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The translation of “Problemes corrig` ´es de M ecanique et r´ ´esum es de cours De´ Lagrange a Hamilton”, published by Grenoble Sciences in partnership with EDP` Sciences, was performed by: Bernard SILVESTRE-BRAC and Anthony John COLE, Senior researcher at the CNRS, Grenoble, France Front cover illustration: composed by Alice GIRAUD

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confronter des exercices, soit plus complets (car faisant appel plusieurs notions), soit plus difÞciles EnÞn, le dernier chapitre propose des probl mes de concours dont cer-tains ne sont abordables quÕ la Þn du cours sur lÕoptique physique Les trois chapitres (3, 6 et 7) relatifs aux TP Cours proposent des exercices

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and analysis of algorithms, contient les notes de cours et exercices (certains corrig´es) d’un cours de niveau avanc´e donn´e a Cornell, et celui de Vazirani [10], Approximation algorithms , dont le

Les maths au coll ege : Cours, Techniques et Exercices

Ainsi, chaque chapitre contiendra un cours sommaire, des exercices corrig es, puis une s erie d’exercices mettant en oeuvre les notions etudi ees dans ce chapitre Ce document regroupant a la fois des notions du programme de 3 eme mais aussi des ann ees pr ec eden tes, le plan choisi ne correspond pas a une progression d’un cours de 3 eme

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Cet ouvrage fait partie de la collection " Classe prépa », une collection d'ouvrages simples et accessibles couvrant l'ensemble des programmes des classes préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques.

Élaborée pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés, cette collec-tion est basée sur une approche pragmatique des programmes. Ainsi,chaque chapitre est constitué de cinq rubriques :

• Retenir l'essentiel qui reprend les notions indispensables du cours et indique des conseils pour éviter les erreurs les plus fréquentes ; • Avant la colle qui regroupe des QCM et des exercices d'application immédiate pour vérifier les connaissances ; • Savoir résoudre les exercices qui, sur la base d'exercices " classiques », permet aux élèves de développer les méthodes indispensables en prépa : analyse de l'énoncé, démarche à suivre, réflexes à acquérir... • S'entraîner qui regroupe par ordre de difficultés croissantes une bat- terie d'exercices ; • Corrigés où l'ensemble des exercices sont corrigés en détails et com- mentés.

Crédit photographique

Plats II et III de couverture ; © Sylvain Houard

Coordination éditoriale : Isabelle Ravilly

Composition : Alpha-Edit

Couverture : Marie-Astrid Bailly-Maître

Maquette intérieure : Thierry Méléard

© Nathan, 2007 - ISBN 978-2-09-160328-5À

David, Mathieu, Maëlis

À tous mes élèves, passés, présents et futurs

© Nathan,classe prépa

Avant-propos

Il est difficile pour un étudiant de faire la synthèse de ses connaissances et de se les approprier pour les réutiliser à bon escient. Cet ouvrage est un outil pour l'aider à aller à l'essentiel, à tester ses con- naissances et à approfondir progressivement les notions fondamentales de l'optique physique dans un cadre le plus expérimental possible. La rubrique " Retenir l'essentiel » respecte les nouveaux programmes de deuxième année (2004). " Avant la colle » propose des questions et des exercices qui testent les " réflexes » de l'étudiant. Elle est indispensable et l'étudiant peut ainsi s'assurer qu'il possède les connaissances minimales du chapitre. Il doit avoir retenu l'essentiel du cours et doit répondre vite et de manière concise. Cette étape franchie, la rubrique " Savoir Résoudre » donne des méthodes et des conseils ; elle privilégie l'analyse qualitative aux calculs. Elle per- met d'aborder quelques points délicats de la rubrique " S'entraîner ». La rubrique " S'entraîner » permet à l'étudiant d'aller plus loin et de se confronter à des exercices, soit plus complets (car faisant appel à plusieurs notions), soit plus difficiles. Enfin, le dernier chapitre propose des problèmes de concours dont cer- tains ne sont abordables qu'à la fin du cours sur l'optique physique. Les trois chapitres (3, 6 et 7) relatifs aux TP Cours proposent des exercices plus reliés à l'expérience et ces derniers requièrent d'avoir manipulé en

TP auparavant.

Je tiens à remercier tous les collègues physiciens avec qui j'ai pu échanger sur l'optique physique : tout d'abord mes anciens professeurs (l'échange étant alors à sens unique) et plus particulièrement Philippe Fleury pour sa relecture minutieuse et pertinente ; Yves Dulac et Pascal Brasselet pour leur disponibilité à répondre à de multiples questions ; enfin Sylvain Houard qui a généreusement accepté de me prêter certaines de ses photos et d'en faire de nouvelles pour le livre. Merci à Jean-Michel pour sa patience durant de nombreux week-ends de travail acharné et pour la maintenance du matériel informatique.

Pascale Legagneux-Piquemal

© Nathan,classe prépa

Sommaire

Avant-propos .................................................................................... 3

1Introduction à l'optique physique

1 - Rappels d'optique géométrique ................................................................ 7

2 - Sources lumineuses - Modèle scalaire Récepteurs lumineux

Intensité - Éclairement .................................................................................

3 - Propagation - Chemin optique - Déphasages Théorème de Malus ....... 15

savoir résoudre les exercices........................................................................ 20

s'entraîner..................................................................................................... 29

corrigés.......................................................................................................... 33

2Interférences à deux ondes en lumière monochromatique

1 - Problème théorique à deux sources ponctuelles

monochromatiques cohérentes ..................................................................... 41

2 - Diviseur d'onde : réalisation pratique de deux sources

ponctuelles monochromatiques cohérentes ................................................. 47

savoir résoudre les exercices.........................................................................51

3Interféromètre de Michelson

1 - Principe et description de l'appareil ....................................................... 67

2 - Franges d'interférences et localisation des franges

avec une source étendue ..............................................................................

3 - Étude théorique du réglage du Michelson .............................................. 76

4 - TP cours ................................................................................................... 76

savoir résoudre les exercices.........................................................................83

4Interférences à deux ondes en lumière polychromatique

1 - Sources polychromatiques et intensité spectrale ................................... 101

2 - Méthodologie : problème théorique à deux sources ponctuelles

cohérentes en lumière polychromatique .................................................... 103

3 - Première modélisation : cas d'un doublet de raies infiniment fines ....... 104

4 - Deuxième modélisation : cas d'une raie rectangulaire .......................... 107

5 - Interférences en lumière blanche .......................................................... 109

savoir résoudre les exercices.......................................................................113

5Diffraction

1 - Phénomène - Calculs de déphasage ..................................................... 129

2 - Principe d'Huygens-Fresnel - Amplitude et intensité diffractées

par une pupille plane .................................................................................

132

3 - Cas particulier des pupilles opaques ou transparentes ........................... 136

4 - Effets sur la figure de diffraction d'une transformation de la pupille -

Érans complémentaires ...............................................................................

141

© Nathan,classe prépa

5 - Analyse du dispositif des deux fentes d'Young - Nécessité d'une fente source parallèle aux deux fentes ..............................

143

6 - Limitation du pouvoir séparateur des instruments d'optique

par le phénomène de diffraction ................................................................

148

savoir résoudre les exercices...................................................................... 152

s'entraîner................................................................................................... 158

corrigés........................................................................................................ 162

6Interférences à N ondes cohérentes - Réseaux (TP Cours)

1 - Intérêt des interférences à N ondes cohérentes .................................... 175

2 - Interférences à N ondes cohérentes,

amplitude et intensité diffractées à l'infini ..................................................

178

3 - Réseaux - Cas particulier du réseau par transmission ............................. 180

savoir résoudre les exercices.......................................................................189

7Polarisation

1 - Polarisation - Théorie ........................................................................... 207

2 - Polariseurs ............................................................................................. 211

3 - Lames demi-onde et quart d'onde ....................................................... 213

4 - Polarisations par réflexion vitreuse et par diffusion ................................ 218

5 - TP Cours : Production et analyse de lumière polarisée .......................... 219

savoir résoudre les exercices.......................................................................224

8Problèmes de concours

1 - Mesure de l'activité sismique d'une étoile par interférométrie ............. 241

2 - Radioastronomie ................................................................................... 253

3 - Holographie .......................................................................................... 270

Annexe : Éléments de mathématiques ....................................... 280

1 - Fonctions usuelles en optique ............................................................... 280

2 - Polarisation elliptique ........................................................................... 283

3 - Transformée de Fourier .......................................................................... 283

Index....................................................................................................................... 285

© Nathan,classe prépa

1 - Introduction à l'optique physique

retenir l'essentiel 7

Introduction

à l'optique physique

1Rappels d'optique géométrique

Ces rappels ont pour objectif de préciser les grandes fonctions de quelques composants (miroirs et lentilles) et leurs utilisations courantes dans les exercices d'optique physique et en activités expérimentales. • Lois de Descartes

Première loi : les rayons réfractés et réfléchis appartiennent au plan d'incidence (plan défini

par le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence). Deuxième loi : pour la réfraction et pour la réflexion (les angles sont tous orientés par rapport à la normale au dioptre, figure 1). • Rappelons aussi le principe de retour inverse de la lumière.

Les phénomènes de

réfraction limite et de réflexion totale seront évoqués dans l'exer- cice n° 3 de " S'entraîner ». Les rayons lumineux sont rectilignes dans un milieu linéaire, homogène, isotrope d'indice n constant. L'indice n d'un milieu varie avec la longueur d'onde selon la loi de n1i1sinn2i2sin=ri1-=

Fig. 1Lois de Descartes

n1n2 i1 i2r

© Nathan,classe prépa

retenir l'essentiel Optique ondulatoire PC, MP, PSI, PT - © Nathan, Classe prépa

8Cauchy Pour des gaz dilués, est proportionnel à la masse volumique

donc proportionnel à la pression et inversement proportionnel à la température (loi deGladstone proportionnel à

1.1.

Miroirs sphérique et plan

Pour un miroir sphérique, on définit le centre et le sommet, est le rayon algébrique du miroir. Remarquons que le foyer objet et le foyer image sont confondus et se situent au milieu de S et C. La distance focale du miroir est égale à la moitié du rayon. On peut vérifier la formule du grandissement sur la figure 2. La formule des miroirs sphériques, dans l'approximation de Gauss, conjuguant le point objet A au point image (dans un milieu d'indice n constant) est : et le grandissement : nAB

2-----.+=n1-()

n1-P

T---).

A′

SA′---------1

SA-------+2

SC-------1

SF--------==

γA′B′

AB-----------CA′

CA---------SA′

SA---------.-===

Fig. 2Formule des miroirs

AB S B

A′FC

miroir convexe Image virtuelle droite plus petite dans tous les cas Ici SC0? AB S B

A′

FC miroir concave

Image réelle renversée plus petite si

AS ? CS

Ici SC0?

1 - Introduction à l'optique physique

91.2.

Lentilles minces convergentes et divergentes

Pour une lentille mince, on définit un centre optique et une distance focale telle que Les lentilles convergentes sont caractérisées par et les lentilles divergentes par • Un miroir convexe donne d'un objet réel une image virtuelle droite plus petite et ce, quelle que soit la position de l'objet par rapport au miroir. • Un miroir concave donne d'un objet réel une image virtuelle droite agrandie si l'objet est situé entre le sommet et le foyer du miroir. Pour le miroir plan, le rayon du miroir tend vers l'infini, d'où est le symétrique de A par rapport au miroir plan. Les constructions sont particulière- ment simples et le grandissement vaut toujours 1.

Fig. 3Miroirs concaves

AB S B

A′FC

A B S B

A′

FC A B SB

A′FC

Image réelle renversée plus petite si AS ? CS Image réelle renversée plus grande si FS ? AS ? CS

Image virtuelle droite agrandie si AS ? FS

SA′SA.-=A¢

f′

OF′f′OF-f.-== =

f′0? f′0.?

10On peut vérifier sur la figure 4 :

On appelle vergence V d'une lentille l'inverse de exprimée en m -1 ou dioptries notée

Lentilles convergentes

Quand on désire projeter un objet réel sur un écran, donc obtenir une image réelle, il est nécessaire d'utiliser une lentille convergente telle que la distance objet écran D soit 4 fois plus grande que sa distance focale : Si on désire agrandir, il faut satis- faire à impliquant que la lentille soit plus proche de l'objet que de l'écran. Si l'objet est situé entre le plan focal objet de la lentille et la lentille, son image est virtuelle : objet pour l'oeil qui observe à travers la lentille. Une loupe est une lentille convergente. D'un objet placé dans son plan focal objet, elle donne une image à l'infini vue sans accommodation par l'oeil donc sans fatigue.

L'oeil humain

L'oeil humain emmétrope (normal) peut voir des objets situés entre l'infini (punctum remo- tum PR) et le punctum proximum PP (d mest la distance de l'oeil au PP, elle est de l'ordre de

10 cm et augmente avec l'âge). L'oeil humain est un système optique équivalent à une len-

tille dont on peut faire varier la distance focale grâce à un muscle (processus d'accommo- dation) et qui fournit une image réelle des objets sur une surface sensible (la rétine). Quand l'oeil n'accommode pas, il met au point sur l'infini. Au maximum de l'accommo- dation, l'oeil met au point sur le PP. La formule de Descartes des lentilles minces, dans l'approximation de Gauss, conjuguant le point objet A au point image (dans un milieu d'indice n constant) est : et le grandissement : La formule de Newton privilégie les foyers objet et image : et Une lentille convergente donne toujours d'un objet virtuel une image réelle. Une lentille divergente donne toujours d'un objet réel une image virtuelle.

Attention

Les foyers objet et

image sont réels pour la lentille convergen- te tandis qu'ils sont virtuels pour la len- tille divergente.

A′

OA′---------1

OA---------1

OF′----------1

f′-----==

γA′B′

AB-----------OA′

OA---------.==

F′A′FA?F′O · FOff′f′2-===γF′A′

F′O------------FO

FA--------.==

A′B′

AB-----------OA′

OA---------F′A′

F′O------------FO

FA--------.== =

Fig. 4Formule des lentilles

AB B

A′

FO F f′ δ.

D4f′.?

OA′OA?

Attention

On peut photogra-

phier un objet vir- tuel ou le voir à l'oeil nu.

1 - Introduction à l'optique physique

11On définit un conventionnel commercial (pour les fabricants d'optique) m(25 cm). Le champ en profondeur de l'oeil est la distance du PR au PP. Le champ angulairede l'oeil est de 40 à 50 degrés.L'oeil est en fait un récepteur angulaire. Pour voir le mieux possible un " petit objet », on lerapproche le plus possible donc on le place au PP. AB étant un objet biponctuel à la dis-

tance de l'oeil, on rapproche B de A (donc on diminue l'angle ). On constate expérimentalement qu'on ne perçoit plus qu'un seul point quand on atteint l'angle Cette limite inférieure définit le pouvoir séparateur angulaire de l'oeil. Le pouvoir séparateur angulaire de l'oeil est de l'ordre de la minute d'angle soit rad. Si on voit un seul point. définit le pouvoir séparateur linéïque et donnequotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Avant-propos

TP auparavant.

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Sommaire

1Introduction à l'optique physique

1 - Rappels d'optique géométrique ................................................................ 7

2 - Sources lumineuses - Modèle scalaire Récepteurs lumineux

3 - Propagation - Chemin optique - Déphasages Théorème de Malus ....... 15

2Interférences à deux ondes en lumière monochromatique

1 - Problème théorique à deux sources ponctuelles

2 - Diviseur d'onde : réalisation pratique de deux sources

3Interféromètre de Michelson

1 - Principe et description de l'appareil ....................................................... 67

2 - Franges d'interférences et localisation des franges

3 - Étude théorique du réglage du Michelson .............................................. 76

4 - TP cours ................................................................................................... 76

4Interférences à deux ondes en lumière polychromatique

1 - Sources polychromatiques et intensité spectrale ................................... 101

2 - Méthodologie : problème théorique à deux sources ponctuelles

3 - Première modélisation : cas d'un doublet de raies infiniment fines ....... 104

4 - Deuxième modélisation : cas d'une raie rectangulaire .......................... 107

5 - Interférences en lumière blanche .......................................................... 109

5Diffraction

1 - Phénomène - Calculs de déphasage ..................................................... 129

2 - Principe d'Huygens-Fresnel - Amplitude et intensité diffractées

3 - Cas particulier des pupilles opaques ou transparentes ........................... 136

4 - Effets sur la figure de diffraction d'une transformation de la pupille -

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5 - Analyse du dispositif des deux fentes d'Young - Nécessité d'une fente source parallèle aux deux fentes ..............................

6 - Limitation du pouvoir séparateur des instruments d'optique

6Interférences à N ondes cohérentes - Réseaux (TP Cours)

1 - Intérêt des interférences à N ondes cohérentes .................................... 175

2 - Interférences à N ondes cohérentes,

3 - Réseaux - Cas particulier du réseau par transmission ............................. 180

7Polarisation

1 - Polarisation - Théorie ........................................................................... 207

2 - Polariseurs ............................................................................................. 211

3 - Lames demi-onde et quart d'onde ....................................................... 213

4 - Polarisations par réflexion vitreuse et par diffusion ................................ 218

5 - TP Cours : Production et analyse de lumière polarisée .......................... 219

8Problèmes de concours

1 - Mesure de l'activité sismique d'une étoile par interférométrie ............. 241

2 - Radioastronomie ................................................................................... 253

3 - Holographie .......................................................................................... 270

1 - Fonctions usuelles en optique ............................................................... 280

2 - Polarisation elliptique ........................................................................... 283

3 - Transformée de Fourier .......................................................................... 283

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1 - Introduction à l'optique physique

Introduction

à l'optique physique

1Rappels d'optique géométrique

Les phénomènes de

Fig. 1Lois de Descartes

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8Cauchy Pour des gaz dilués, est proportionnel à la masse volumique

Miroirs sphérique et plan

2-----.+=n1-()

T---).

A′

SA′---------1

SA-------+2

SC-------1

SF--------==

γA′B′

AB-----------CA′

CA---------SA′

SA---------.-===