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Travaux Dirig es n 2 - Imperial College London

c’est- a-dire la troncature de la racine carr ee de ce nombre Puis on cherchera a d eterminer la racine d’un nombre r eel quelconque 1 Donner un algorithme simple (dit na f) qui prend un entier a en entr ee et calcule sa racine carr ee enti ere racine racine = maxfn 2N;n2 ag Polytech’Paris-UPMC 2009-2010 (version enseignants) 2

Conjuctions/Conjonctions, etc Nouns/Noms

algorithm algorithme m square root racine carr´e f statistics statistique f structure structure m entire enti´er(e) equal to ´egal(e) `a

Conjuctions/Conjonctions, etc Noms/Nouns

algorithme m algorithm racine f root racine carr´e f square root ramification f ramification enti´er(e) entire ´equicontinu(e) equicontinuous

Racines carr´ees, racines cubiques - Université Laval

3 Extraire la racine de la premi`ere tranche a gauche; on obtient ainsi le premier chiffre de la racine cherch´ee qu’on ´ecrit a la place du diviseur habituel 4 Retrancher le carr´e de ce nombre d’un chiffre de la premi`ere tranche a gauche Bulletin AMQ, Vol XLVI, no 1, mars 2006 – 28

Sur la param´etrisation des solutions des ´equations quadratiques

3 sont trois formes quadratiques enti`eres avec Discq 3 = ∆ Nous montrons que la forme quadratique q 3 est exactement (au signe pr`es) la solution R de l’´equation [R]2 = [Q] dans Cl(∆) Nous comparons alors notre algorithme d’extraction de racine carr´ee de forme quadratique, avec celui de Gauss Abstract

1 Partie 1 - Barsamian

Algorithme de C ecile Variable : i est un nombre entier Corps de l’algorithme : 1 Pour i de 4 a 9, faire 2 Si p i2 + 11 est un entier, alors 3 A cher i 2et i + 11 4 Fin Si 5 Fin Pour Pour chaque algorithme, on appellera temps de l’algorithme le nombre de fois que le programme

Estimation de linclinaison dun document arabe manuscrit

maximale de la representation temps-fr´ ´equence de la racine carr´ee de ces histogrammes L’orientation du document est alors estim´ee par l’angle de projection fournissant la va-leur maximale la plus elev´ ee La m´ ´ethode propos ee a´ et´ e´ testee sur 864 documents inclin´ ´es avec 9 representations´ temps-fr´equence diff

Apprendre l’informatique avec Javascool `a travers la

traduire un algorithme dans un langage relativement simple comme Javascool permet de toute a fa¸con de pr´eparer les ´el`eves a apprendre plus tard comment passer facilement d’un langage de programmation a un autre et comment choisir le langage le plus appropri´e selon le type d’application envisag´e, comme

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ROB3/ST3 Informatique Generale

Travaux Diriges n2

Rappel :Pour chaque probleme, il vous est demande de denir clairement : les donn eesd'en treedu probl emeen pr ecisantleurs t ypes(nom breen tier,r eel,...) ; les eventuellesdonn eesde sortie du probl emeen pr ecisantleurs t ypes; les instructions p ermettantd'obtenir l esdonn eesde sortie apartir des donn eesd'en tree. Tester ensuite votre algorithme a la main a partir de donnees d'entrees judicieusement choisies pour explorer les dierents cas de fonctionnement.

Exercice 1

Inversion de variables

Ecrire un algorithme qui prend en entree deux variables entieresaetbet qui inverse leurs contenus (si possible sans utiliser de variable locale).SolutionDonnees d'entree :aetbentiers

Donnees de sortie :inverse les contenus

1:a a+b

2:b ab

3:a abExercice 2

Algorithme d'Euclide

Ecrire un algorithme qui calcule lePGCDde deux nombres entiers strictement positifs en utilisant l'algorithme d'Euclide. On rappelle le principe a la base de cet algorithme :

PGCD(a;b) =PGCD(b;amodb) etPGCD(a;0) =a

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ROB3/ST3 Informatique Generale

SolutionDonnees d'entree :aetbentiers strictement positifs

Donnees de sortie :pgcdlePGCDde ces deux nombres

1:Sia < bAlors

2:Inverseraetb

3:Fin Si

4:Tant queb6= 0Faire

5:a amodb

6:Inverseraetb

7:Fin Tant que

8:pcgd a

9:RenvoyerpgcdExercice 3

Fractions egyptiennes

Toute fraction peut s'ecrire comme une somme de fractions ayant 1 comme numerateur. Cette decomposition est appelee decomposition en fractions egyptiennes. En voici un exemple : 78
=12 +13 +124
Ecrire un algorithme prenant en entree le numerateurnet le denominateurdd'une fraction et

ache sa decomposition en fractions egyptiennes.SolutionDonnees d'entree :netdentiers, numerateur et denominateur de la fractionnd

Donnees de sortie :ache la decomposition en fractions egyptiennes

Donnees locales :variable de bouclei.

1:i 2

2:Tant quein6=dFaire

3:SiindAlors

4:Acher \1i

5:n ind

6:d id

7:Fin Si

8:i i+ 1

9:Fin Tant que

10:Acher \1i

"Exercice 4

Calcul de la racine carree

Cet exercice consiste a regarder plusieurs techniques pour le calcul de la racine carree d'un nombre. Dans un premier temps on cherchera a calculer la racine carree entiere d'un nombre c'est-a-dire la troncature de la racine carree de ce nombre. Puis on cherchera a determiner la racine d'un nombre reel quelconque. 1. Don nerun algorithme simple (dit na f)qui prend un en tieraen entree et calcule sa racine carree entiereracine. racine= maxfn2N;n2ag Polytech'Paris-UPMC 2009-2010 (version enseignants) 2

ROB3/ST3 Informatique Generale

2. Don nerun algorithme qui prend un en tieraen entree et calcule sa racine carree entiere racineen utilisant une methode alternative basee sur la remarque suivante : p X i=12i1n La suiternconverge vers la racine dea 8< :r 0= 1; r n+1=r n+ar n2 :SolutionDonnees d'entree :Un nombre entiera Donnees de sortie :La racine carree entiereracinedea

1:racine 0

2:Tant queracineracineaFaire

3:racine racine+ 1

4:Fin Tant que

5:Renvoyerracine1SolutionDonnees d'entree :Un nombre entiera

Donnees de sortie :La racine carree entiereracinedea

Donnees locales :un entiersomme.

1:racine 0

2:somme 0

3:Tant quesommeaFaire

4:racine racine+ 1

5:somme somme+ 2racine1

6:Fin Tant que

7:Renvoyerracine1SolutionDonnees d'entree :Un nombre reelaet un reelpqui donne la precision voulue :

jracine2aj p Donnees de sortie :Un reelracine, valeur approchee de la racine carree dea

1:racine 1

2:Tant quejracine2aj> pFaire

3:racine racine+aracine

2

4:Fin Tant que

5:RenvoyerracineExercice 5

Fractions continues

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On va maintenant s'interesser au developpement en fractions continues des nombres reels. Un developpement en fractions continues d'un nombre reelaest une suite d'entiers (a0;:::;an) nie ou non, aveca1;:::;an>0, telle que : a=a0+1a 1+1a 2+::: Donner un algorithme qui permet de calculer un tel developpement.SolutionDonnees d'entree :Un reela Donnees de sortie :Ache un developpement en fractions continues

Donnees locales :un entierdecomp.

1:Tant quea6= 0Faire

2:decomp bac

3:a 1adecomp4:Acherdecomp

5:Fin Tant quePolytech'Paris-UPMC 2009-2010 (version enseignants) 4

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