[PDF] R eduction des endomorphismes (Alg ebre 3)

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1

4 Jordanisation en dimension 4 Cet exemple sera juste abord´e, voici un descriptif des situations possibles avec une valeur propre d’ordre 4 D’abord on remarque que (ϕ−λId)4 = 0 • La matrice I4 • Si dim(Eλ) = 1 alors il existe P telle que P−1AP = J4(λ) On trouve une base de Jordanisation en cherchant u tel que (ϕ−λId)3

Décomposition de Dunford et réduction de Jordan

Réduction de Jordan et tableaux de Young

Réduction de Jordan et tableaux de Young Igor Kortchemski Juin 2006 Résumé Ce texte est un recueil de notes prises lors d'un exposé de Rached Mneimné

Algèbre-III Réduction des endomorphismes

Algèbre-III Réduction des endomorphismes Alexis Tchoudjem Université Lyon I 10 octobre 2011

Diagonalisation et trigonalisation

Pour ce cours il est important de conna^ tre le th eor eme donnant les divers crit eres de diago-nalisation des endomorphismes, (savoir calculer les sous-espaces propres d’un endomorphisme), le th eor eme de Caylay-Hamilton, le th eor eme de trigonalisation, et de savoir les pratiquer sur des exemples de taille 2, 3, eventuellement 4

Daniel ALIBERT Espaces vectoriels Applications linéaires

Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 6 2 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet,

Exercices corrigés d’algèbre linéaire 2 Réduction des

cours d’analyse Les exercices sont ici groupés par familles, et disposés de manière à peu près progressive Les exercices des § 1, 2 et 5 s’adressent à tous, ceux des § 8, 9, 10 s’adressent aux candidats aux grands concours Prière de ne pas diffuser ce document sur la toile

Réduction d’endomorphismes Chap 07 : cours complet

Chapitre 07 : Réduction d’endomorphismes – Cours complet - 2 - Théorème 6 4 : généralisation du théorème 6 4 Théorème 6 5 : caractérisation des matrices triangulaires supérieures en termes de sous-espaces stables 7 Polynômes d’endomorphisme, de matrice carrée

R eduction des endomorphismes (Alg ebre 3)

Ce polycopi´e est issu du cours d’Alg`ebre 3 de la 2 eme ann´ee Licence de Math´ematiques que j’ai le privil`ege de diriger depuis l’ann´ee universitaire 2012-2013 Le premier et le second chapitre du polycopi´e traitent les valeurs propres, les espaces propres et la diagonalisabilit´e des endomorphismes en dimension finie

L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours

FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES UHA MULHOUSE L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours Elisabeth REMM Chapitre 3 Trigonalisation des matrices carr ees

[PDF] algebre 3 exo7

[PDF] réduction des endomorphismes pdf

[PDF] algèbre 3 cours et 600 exercices corrigés pdf

[PDF] exercices corrigés algebre 2 reduction endomorphisme

[PDF] exercices + solutions forme de jordan

[PDF] matrice de passage changement de base exercices corrigés

[PDF] exercices corrigés sur les formes bilinéaires et quadratiques

[PDF] algèbre bilinéaire cours

[PDF] algèbre bilinéaire exo7

[PDF] algebre 4 pdf

[PDF] bilinéaire cours et exercices corrigés

[PDF] algèbre bilinéaire forme quadratique

[PDF] examen algèbre bilinéaire

[PDF] algebre 2 exercices corrigés pdf

[PDF] cours algebre s2 smpc pdf

Reduction des endomorphismes

(Algebre 3)

Destin´e aux ´etudiants de la :

2 emeann´ee Licence de Math´ematiques

FARHI Bakir

(Maˆıtre de conf´erence de classe B `a l'Universit´e A. Mira de B´ejaia)

Preface

Ce polycopi´e est issu du cours d'Alg`ebre 3 de la 2 emeann´ee Licence de Math´ematiques que j'ai le privil`ege de diriger depuis l'ann´ee universitaire

2012-2013.

Le premier et le second chapitre du polycopi´e traitentles valeurs propres, les espaces propresetla diagonalisabilit´edes endomorphismes en dimension finie. Ce sont des notions simples mais tr`es importantes que l'´etudiant doit maitriser parfaitement. Tout au long de ce polycopi´e, nous avons mis en garde l'´etudiant sur l'im- portance du calcul de la puissancekemed'une matrice carr´e. C'est en quelque sorte notre but locomotif pour la recherche d'autres types der´eductionset d'autres techniques de calcul matriciel. Au troisi`eme chapitre, nous introduisonsla trigonalisationdes endomor- phismes. Un th´eor`eme fondamental affirme que toute matrice carr´ee `a coef- ficients complexes est trigonalisable. C'est aussi la trigonalisation que nous utilisons pour d´emontrer l'importantth´eor`eme de Cayley-Hamiltondu qua- tri`eme chapitre. La trigonalisation permet aussi de calculer la puissancekeme d'une matrice carr´ee lorsque celle-ci poss`ede une unique valeur propre et ce en se servant dela formule du binˆome matricielle. Bien que la trigonalisation ne r`egle, que dans un cas particulier, le probl`eme du calcul de la puissance k emed'un endomorphisme (resp. d'une matrice carr´ee), ceci s'av`ere suffisant grˆace `a l'id´ee qui consiste `a restreindre l'endomorphisme en question `a des espaces particuliers, appel´esespaces caract´eristiqueset ´etudi´es au cinqui`eme chapitre. Par ailleurs, l'id´ee de se servir de la formule du binˆome matricielle pour calculer la puissancekemed'une matrice carr´ee trouvera son succ`es total avecla d´ecomposition de Dunfordd'un endomorphisme, ce qui est propos´e sous forme d'exercice au 5 emechapitre. Au quatri`eme chapitre, nous ´etudionsles polynˆomes annulateursd'un en- domorphisme et leur lien avec les valeurs propres. Le tr`es importantth´eor`eme de Cayley-Hamiltonest ´etudi´e et d´emontr´e par le moyen de la trigonalisa- tion. Nous introduisons aussi la notion depolynˆome minimal(qui est essen- tiellement le polynˆome de plus petit degr´e qui annule l'endomorphisme en question), puis nous donnons la m´ethode pour le d´eterminer dans des cas concrets, qui se sert justement du th´eor`eme de Cayley-Hamilton. Nous ver- rons ´egalement que la forme du polynˆome minimal (contrairement `a celle du polynˆome caract´eristique) nous renseigne imm´ediatement sur la diago- nalisabilit´e de l'endomorphisme en question. L'une des choses importantes que l'´etudiant d´ecouvrira aussi dans ce chapitre est la possibilit´e de calculer la puissancekemed'une matrice carr´ee, sans lui effectuer aucune r´eduction pr´ealable; on utilise plutˆot un polynˆome annulateur. Notons enfin que la no- tion de "polynˆomes annulateurs" est valable mˆeme pour des endomorphismes sur des espaces vectoriels de dimensions infinies et cette notion est l'une des clefs de la th´eorie de la r´eduction des endomorphismes en dimension infinie. Bien entendu, cette th´eorie sort du programme r´eserv´e au module d'Alg`ebre

3 et par cons´equent, nous l'avons ´ecart´ee de ce polycopi´e.

Au cinqui`eme chapitre, nous ´etudionsles espaces caract´eristiquesd'un endomorphisme. Grossi`erement, ce sont des espaces vectoriels stables par l'endomorphisme en question et dont les endomorphismes restreints `a chacun d'entre eux ont une unique valeur propre. Nous utilisons ensuite ces espaces caract´eristiques pour un nouveau type de r´eduction que l'on appellediago- nalisation par blocs triangulaireset qui r´esout d´efinitivement le probl`eme du calcul de la puissancekemed'un endomorphisme en dimension finie (resp. d'une matrice carr´ee). Au sixi`eme chapitre, nous ´etudions le dernier type de r´eduction que l'on appellejordanisation. C'est la r´eduction la plus technique mais elle offre l'avantage d'une maˆıtrise parfaite de l'endomorphisme en question. Outre le calcul de la puissancekemed'un endomorphisme et la r´esolution des syst`emes lin´eaires d'´equations diff´erentielles, la jordanisation permet de classifier les matrices carr´ees d'un mˆeme ordre via la relation d'´equivalence "sembla- ble" (deux matrices carr´ees de mˆeme ordre sont dites semblables si elles repr´esentent un mˆeme endomorphisme relativement `a deux bases diff´erentes d'un certain espace vectoriel). Au septi`eme et dernier chapitre, nous montrons `a travers des exemples comment appliquer les connaissances acquises aux chapitres pr´ec´edents pour r´esoudre des probl`emes sur les suites r´ecurrentes ainsi que des probl`emes de r´esolutions des syst`emes lin´eaires d'´equations diff´erentielles. Notons enfin que chaque chapitre est suivi d'une multitude d'exercices qui permettent `a l'´etudiant de consolider ses connaissances acquises d'un chapitre donn´e avant qu'il passe au chapitre suivant.

Bakir FARHI

B´ejaia, le 27 janvier 2014

Table des matieres

1 Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme

1

1.1 D´efinitions et exemples

1

1.2 Le polynˆome caract´eristique d'un endomorphisme en dimen-

sion finie 2

1.3 Matrices semblables

4

1.4 Deux coefficients importants du polynˆome caract´eristique

5

Exercices

8

2 Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie

11

2.1 D´efinitions et exemples

11

2.2 Espaces propres et caract´erisation des endomorphismes diago-

nalisables 13

2.3 Calcul de la puissancekemed'une matrice diagonalisable

21

Exercices

23

3 Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie

26

3.1 Pr´eliminaires

26

3.2 Caract´erisation des endomorphismes trigonalisables

27

3.3 Application de la trigonalisation au calcul des puissances d'un

certain type de matrices 29

3.3.1 Endomorphismes nilpotents et matrices nilpotentes

30

3.3.2 Formule du binˆome matricielle

30

3.3.3 M´ethode de calcul deAk(k∈N) lorsqueA∈ Mn(K)

est trigonalisable et poss`ede une unique valeur propre 32

Exercices

34

4 Polynˆome annulateur, polynˆome minimal et th´eor`eme de Cayley-

Hamilton

36
i

4.1 Application d'un polynˆome `a un endomorphisme ou `a une ma-

trice 36

4.2 Polynˆomes annulateurs

39

4.2.1 D´efinition et exemples

39

4.2.2 Existence de polynˆomes annulateurs

40

4.2.3 Lien entre les polynˆomes annulateurs et le spectre d'un

endomorphisme 41

4.3 Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton

42

4.4 Calcul de la puissancekemed'une matrice en utilisant un po-

lynˆome annulateur 45

4.5 Le polynˆome minimal d'un endomor-

phisme 49

4.5.1 D´efinition, existence et unicit´e du polynˆome minimal

d'un endomorphisme 49

4.5.2 Deux propri´et´es fondamentales du polynˆome minimal

d'un endomorphisme 51

4.6 Une nouvelle caract´erisation des endo-

morphismes diagonalisables 52

Exercices

58

5 Espaces caract´eristiques et diagonalisation par blocs trian-

gulaires 63

5.1 Espaces caract´eristiques

63

5.1.1 Propri´et´e de stabilit´e

63

5.1.2 Propri´et´e de suppl´ementarit´e

64

5.1.3 Propri´et´es sur la dimension et sur l'endomorphisme

restreint 65

5.1.4 Obtention d'un espace caract´eristique comme limite

d'une chaine croissante et stationnaire de sous-espaces vectoriels 68

5.2 Diagonalisation par blocs triangulaires

70

5.2.1 Description de la r´eduction

70

5.2.2 Application pour le calcul de la puissancekemed'un

endomorphisme ou d'une matrice 71

Exercices

73

6 Jordanisation des endomorphismes en dimension finie

76

6.1 Introduction

76

6.2 Le th´eor`eme de Jordan

78

6.3 Jordanisation des endomorphismes en pratique

84

6.4 Exemples num´eriques

86
ii

Exercices

91

7 Application de la th´eorie de la r´eduction des endomorphismes

aux probl`emes math´ematiques concrets 93

7.1 Application `a la r´esolution des syst`emes d'´equations diff´erentielles

lin´eaires 93
quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29