base exercices corrigés

[PDF] exercices corrigés sur les formes bilinéaires et quadratiques

[PDF] algèbre bilinéaire cours

[PDF] algèbre bilinéaire exo7

[PDF] algebre 4 pdf

Universit´e 8 Mai 1945 - Guelma

Dr HITTA Amara

Cours Alg`ebre et Analyse I

Conform´ement aux programmes

LMD : DEUG I-MI/ST- 2008/2009

Math´ematiques et informatique

Exercices Corrig´es

Facult´e des Sciences et de l'Ing´enierie

1 Analyse, Alg`ebre I et exercices corrig´es e-mail : Hitta2@hotmail.fr 2

Chapitre1

Th´eorie des Ensembles et relations

1.1 Op´erations sur les ensembles

D´efinition.Un ensembleFestinclusdans un ensembleE, lorsque tout ´el´ement deF appartient `aEet on ´ecritF?E. SiF?EetE?=F, l"inclusion est dite stricteou queFest une partie propredeEet on noteF?E. FE Lorsqu"il existe au moins un ´el´ement deFn"appartenant pas `aEalorsFn"est pas inclus dansEet on ´ecritF??E. D"autre part, deux ensemblesEetFsont ´egaux si et seulement si chacun est inclu dans l"autre, c"est `a dire :

E=Fsi et seulement siE?FetF?E.

3 Analyse, Alg`ebre I et exercices corrig´es e-mail : Hitta2@hotmail.fr On admet, par ailleurs, l"existence d"un ensemble unique n"ayant aucun ´el´ement appel´e ensemble videet contenu dans n"importe quel ensemble. On le note∅. Les symboles? et?sont de nature diff´erente : ¬Le symbole?est une relation entre un ´el´ement et un ensemble;x?E. Le symbole?exprime l"inclusion d"un ensemble dans un autre;{x} ?E. +Exemple1.1.1On a{x?Z;x2= 1}={-1,+1} ?Z. D"autre part, 2?Npar contre{2} ?N. CommeZ?RetZ?=RalorsZ ? R. u Certains ensembles de r´ef´erence sont form´es par construction `a partir de l"ensemble des entiers naturelsN: •L"ensembleZ, des entiers relatifs, est construit pour r´esoudre les ´equations de la formex+a=b, (a,b)?N2eta > b. •La consid´eration de l"´equationax=b,aetb?Z?, nous conduit `a une extension de

Zpar l"ensembleQdes nombres rationnels :

En effet, un probl`eme aussi simple que la r´esolution de l"´equationxn=a,a?Q?+et n?N,n"admet pas de solutions en g´en´eral dansQ. Plus pr´ecis´ement, pourn= 2 : +Exemple1.1.2L"´equationx2= 2 n"admet pas de solutions dansQ.u •Mais, on sait former deux suites de nombres de rationnels l"une croissante, not´ee (xn) :x1= 1,4, x2= 1,41, x3= 1,414,···et l"autre d´ecroissante, not´ee (yn) : y

1= 1,5, y2= 1,42, y3= 1,415,···telles que 2-x2nety2n-2 soient aussi petits

qu"on le veut pournsuffisament grand avecx2n<2< y2n.Ces deux suites de nombres rationnels d´efinissent un mˆeme nombre d´esign´e par⎷ 2.

Reste `a montrer que

2n"est pas un nombre rationnel.

+Exemple1.1.3⎷2/?Q:Supposons qu"il s"ecrit sous forme rationnel c"est- `a-dire⎷

2 =p/qo`upetqsont premiers entre eux, doncp2= 2q2, 2 divisepcar

petp2ont la mˆeme parit´e. Il en r´esulte que 4 divisep2. Il existe alorsp?tel que p

2= 4p?, d"o`uq2= 2p?c"est-`a-dire 2 divisepetqce qui contredit le fait qu"ils sont

premiers entre eux. De mˆeme⎷

2 +⎷3/?Qcar si⎷2 +⎷3 =rest rationnel,

alors⎷

3 =⎷2 + (1/r) donc 3 = 2 + 2(1/r)⎷2 + (1/r2) et⎷2 serait rationnel.

Contradiction.

u 4 Analyse, Alg`ebre I et exercices corrig´es e-mail : Hitta2@hotmail.fr •Un autre exemple int´eressant est `a signaler. Il s"agit du calcul de la circonf´erence Cd"un cercle de diam`etred?Q, qui n"est pas un ´el´ement deQc"est-`a-dire que C/d=π /?Q. De plusπ2/?Qcarπne peut ˆetre solution d"aucune ´equation de la formex2=q,q?Q. En faitπne v´erifie aucune ´equation polynˆomiale `a cœfficients rationnels de la formea0xn+a1xn-1+···+an-1x+an= 0 o`ua0?= 0 et a

1,···,an?Q.

Un nombre v´erifiant une ´equation de la forme pr´ec´edente est dit . Dans le cas contraire, il est dit nombre transcendant: Les rationnels et les irrationnels forment l"ensembleR. +Exemple1.1.4Le nombreπest transcendant. Les nombres⎷3 et 4/5 sont des nombres alg´ebriques puisqu"ils sont solutions respectives des ´equationsx2-3 = 0 et 5x-4 = 0. Le nombre⎷

2 +⎷3 est un nombre alg´ebrique car il est solution de

x

4-10x2+ 1 = 0.

u

Il existe, par ailleurs, un proc´ed´e dˆu au Math´ematicienAllemand R. Dedekind, utilis´e

pour passer des nombres rationnels aux nombres r´eels. C"est la notion de coupuredans l"ensembleQ. On construit, enfin, l"ensembleCdes nombres complexes, pour donner un sens aux racines

des ´equations du second degr´e dont le d´escriminant est n´egatif et qui n"ont pas, de ce fait,

de solutions dansR. En r´ecapitulant, on a les inclusions suivantes

N?Z?Q?R?C.

A partir d"un ensembleE, on peut ´edicter certaines r`egles permettant de construire de nouveaux ensembles. Ainsi, on peut classer tous les ´el´ements deEen sous-ensembles.

Cette op´eration s"appelle

partitionde l"ensembleE. On forme un nouveau ensemble appel´e ensemble des partiesdeE, not´eP(E), caract´eris´e par la relation suivante :

A?P(E) si et seulementA?E.

L"ensembleP(E) n"est pas vide, car il contient au moinsEet l"ensemble vide. 5 Analyse, Alg`ebre I et exercices corrig´es e-mail : Hitta2@hotmail.fr

R´eunion et intersection de deux ensembles:

AB On appeller´eunionde deux ensemblesAetB, not´e A?B, l"ensemble form´e des ´el´ementsxappartenant `a

AouBc"est-`a-direx?A?Bsi et seulemet six?A

ou (inclusif)x?B.

On appelle

intersectionde deux ensemblesAetB, not´eA∩B, l"ensemble form´e des ´el´ementsxappartenant `aAet

Bc"est-`a-direx?A∩Bsi et seulement six?A

etx?B. [Partie commune hachur´ee et colori´ee]. Deux ensembles sont ditsdisjointssi leur intersection est ´egale `a l"ensemble vide. Deux propositions sont dites contradictoiressi l"une des deux est vraie et les deux ne sont pas vraies en mˆeme temps (ou exclusif). +Exemple1.1.5Dans l"ensembleN, on aD(24)?D(16) ={1,2,3,4,6,8,12,16,24} etD(24)∩D(16) ={1,2,3,4,8}. Par contre les sous-ensemblesD(7) etD(16) sont disjoints. u

Les propri´et´es essentielles qui relient l"intersectionet la r´eunion sont r´esum´ees dans les

deux propositions qui suivent. Proposition1.1.1SoientA,BetCtrois parties deE, on a :

A∩(B?C) = (A∩B)?(A∩C)

A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C).

On dit que l"intersection estdistributivepar rapport `a la r´eunion et vice-versa. Preuve:Fixonsx?A∩(B?C) on a [x?Aetx?B?C], d"o`u (x?Aetx?B) ou (x?Aetx?C) soit quex?(A∩B)?(A∩C), d"o`u l"inclusion dans un sens. Dans l"autre sens, consid´eronsx´el´ement du second terme, alorsx?A∩Bou x?A∩C. Dans les deux cas, on ax?Aet x?B?C, ce qu"il faut d´emontrer. La deuxi`eme ´egalit´e se d´emontre de la mˆeme fa¸con. u 6 Analyse, Alg`ebre I et exercices corrig´es e-mail : Hitta2@hotmail.fr D´efinition.On appelleensemble compl´ementairedeA?P(E), not´e?EA, l"ensemble des ´el´ements deEqui n"appartiennent pas `aA, c"est-`a-dire ?EA={x?E/x /?A}. Lorsqu"il n"y a pas d"ambiguit´e surE, le compl´ementaire deAdansEsera not´eAc.

Pour tousA,B?P(E) on notera parA\B,

la diff´erence deAetB, l"ensemble des ´el´ements deAn"appartenant pas `aB, doncA\B={x?E:x?Aetx /?B}. On d´efinit de mˆeme la diff´erenceB\A. En particulier :E\A=?EA=Ac. +Exemple1.1.6DansN, si l"on d´esigne parD(n) l"ensemble des diviseurs de l"entier natureln, on auraD(24)\D(16) ={3,6,12,24}etD(16)\D(24) ={16}. L"ensemble R\Qest form´e par les nombres irrationnels comme le nombreπ. u

Proposition1.1.2SoientAetB?P(E), alors

(A∩B)c=Ac?Bcet (A?B)c=Ac∩Bc. Preuve:On va montrer la premi`ere ´egalit´e. Soitx?(A∩B)calorsx /?Aoux /?B, donc [x?Acou x?Bc] soit quex?Ac?Bc. Inversement, six?Ac?Bcalors [x /?A ou x /?B] soit quex /?A∩Betx?(A∩B)c. La deuxi`eme ´egalit´e est un exercice.u D´efinition.On appellepartitiondeEtoute familleF= (Ei)i?Iform´ee de parties non vides deE, qui v´erifie les2conditions suivantes : GLes parties sont deux `a deux disjointes c"est-`a-dire?i?=j?I, Ei∩Ej=∅. GLeurs r´eunion est ´egale `aEc"est-`a-direE=? i?IE i.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8