PUISSANCES ET RACINES CARRÉES
5 à la puissance 3 0 à la puissance 6 La racine carrée de a est le nombre 2 ne « contient » pas de carré parfait B = √45 = √9×5
Puissances et Racines carrées - groupe Auxgane
DEFINITION DE: PUISSANCE La notation an (où n est une entier plus grand que 1) désigne le produit de n facteurs égaux à a an = a × a × × a (n facteurs) an s'appelle la puissance nième de a et n s'appelle l'exposant a2 s'appelle le carré de a (par référence à l'aire d'un carré) a3 s'appelle le cube de a (par référence au
CH III) Puissance - Racine carrØe
Cours Puissance Racine carrØe Page 5 / 6 Exemple : 0,067 = 6,7 10-2 6 700 = 6,7 103 Un seul chiffre diffØrent de zØro avant la virgule Exercice : Écrire sous forme scientifique 1 740 = 2 630 000 = 0,023 = 0,009 85 = J Attention, certaines calculatrices afficheront 6,7 -02 au lieu de 6,7 10-2 IV) Racine carrØe d™un nombre :
1 Les puissances & racines
§ 1 4 Equations du type puissance et racine r p x q= Méthode : Pour résoudre une équation du type p x qr =on doit : a) Convertir l’écriture p xr en une forme usuelle du type ( ) p r x ou r xp b) Utiliser l’ordre inverse de la priorité des opérations et les règles de résolution des équations pour extraire x de la formule initiale
racine carrée - edu
III Ecriture de la racine de a sous la forme d’une puissance 1 Définition de € a 1 2 On définit € a 1 2 en supposant que cette puissance de € a suit les mêmes règles de calcul que les puissances entières de € an Alors € a 1 2 2 =a 1 ×2 =a1=a On voit que € a 1 2 vérifie l’équation €
Puissances, Racines Exponentielles et Logarithmes
On appelle puissance n-ième de a ou a à la puissance n, le produit de n facteurs de a En d’autres termes : an “ loooooomoooooona¨a ¨ ¨a n facteurs Le nombre a s’appelle la base de la puissance et le nombre n s’ap-pelle l’exposant de la puissance Exemple 1: Calculer les expressions : a) 54 “ b) ˆ ´ 1 2 ˙3 “ Propriétés
Racine carr e - Exercices corrig s - académie de Caen
Aucune propriété liant les racines carrées et l’élévation à la puissance 3 n’est connue Revenons donc à la définition de l’élévation au cube Nous avons : b)Calculer C pour x 3 2 a)Calculer C pour x 5 et écrire le résultat sous la forme a b 5 où a et b sont des entiers relatifs = + = +
wwwsamsoutiench Théorie Les racines
Il aurait été possible de le décomposer autrement, mais il est recommandé de trouver au moins un carré parfait dans le produit Il est possible de décomposer une racine en produits de plus de 2 nombres : √288= √36∙ √4 ∙ √2 (il est possible d’extraire √4 et √36) 6 ∙ 2 ∙ √2 = 12√2
Les règles de priorité - Académie de Grenoble
« règles de priorité » suivantes, dans l’ordre décroissant de priorité : 1 l’élévation à une puissance et la racine carrée 2 la multiplication et la division (ou le quotient ) 3 l’opposé 4 l’addition et la soustraction Remarque : en cas d’égalité de niveaux les opérations se font de gauche à droite
Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation
Dérivée de la somme (u+v)0= u0+v0 Dérivée du produit par un scalaire (ku)0= ku0 Dérivée du produit (uv)0= u 0v+uv Dérivée de l’inverse 1 u 0 = u0 u2 Dérivée du quotient u v 0 = u 0v uv v2 Dérivée de la puissance (un)0= nu0un 1 Dérivée de la racine p u 0 = u0 2 p u Dérivée du logarithme [ln(u)]0= u0 u Dérivée de l
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Cours Puissance Racine carrée Page 1 / 6
CH III) Puissance - Racine carrée
I) Puissance d"un nombre :
La puissance n d"un nombre a est le produit de n nombres égaux à a et se note an. an = a x a x a x a x ... ... ... ... x a a est écrit n fois J n est appelé l"exposant du nombre a, n est un nombre entier.1) Carré d"un nombre :
Le carré d"un nombre est le produit d"un nombre par lui-même. a2 = a x a Exemples : 32 = 3 x 3 = 9(32 se lit 3 au carré)72 = 7 x 7 = 49(72 se lit 7 au carré)
2,12 = 2,1 x 2,1 = 4,41( 2,12 se lit 2,1 au carré)
J Attention, l"erreur que vous commettrez le plus souvent sera d"écrire 32 = 3 x 2, ce qui est faux !!! J A l"aide de la machine à calculer, on utilisera la touche x2.Exercice : Calculer
2,72 = 5,32 = 102 =
2) Cube d"un nombre :
Le cube d"un nombre est le produit de trois facteurs égaux à ce nombre. a3 = a x a x a Exemples :33 = 3 x 3 x 3 = 27 (33 se lit 3 au cube)2,13 = 2,1 x 2,1 x 2,1 = 9,261 ( 2,13 se lit 2,1 au cube)
J A l"aide de la machine à calculer, on utilise l"une des touches suivantes (cela dépend de la machine) xy ; ^ ou # et on tape : 3,1 xy 3 = pour calculer 3,13
3,1 ^ 3 = pour calculer 3,13
3,1 # 3 = pour calculer 3,13
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Exercice : Calculer
3.013 = 5.253 = 633 =
3) Puissance 4, 5 6 ... d"un nombre :
J On utilise " carré » et " cube » uniquement pour les valeurs 2 et 3 des puissances, pour les autres valeurs on utilisera l"expression " puissance » elle-même. Exemples : 5,14 = 5,1 x 5,1 x 5,1 x 5,1 = 19,4481(5,14 se lit 5,1 puissance 4)87 = 2 097 152 (87 se lit 8 puissance 7)
Cas particulier : Tout nombre à la puissance 0 équivaut à 1.450 = 120 = 0,00250 = ... = 1
II) Multiplication et division par certains multiples ou sous-multiples de 101) Multiplication par 10 ; 100 ; 1000 ; ...
Calculer : 2,123 x 10 =; 2,123 x 100 =; 2,123 x 1 000 =2,123 x 10 000 = ; 2,123 x 100 000 =
J Pour multiplier par 10, 100 etc. ... on décale la virgule d"autant de chiffres vers la droite qu"il y a de " zéro » dans 10, 100, 1 000 etc. ... Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer :25 x 1 000 = ; 0,019 x 100 000 =; 4,5 x 10 000 =
2) Division par 10 ; 100 ; 100 ; ...
Calculer :212,3 : 10 =; 212,3 : 100 =; 212,3 : 1 000 =212,3 : 10 000 =; 212,3 : 100 000 =
J Pour diviser par 10, 100 etc. ... on décale la virgule d"autant de chiffres vers la gauche qu"il y a de " zéro » dans 10, 100, 1 000 etc. ... Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer :25 ,2 : 1 000 =; 2 145,36 : 100 = ; 0,045 : 10 =
245,1 : 10 000 = ; 45 : 10 000 000 = ; 3,25 : 100 =
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3) Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ...
Calculer :212,3 x 0,1 = ; 212,3 x 0,01 =; 212,3 x 0,001 =212,3 x 0,000 1 =;212,3 x 0,000 01 =
J Pour multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ... cela revient à diviser par 10 ; 100 ; 1 000. - Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10 - Multiplier par 0,01 revient à diviser par 100 etc. ... Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer :25 ,2 x 0,001 =; 2 145,36 x 0,01 = ; 0,045 x 0,1 =
245,1 x 0,000 1 = ; 45 x 0,000 000 1 = ; 3,25 x 0,01 =
4) Division par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ...
Calculer : 2,123 : 0,1 =; 2,123 : 0,01 =; 2,123 : 0,001 =2,123 : 0,000 01 = ; 2,123 : 0,000 001 =
J Pour diviser par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 etc. ... cela revient à multiplier par 10 ; 100 ; 1 000. - Diviser par 0,1 revient à multiplier par 10 - Diviser par 0,01 revient à multiplier par 100 etc. ...5) Exercice : sans utiliser la calculatrice, calculer :
210,23 : 10 000 =; 78,236 x 0,000 1 =
78 987 x 0,000 001 =; 0,000 12 x 100 000 =
0,002 5 : 0,001 =; 456 125 x 0,001 =
III) Puissances de 10 :
1) Puissances positives de 10 :
Exercice : Calculer :100 =101 =102 =
104 =105 =
J Pour écrire 10n, on écrit 1 et autant de zéro que le nombre n.2) Puissances négatives de 10 :
Exercice : Écrire sous forme décimale : 10-1 = 1101 =10-2 = 210
1 =Cours Puissance Racine carrée Page 4 / 6
10-3 = 310
1 = 10-5 = 510
1 = J Pour écrire 10-n, on écrit 1 au nième rang après la virgule.3) Écriture sous la forme d"une puissance de 10 :
Exemple : 6 700 = 6,7 x 1 000 = 6,7 x 103 = 6,7.103 = 67 x 100 = 67 x 102 = 67.1020,067 = 6,7 x 0,01 = 6,7 x 100
1 = 6,7 x 210
1 = 6,7 x 10-2 = 6,7.10-2
= 67 x 0,001 = 67 x 10001 = 67 x 310
1 = 67 x 10-3 = 67.10-3
J Tout nombre peut s"écrire sous la forme d"un autre nombre multiplié par un multiple de 10 ou un sous multiple de 10. Le fait d"écrire ce nombre sous la forme d"une puissance de 10 se fera en déplaçant la virgule qui compose ce nombre. J Pour savoir si l"exposant est positif ou négatif : si le nombre obtenu lorsque l"on déplace la virgule est plus grand que le nombre initial, l"exposant sera positif et négatif dans l"autre cas.6 700 = 6,7.103 en effet 6,7 < 6 700 donc l"exposant est positif (3)
0,067 = 6,7.10-2 en effet 6,7 > 0,067 donc l"exposant sera négatif (-2)
Exercice : transformer les écritures suivantes en donnant les exposants :3,256.103 = 325,6.1045,123.105 = 4,5123.100,0123.104 = 1,23.10
7 896.10-3 = 78,96.106,73.105 = 673.100,639.10-3 = 63,9.10
J Si le nombre obtenu lorsque l"on déplace la virgule est plus grand, on diminue l"exposant et inversement.6 875,6.103 = 6,875 6.106 6,875 6 < 6 875,6 donc il faut augmenter l"exposant.
0,012 23.104 = 12,23.101 12,23 > 0,012 23 donc il faut diminuer l exposant
4) Écriture scientifique d"un nombre :
L"écriture scientifique d"un nombre est l"écriture de ce nombre sous la forme a.10n où a est un nombre qui s"écrit avec un seul chiffre différent de zéro avant la virgule.Cours Puissance Racine carrée Page 5 / 6
Exemple : 0,067 = 6,7.10-26 700 = 6,7.103
Un seul chiffre différent de zéro avant la virgule.Exercice : Écrire sous forme scientifique.
1 740 = 2 630 000 =
0,023 =0,009 85 =
J Attention, certaines calculatrices afficheront 6,7 -02 au lieu de 6,7.10-2IV) Racine carrée d"un nombre :
La racine carrée d"un nombre a est un nombre qui élevé au carré donne a. On écrit a.Exemple : 4 = 2 car 22 = 49 = 3 car 32 = 9
0625,18 = 4,25 car 4,252 = 18,0625
J La racine carrée s"obtient avec la touche de la machine.Exercice : Calculer 36 = 64 =49 =81 =
Exercice : Calculer les racines carrées suivantes, on donnera le résultat à 10-2 prés par
excès.29 = 17 =2561 = 658 =
V) Utilisation d"un tableau de valeurs :
nn2n3n n n25251252,236
n n2Cours Puissance Racine carrée Page 6 / 6
Exercice : A partir du tableau suivant, donner les valeurs de : nn2n3n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122
23
24
25
26
27
28
29
30
1 4 9 16 25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
286
324
361
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
900
1 8 27
64
125
216
343
512
729
1 000 1 331 1 728 2 197 2 744 3 375 4 096 4 913 5 832 6 859 8 000 9 261