LA CÉRÉMONIE DU THÉ - Web Japan
environ Le thé fut tout d’abordadministré comme un médicament et consommé dans les monastères comme un moyen de rester éveillé pendant la méditation Les premières formes de la cérémonie du thé étaient le plus souvent les occasions de démonstration nature –tels que la lumière, les bruits de l’eau,
PRÉSENTER DES PRODUITS/ ARGUMENTER/CONVAINCRE
petit déjeuner Le vendeur conseille des thés verts ou blancs car ils sont très forts VRAI FAUX Ce sont des thés délicats qui ne sont pas fermentés Le vendeu popose d’ouvi un pauet de thé pou la cliente FAUX VRAI Tenez j’en ai un ouvet, je vais vous le faie goûter
Démonstration du lemme de Zorn - IRIF
Soit a le plus petit élément de X \C Montrons que c’est aussi le plus petit élément de X Soit y 2 X Si y 2 C, alors a 6 y par définition de a Sinon, y 62C, il existe D 2 S , tel que y 2 D Comme D 6‰C, C est un segment initial de D, et donc comme y 62C, on ne peut avoir y ˙a, d’où par totalité de l’ordre dans D, a 6y On a
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
Démonstration : Soit G l’ensemble formé par les entiers naturels strictement positifs de la forme ma +nb où m et n sont des entiers relatifs G est une partie de N non vide : on vérifie facilement que a ∈ G G admet donc un plus petit élément d tel que d =au +bv • D =pgcd(a,b)divise a et b donc D divise au +bv =d et donc D 6d
THE LITTLE PRINCE - ArvindGuptaToys
THE LITTLE PRINCE Antoine De Saint-Exupery Antoine de Saint-Exupery, who was a French author, journalist and pilot wrote The Little Prince in 1943, one year before his death
Cour des créateurs de Lauris
10 h : atelier fabrication d’un petit carnet poétique (à partir de 6 ans) avec Créa’cuir 11 h 30 : démonstration d’un ancien procédé de tirage photo (cyanotype) par l’Atelier de curiosités 17 h : dégustation de thé japonais par Harumi 18 h : atelier feutrage de laine avec Marianne Aubry 18h30 : démonstration de création de
Grangeneuve - Canton of Fribourg
Exemples de jardin (petit, moyen et grand) pour les enfants Echange d’expériences Durée 1 après-midi, de 13h30 à 16h30 Date Jeudi 25 mars 2021 Lieu Grangeneuve, bâtiment N, salle 022 Coût CHF 90 – (documents compris) Animation Irène Lüthi, ingénieure HES Participant-e-s 16 personnes Délai d’inscription 4 mars 2021
Chapitre 3 : Trigonométrie
Démonstration Pour les multiples de π 2, il suffit de regarder le cercle trigonométrique Pour π 4, on obtient les valeurs facilement en se plaçant dans un demi-carré de côté 1 (en revenant à la définition purement géométrique du cosinus et du sinus dans les triangles rectangles, que vous avez vue au collège) La diagonale a pour
PRÉSENTER DES PRODUITS /ARGUMENTER/CONVAINCRE
Page 3 AFFAIRES-15-002 -Observez si toutes les phases de vente sont représentées dans cette situation b) La présentation des produits par le vendeur : Dans le tableau ci-dessous, cochez VRAI ou FAUX pour chacune des affirmations suivantes, et complétez
Nombres premiers, Théorème de Fermat, Théorème des restes
Algèbre et arithmétique Université de Nice 2016-2017 Nombres premiers, Théorème de Fermat, Théorème des restes chinois, Théorème d’Euler
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Chapitre 3 : Trigonométrie
PTSI B Lycée Eiffel
23 septembre 2013
Quel est le comble pour un cosinus?
Attraper une sinusite!
Pour compléter le chapître précédent consacré aux fonctions usuelles, un chapître à part consacré
à une catégorie de fonctions qu"il est tout aussi indispensable de connaitre sur le bout des doigts :
les fonctions trigonométriques. On en profitera pour refaire le point sur l"interprétation géométrique
des cosinus, sinus, et autres tangentes, qu"il faut absolument maîtriser pour être capable notamment
de résoudre des équations trigonométriques efficacement. Onprofitera également de ce chapître pour
appliquer nos connaissances sur les réciproques aux fonctions trigonométriques, pour ajouter à notre
catalogue les trois fonctions trigonométriques réciproques.Objectifs du chapitre :
capacité à utiliser un cercle trigonométrique rapidement.connaissance des multiples formules de trigonométrie, ou du moins capacité à toutes les retrou-
ver rapidement.connaissance des dérivées et représentations graphiques des fonctions trigonométriques et de
leurs réciproques.1 Rappels de trigonométrie
1.1 Cercle trigonométrique, radians
Définition 1.Lecercle trigonométrique, dans un repère orthonormé, est le cercle de centreO
(origine du repère) et de rayon1. À tout réelx, on associe un pointMdu cercle trigonométrique
en parcourant le cercle sur une distancexà partir du point(1,0), etxest appelémesure enradiansde l"angle orienté(-→i ,--→OM). L"abscisse et l"ordonnée du pointMassocié àxsont appelées
respectivementcosinusetsinusde ce réel. On définit par ailleurs latangentequand c"est possible,
c"est à dire six?=π2+kπ,k?Z, partanx=sinxcosx. Pour une interprétation géométrique de la
tangente (expliquant d"ailleurs le nom de tangente), cf le dessin ci-dessous. 1 0 1-1 01 -1 x cos (x)sin (x) tan (x)Remarque1.Le repérage du cercle trigonométrique suppose le choix d"une orientation sur ce cercle.
On appelle sens trigonométrique (ou positif) le sens opposéà celui des aiguilles d"une montre.
Proposition 1.Valeurs remarquables à connaitre : x0π 6 4 32π3π
2 cosx1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20-10 sinx01 2 ⎷2 2 ⎷3 210-1tanx0 ⎷3
31⎷3?0?
Démonstration.Pour les multiples deπ2, il suffit de regarder le cercle trigonométrique. Pourπ4, on
obtient les valeurs facilement en se plaçant dans un demi-carré de côté1(en revenant à la définition
purement géométrique du cosinus et du sinus dans les triangles rectangles, que vous avez vue au
collège). La diagonale a pour longueur⎷2, donc le cosinus comme le sinus de chacun des deux angles
de mesure4valent1⎷2=⎷
22. Pourπ3etπ6, on se place dans un demi-triangle équilatéral de côté
1. Les longueurs des trois côtés sont donc1;1
2et⎷
32(un petit coup de théorème de Pythagore),
dont on déduit sans difficulté les valeurs des lignes trigonométriques. Proposition 2.Propriétés de symétrie du cosinus, du sinus et de la tangente: cos(x+ 2π) = cosxsin(x+ 2π) = sinxtan(x+ 2π) = tanx cos(x+π) =-cosxsin(x+π) =-sinxtan(x+π) = tanx cos(-x) = cosxsin(-x) =-sinxtan(-x) =-tanx cos(π-x) =-cosxsin(π-x) = sinxtan(π-x) =-tanxcos(x+π
2) =-sinxsin(x+π2) = cosxtan(x+π2) =-1tan(x)
cos(π
2-x) = sinxsin(π2-x) = cosxtan(π2-x) =1tan(x)
2Démonstration.C"est toujours une question de symétries du cercle trigonométrique : àx+2πcorres-
pond le même point qu"àx; àx+πle symétrique par rapport à0; à-xle symétrique par rapport à
l"axe des abscisses; àπ-xcelui par rapport à l"axe des ordonnées; àx+π2l"image par une rotation
de centre0et d"angleπ2, et enfin àπ2-xl"image par la composée de cette rotation et de la symétrie
par rapport à l"axe des abscisses (en commençant par la symétrie).1.2 Formules trigonométriques
Proposition 3.Pour tout réelx,sin2x+ cos2x= 1.
Démonstration.SoitMle point associé àxsur le cercle trigonométrique. La distanceOM, qui vaut
1, est égale à?
cos2x+ sin2x, ce qui élevé au carré donne notre égalité.Les formules suivantes sont toutes à connaitre parfaitement et surtout à ne pas confondre les unes
avec les autres. Nous verrons un peu plus tard comment les retenir plus facilement à l"aide des exponentielles complexes.Proposition 4.Formules d"addition :
cos(a+b) = cosacosb-sinasinb
sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb
tan(a+b) =tana+ tanb
1-tanatanbcos(a-b) = cosacosb+ sinasinb
sin(a-b) = sinacosb-cosasinb
tan(a-b) =tana-tanb
1 + tanatanb
Démonstration.SoientMetNles points du cercle trigonométrique de coordonnées respectives (cosa,sina)et(cos(a+b),sin(a+b))etM?l"image deMpar rotation autour de l"origine d"angleπ 2.Le triplet(O,--→OM,---→OM?)est un repère (orthonormal direct). Les coordonnées deNdans ce repère
sont(cosb,sinb)(puisqueNappartient toujours au cercle trigonométrique dans ce nouveau repère,et(--→OM,--→ON) =a+b-a=b), donc--→ON= cosb--→OM+ sinb---→OM?= cosb(cosa-→i+ sina-→j) +
sinb(-sina-→i+ cosa-→j) = (cosacosb-sinasinb)-→i+ (sinacosb-cosasinb)-→j. Comme on sait
par ailleurs, par définition du pointN, que ces coordonnées sont égales à(cos(a+b),sin(a+b)), une
petite identification donne les formules d"addition du sinus et du cosinus. On a ensuitetan(a+b) = sin(a+b) cos(a+b)=sinacosb+ cosasinbcosacosb-sinasinb=sina cosa+sinbcosb1-sinasinbcosacosb=tana+ tanb1-tanatanb. Pour obtenir les formules de
soustraction, on reprend les formules précédentes en remplaçantbpar-b. Méthode :Ces formules permettent de calculer les valeurs exactes deslignes trigonométriques d"angles qui peuvent s"exprimer comme sommes ou différencesd"angles classiques, par exempleπ 12: on utilise le fait que12=π3-π4, donccosπ12= cosπ3cosπ4+ sinπ3sinπ4=⎷
6 +⎷2
4. De même,
sin12=⎷
32.⎷
22-12.⎷
22=⎷
6-⎷2
4.Proposition 5.Formules de duplication :
cos(2a) = cos2a-sin2a= 2cos2a-1 = 1-2sin2a
sin(2a) = 2cosasina
tan(2a) =2tan(a)
1-tan2(a)
cos(3a) = 4cos3a-3cosa
sin(3a) = 3sina-4sin3a
3 Démonstration.Ce ne sont que des cas particuliers des formules d"addition,mais il est bon de bien les connaitre. Pour obtenircos(3a), on applique la formule d"addition àaet2a:cos(3a) = cos(2a)cosa-sin(2a)sina= 2cos3a-cosa-2cosasin2a= 2cos3a-cosa-2cosa(1-cos2a) = 4cos3a-3cosa.
Remarque2.On peut calculer les valeurs decos(na)etsin(na)de proche en proche de cette manière, mais on verra une méthode plus efficace utilisant les nombres complexes. Proposition 6.Transformations de sommes en produits (et vice versa) :cosacosb=1
2(cos(a+b) + cos(a-b))
sinacosb=1
2(sin(a+b) + sin(a-b))
sinasinb=1
2(cos(a-b)-cos(a+b))
cosp+ cosq= 2cos?p+q
2? cos?p-q2?cosp-cosq=-2sin?p+q
2? sin?p-q2?sinp+ sinq= 2sin?p+q
2? cos?p-q2?sinp-sinq= 2cos?p+q
2? sin?p-q2? Démonstration.Rien de compliqué, par exemplecos(a+b) + cos(a-b) = cosacosb-sinasinb+ cosacosb+ sinasinb= 2cosacosb. On obtient de même les deux formules suivantes, puis lesquatre dernières s"obtiennent directement en partant du membre de droite et en utilisant les trois
premières.1.3 Résolution d"équations trigonométriques
Définition 2.Soitθ?R, on dit qu"un réelxestcongru àαmoduloθsix=α+kθ, oùkest un
entier relatif quelconque. On le notex≡α[θ].Exemple :On peut ainsi écrirex≡θ[2π]pour indiquer que le réelxcorrespond sur le cercle
trigonométrique au même point que l"angleθ.Remarque3.On peut effectuer sur les congruences (qui ne sont rien d"autre que des égalités déguisées)
les opérations suivantes : addition d"une constante des deux côtés (sans toucher à ce qui est dans
le crochet), ou multiplication par une constante (y comprisce qui est dans le crochet). Ainsi, si2x+π≡π
2[2π], on pourra écrire2x≡ -π2[2π], puisx≡ -π4[π].
Proposition 7.L"équationcos(x) = cos(θ)a pour solutionsx≡θ[2π]etx≡ -θ[2π]. L"équation
sin(x) = sin(θ)a pour solutionsx≡θ[2π]etx≡π-θ[2π].Exemples :L"équationcos(x) =1
2a pour solutionsx≡π3[2π]etx≡ -π3[2π]. L"inéquation
sin(x)?⎷ 32a pour solutionsx??π3,2π3?
[2π]. Exercice :Résoudre les équations suivantes :1.cos(3x) =1
22.sin?
x+π 2? = 13.tan(x) = 2cos(x)
4.sin(x) + sin(3x) = 0
41. On écrit simplement3x≡ ±π3[2π], soitx≡ ±π9?
2π3?
2. On peut par exemple écrirex+π
2≡π2[2π], soitx≡0[2π], ou encore utiliser le fait que
sin? x+π 2? = cos(x)pour obtenir l"équation équivalentecos(x) = 1(qui donne évidemment les mêmes solutions).3. Le plus simple est décrire
sin(x) cos(x)= 2cos(x), soitsin(x) = 2cos2(x) = 2-2sin2(x). En posant X= sin(x), on se ramène donc à l"équation2X2+X-2 = 0, qui a pour discriminant Δ = 1 + 16 = 17, et admet comme racinesX1=-1-⎷ 174, qui est strictement inférieure à
-1(puisque⎷17>4) donc n"est pas une valeur valable pour un sinus, etX2=-1 +⎷17
4, qui appartient bien à[-1,1]. Il existe donc un angleθtel quesin(θ) =X2, et les solutions de l"équation initiale sont alorsx≡θ[2π]etx≡π-θ[2π].4. Une possibilité brutale est d"écriresin(x)+sin(3x) = sin(x)+3sin(x)-4sin3(x) = 4sin(x)(1-
sin2(x)), les solutions vérifient doncsin(x) = 0,sin(x) = 1ousin(x) =-1, ce qui donnex≡
0?π
2? . Autre possibilité, utiliser une formule de transformation somme-produit pour ramener l"équation à2sin(2x)cos(-x) = 0, soitsin(2x) = 0oucos(x) = 0(la fonctioncosétant paire). Commesin(2x) = 2sin(x)cos(x), on doit en fait avoirsin(x) = 0oucos(x) = 0, ce qui donne bien les solutions trouvées ci-dessus.2 Fonctions trigonométriques
Proposition 8.La fonctioncosinusest définie surRparx?→cos(x). Elle est paire et2π-périodique,
continue et dérivable, et sa dérivée est égale à-sin(x). Sur l"intervalle[-π;π], son tableau de
variations est le suivant : x-π-π20π2π cosx -1?? ??0?? ??1????0????-1La courbe bien connue du cosinus :
0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
01 -1Démonstration.La périodicité et la parité découlent des propriétéscos(x+2π) = cosxetcos(-x) =
cosx. Le calcul de dérivée peut s"effectuer en revenant au taux d"accroissement et en utilisant des
encadrements exploitant la définition géométrique des lignes trigonométriques, nous verrons cette
démonstration en exercice.Proposition 9.La fonctionsinusest définie surRparx?→sin(x). Elle est impaire,2π-périodique,
continue et dérivable, sa dérivée est la fonction cosinus, et voici son tableau de variations sur[-π;π]:
5 x-π-π20π2π sinx0????-1?? ??0?? ??1????0Et une autre courbe bien connue :
0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
01 -1 Démonstration.Mêmes remarques que pour le cosinus. Proposition 10.La fonctiontangenteest définie surR\?π2+kπ|k?Z? parx?→tan(x). Elle estimpaire,π-périodique, continue et dérivable sur son domaine de définition, ettan?= 1+tan2=1
cos2.D"où le tableau de variations suivant sur?
2;π2?
x-π20π2 tanx ??0?? Et une dernière courbe peut-être moins bien connue :0 1 2 3 4-1-2-3-4
012345
-1 -2 -3 -4 -5 6Démonstration.Encore une fois, tout a été vu sauf la dérivée et les limites, qui se calculent facile-
ment. Par exemple,tan?(x) =?sin cos? (x) =cos2(x) + sin2(x)cos2(x)=1cos2(x)en utilisant la formule de dérivation d"un quotient. Par ailleurs,1+ tan2(x) = 1+sin2(x) cos2(x)=1cos2(x), d"où la deuxième forme possible. Exercice :Étudier le plus complètement possible la fonctionf:x?→cos(x) +12sin(2x).La fonction est évidemment définie et dérivable surR. Elle n"est ni paire ni impaire, mais2π-
périodique, ce qui permet de réduire l"intervalle d"étude à[-π,π]. Sa dérivée estf?(x) =-sin(x) +
cos(2x) =-sin(x)+1-2sin2(x). En posantX= sin(x),f?(x)est du signe de-2X2-X+1, qui a pour discriminantΔ = 1 + 8 = 9, et admet pour racinesX1=1-3 -4=12, etX2=1 + 3-4=-1. La dérivée est donc positive lorsque-1?sin(x)?12, ce qui permet de dresser le tableau de variations
suivant : x-π-π20π6π25π6πf?(x)+ 0 + + 0- -0 + f -1?? ??0?? ??1?? ??3 34????0????-3⎷
3 4?? ??-1 Pour compléter le tableau, on a notamment calculéf?π6? = cos?π6? +12sin?π3? 32+12×⎷
3 2=3⎷
34(calcul identique au signe près en5π6, les autres valeurs sont faciles à calculer). On a également
déterminé le signe defen résolvant l"équationf(x) = 0: commesin(x) = 2sin(x)cos(x), elle se
ramène àcos(x)(1 +sin(x)) = 0, ce qui donne (sur notre intervalle)x=±π2. On peut conclure avec
une belle courbe :0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
012 -1 -23 Fonctions trigonométriques réciproques
Définition 3.La fonctionsinétant strictement croissante sur?2,π2?
, elle y est bijective versl"intervalle image[-1;1]. La fonction réciproque du sinus sur cet intervalle est appeléearcsinuset
notéearcsin.Proposition 11.La fonctionarcsinest impaire, définie et continue sur[-1;1]et dérivable sur]-1;1[,
de dérivéearcsin?(y) =1 ?1-y2. Elle est strictement croissante sur son domaine de définition. 7 0 1-1 01 -1Démonstration.L"imparité et la croissance d"arcsindécoulent de celles du sinus via le théorème de
la bijection. Pour la dérivée, appliquons la formule de dérivation d"une réciproque :arcsin?(y) =1
sin?(arcsiny)=1cos(arcsiny). La fonctionarcsinétant à valeurs dans? -π2;π2? , et le cosinus étant positif sur cet intervalle, on acos(arcsiny) =?1-sin2(arcsiny)) =?1-y2, ce qui prouve la
formule. Remarque4.Le fait quesin(arcsiny) =y, utilisé dans la démonstration, n"est vrai que siy?[-1;1] (sinonarcsin(y)n"existe pas). De même,arcsin(sin(x)) =xseulement six??2;π2?
(mais cette expression est définie quelle que soit la valeur dex).Définition 4.La fonctioncosest strictement décroissante sur[0;π], elle y est donc bijective vers
son intervalle image[-1;1]. On définit la fonctionarccosinussur[-1;1](notéearccos) comme la réciproque decossur cet intervalle.Proposition 12.La fonctionarccosest paire, continue sur[-1;1]et dérivable sur]-1;1[, de dérivée
arccos ?(y) =-1 ?1-y2. Elle est strictement décroissante sur son domaine de définition. 8 0 1-1 0123Démonstration.La preuve est totalement similaire à la précédente. Proposition 13.Pour tout réely?[-1;1],arccos(y) + arcsin(y) =π2.
Démonstration.Notonsg:y?→arccos(y)+arcsin(y). La fonctiongest définie sur[-1;1], dérivable
et de dérivée nulle sur]-1;1[. Elle est donc constante égale àg(0) = arccos(0)+arcsin(0) =π
2+0 = 2. Définition 5.La fonctiontanest strictement croissante sur? -π2;π2? , elle y effectue donc unebijection vers son intervalle imageR. La fonctionarctangenteest définie surRcomme sa réciproque,
on la notearctan.Proposition 14.La fonctionarctanest impaire, continue et dérivable surR, de dérivéearctan?(y) =1
1 +y2. Elle est strictement croissante surR, avec pour limites respectives-π2etπ2en-∞et+∞.
0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
012 -1 -2Démonstration.Comme d"habitude, contentons-nous du calcul de la dérivée,qui est ici facile :
arctan ?(y) =1 tan?(arctany)=1(1 + tan2)(arctany)=11 +y2. 9 Exercice :Démontrer que,?x?R,arcsin?x⎷x2+ 1? = arctan(x). Deux méthodes possibles, d"abord une méthode bourrine où onposef(x) = arcsin?x ⎷x2+ 1?arctan(x). Il faut déjà réussir à déterminer le domaine de définition def. En constatant que?x?R,
0?x2< x2+ 1, on peut prendre la racine carrée pour obtenir|x|<⎷
x2+ 1, soit-⎷x2+ 1< x <⎷ x2+ 1. On a donc toujours-1également puisque l"expression à l"intérieur de l"arcsinus ne prend jamais les valeurs-1et1. Dérivons
donc :f?(x) =⎷ x2+ 1-2x22⎷x2+1 x2+ 1×1?1-x2x2+1-1x2+ 1=x2+ 1-x2(x2+ 1)32×⎷
x2+ 1⎷x2+ 1-x2-1x2+ 1= x2+ 1 (x2+ 1)32-1x2+ 1= 0. La fonctionfest donc constante. Commef(0) = arcsin(0)-arctan(0) = 0, fest la fonction nulle, ce qui prouve l"égalité demandée. Deuxième méthode, on posex= tan(θ), avecθ??2;π2?
(on peut toujours, la focntiontanétant bijective de cet intervalle surR. On a bien évidemmentarctan(tan(θ)) =θsur cet inter-
valle (ce ne serait pas vrai pour unθquelconque), et par ailleursx ⎷x2+ 1=tan(θ)?1 + tan2(θ)= tan(θ)?cos2(θ). Commecos(θ)est positif sur l"intervalle considéré,x⎷x2+ 1= tan(θ)cos(θ) =
sin(θ). Et comme on est justement dans l"intervalle oùarcsin(sin(θ)) =θ(la vie est bien faite), on
trouvearcsin?x ⎷x2+ 1? =θ, ce qui prouve l"égalité. 10quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14