Nombres premiers, Théorème de Fermat, Théorème des restes

environ Le thé fut tout d’abordadministré comme un médicament et consommé dans les monastères comme un moyen de rester éveillé pendant la méditation Les premières formes de la cérémonie du thé étaient le plus souvent les occasions de démonstration nature –tels que la lumière, les bruits de l’eau,

PRÉSENTER DES PRODUITS/ ARGUMENTER/CONVAINCRE

petit déjeuner Le vendeur conseille des thés verts ou blancs car ils sont très forts VRAI FAUX Ce sont des thés délicats qui ne sont pas fermentés Le vendeu popose d’ouvi un pauet de thé pou la cliente FAUX VRAI Tenez j’en ai un ouvet, je vais vous le faie goûter

Démonstration du lemme de Zorn - IRIF

Soit a le plus petit élément de X \C Montrons que c’est aussi le plus petit élément de X Soit y 2 X Si y 2 C, alors a 6 y par déﬁnition de a Sinon, y 62C, il existe D 2 S , tel que y 2 D Comme D 6‰C, C est un segment initial de D, et donc comme y 62C, on ne peut avoir y ˙a, d’où par totalité de l’ordre dans D, a 6y On a

PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss

Démonstration : Soit G l’ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la forme ma +nb où m et n sont des entiers relatifs G est une partie de N non vide : on vériﬁe facilement que a ∈ G G admet donc un plus petit élément d tel que d =au +bv • D =pgcd(a,b)divise a et b donc D divise au +bv =d et donc D 6d

THE LITTLE PRINCE - ArvindGuptaToys

THE LITTLE PRINCE Antoine De Saint-Exupery Antoine de Saint-Exupery, who was a French author, journalist and pilot wrote The Little Prince in 1943, one year before his death

Cour des créateurs de Lauris

10 h : atelier fabrication d’un petit carnet poétique (à partir de 6 ans) avec Créa’cuir 11 h 30 : démonstration d’un ancien procédé de tirage photo (cyanotype) par l’Atelier de curiosités 17 h : dégustation de thé japonais par Harumi 18 h : atelier feutrage de laine avec Marianne Aubry 18h30 : démonstration de création de

Grangeneuve - Canton of Fribourg

Exemples de jardin (petit, moyen et grand) pour les enfants Echange d’expériences Durée 1 après-midi, de 13h30 à 16h30 Date Jeudi 25 mars 2021 Lieu Grangeneuve, bâtiment N, salle 022 Coût CHF 90 – (documents compris) Animation Irène Lüthi, ingénieure HES Participant-e-s 16 personnes Délai d’inscription 4 mars 2021

Chapitre 3 : Trigonométrie

Démonstration Pour les multiples de π 2, il suﬃt de regarder le cercle trigonométrique Pour π 4, on obtient les valeurs facilement en se plaçant dans un demi-carré de côté 1 (en revenant à la déﬁnition purement géométrique du cosinus et du sinus dans les triangles rectangles, que vous avez vue au collège) La diagonale a pour

PRÉSENTER DES PRODUITS /ARGUMENTER/CONVAINCRE

Page 3 AFFAIRES-15-002 -Observez si toutes les phases de vente sont représentées dans cette situation b) La présentation des produits par le vendeur : Dans le tableau ci-dessous, cochez VRAI ou FAUX pour chacune des affirmations suivantes, et complétez

Nombres premiers, Théorème de Fermat, Théorème des restes

Algèbre et arithmétique Université de Nice 2016-2017 Nombres premiers, Théorème de Fermat, Théorème des restes chinois, Théorème d’Euler

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Algèbre et arithmétique Université de Nice

2016-2017

Nombres premiers, Théorème de Fermat,

Théorème des restes chinois, Théorème d"Euler Exercice 1.Montrer que15et28sont premiers entre eux.

Exercice 2.Soitn >3.

1. Les nombresn;n+ 2;n+ 4peuvent-ils être tous premiers?

2. Les nombresn;n+ 2;n+ 6peuvent-ils être tous premiers?

Exercice 3.

1. Soitn>2. Est-ce que l"un des entiers consécutifsn! + 2;:::;n! +nest

premier?

2. En déduire qu"il est possible de trouver autant d"entiers consécutifs que l"on

veut dont aucun n"est premier. Exercice 4.Pour quelles valeurs den2N, les nombres4n1sont premiers?

Exercice 5.

1. Y a-t-il des nombres premiers de la formen24?

2. Y a-t-il des nombres premiers de la formen31?

Exercice 6.Pouri2N, on notepilei-ième nombre premier. Est-ce que pour toutn2N, le nombrep1:::pn+ 1est toujours premier?

Exercice 7.Triplets pythagoriciens

On appelle triplet pythagoricien un triplet d"entiersx;yetzstrictement positifs, premiers entre eux dans leur ensemble et vérifiant x

2+y2=z2:

Les conditions surx;yetzne sont bien sûr pas restrictives dans le sens où on peut toujours se ramener à ce cas.

1. Soientaetbdeux entiers premiers entre eux. Montrer que siabest un

carré, alorsaetbsont nécessairement des carrés.

2. Soitd=pgcd(x;y). Montrer queddivisez(on pourra décomposerden

facteurs premiers). En déduire quex;yetzsont premiers entre eux2à2. 1/4

3. Montrer quexetysont de parité différente. On supposera dans la suite que

xest pair.

4. Montrer que le pgcd dezyet dez+yvaut2. En utilisant quex2=

2y2= (zy)(z+y), montrer qu"il existeuetvdansNavecu > v,

premiers entre eux tels que x= 2uv y=u2v2 z=u2+v2:

5. Réciproquement, montrer qu"un tel triplet est pythagoricien quels que soient

uetvpremiers entre eux. Exercice 8.SoitXl"ensemble des nombres premiers de la forme4k+ 3avec k2N.

1. Montrer queXest non vide.

2. Montrer que le produit de nombres de la forme4k+ 1est encore de cette

forme.

3. On suppose queXest fini et on écritX=fp1;;png. Soit

a= 4p1p2:::pn1: Montrer par l"absurde queaadmet un diviseur premier de la forme4k+3.

4. Montrer que ceci est impossible et donc queXest infini.

Exercice 9.SoitA=f4n+ 1jn2Ng. Un élémenta2Aest ditA-premier si le nombre de ses diviseurs positifs dansAest2.

1. Est-ce que les élémentsA-premiers sont premiers?

2. Montrer que tout entier deAn f1gest soitA-premier soit un produit de

A-premiers.

3. Ecrire693en produit deA-premiers.

4. Est-ce que la décomposition précédente des entiers deAenA-premiers est

unique? Exercice 10.Une autre preuve du petit théorème de Fermat

1. Soitpun nombre premier eti2Ncompris entre1etp1. Montrer quep

divise le coefficient binomial C ip=p!i!(pi)!:

2. En déduire une preuve par récurrence du petit théorème de Fermat.

2/4 Exercice 11.Soientpetqdeux nombres premiers distincts. Donnés leur produit n=pqet'(n). Déterminerpetq. Exercice 12.Soita>2etn>2. Sian+ 1est premier, montrer queaest pair et quenest une puissance de2. Exercice 13.SoitFk= 22k+ 1lekième nombre de Fermat. Montrer que deux nombres distincts de Fermat sont premiers entre eux. En déduire qu"il y a un nombre infini de nombres premiers.

Exercice 14.Montrer que13divise270+ 370.

Exercice 15.Montrer que7divise22225555+ 55552222.

Exercice 16.Montrer que pour tout entier natureln,23n+5+ 3n+1est divisible par5. Exercice 17.Montrer que pour tout entier natureln,n5nest divisible par30. Exercice 18.Trouver le reste de la division euclidienne de1621000par7? Exercice 19.Trouver le reste de la division euclidienne de1001000par13? Exercice 20.Est-ce que500peut s"écrire comme la somme de deux entiers tels que le premier soit divisible par7et l"autre par11? Exercice 21.Soitn2Nnon divisible par2et5. Prouver qu"il existe un multiple dendont l"écriture décimale ne comporte que le chiffre1. Indication : utiliser le théorème d"Euler avec10modulo9n. Exercice 22.Trouver tous les entiersxvérifiant les conditions suivantes x= 3mod7 x= 5mod11:

Exercice 23.

1. Trouver un entieracompris entre1et12congru à27103modulo13.

2. Trouver un entierbcompris entre1et10congru à27103modulo11.

3. Quel est le reste de la division euclidienne de27103par 143?

Exercice 24.Dix-sept pirates s"emparent d"un lot de pièces d"or toutes identiques dans un coffre ne pouvant pas en contenir plus de1500. Leur loi exige un partage à égalité : chacun doit recevoir le même nombre de pièces d"or et, s"il y a un reste, celui-ci est attribué au cuisinier de bord. Dans le cas présent, la part du cuisinier serait de trois pièces, mais les pirates se querellent et six d"entre eux sont tués, ce qui porte la part du cuisinier à quatre pièces. Au cours d"une terrible tempête, le bateau fait naufrage et ne survivent que six pirates et le cuisinier. Par bonheur, le butin est sauvé. La part du cuisinier est maintenant de cinq pièces. Que peut espérer gagner le cuisinier lorsqu"il décide d"empoisonner le reste de l"équipage? 3/4

Exercice 25.

1. Décomposer187en facteurs premiers.

2. Combien y a-t-il d"entiers compris entre1et187qui sont premiers avec

187?

3. Quels sont les3plus petits entiers strictement postiifs qui ne sont pas pre-

miers avec187?

4. Calculer20322modulo187.

Exercice 26.Résoudre le système suivant :

x= 2mod12 x= 6mod10 x= 11mod45:

Exercice 27.Résoudre le système suivant :

5x= 2mod6

3x= 1mod5

4x= 3mod7:

Exercice 28.Quels sont les deux derniers chiffres de20062006? Exercice 29.Déterminer les deux derniers chiffres de393939? 4/4quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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