1 Les puissances & racines

5 à la puissance 3 0 à la puissance 6 La racine carrée de a est le nombre 2 ne « contient » pas de carré parfait B = √45 = √9×5

Puissances et Racines carrées - groupe Auxgane

DEFINITION DE: PUISSANCE La notation an (où n est une entier plus grand que 1) désigne le produit de n facteurs égaux à a an = a × a × × a (n facteurs) an s'appelle la puissance nième de a et n s'appelle l'exposant a2 s'appelle le carré de a (par référence à l'aire d'un carré) a3 s'appelle le cube de a (par référence au

CH III) Puissance - Racine carrØe

Cours Puissance Racine carrØe Page 5 / 6 Exemple : 0,067 = 6,7 10-2 6 700 = 6,7 103 Un seul chiffre diffØrent de zØro avant la virgule Exercice : Écrire sous forme scientifique 1 740 = 2 630 000 = 0,023 = 0,009 85 = J Attention, certaines calculatrices afficheront 6,7 -02 au lieu de 6,7 10-2 IV) Racine carrØe d™un nombre :

1 Les puissances & racines

§ 1 4 Equations du type puissance et racine r p x q= Méthode : Pour résoudre une équation du type p x qr =on doit : a) Convertir l’écriture p xr en une forme usuelle du type ( ) p r x ou r xp b) Utiliser l’ordre inverse de la priorité des opérations et les règles de résolution des équations pour extraire x de la formule initiale

racine carrée - edu

III Ecriture de la racine de a sous la forme d’une puissance 1 Définition de € a 1 2 On définit € a 1 2 en supposant que cette puissance de € a suit les mêmes règles de calcul que les puissances entières de € an Alors € a 1 2 2 =a 1 ×2 =a1=a On voit que € a 1 2 vérifie l’équation €

Puissances, Racines Exponentielles et Logarithmes

On appelle puissance n-ième de a ou a à la puissance n, le produit de n facteurs de a En d’autres termes : an “ loooooomoooooona¨a ¨ ¨a n facteurs Le nombre a s’appelle la base de la puissance et le nombre n s’ap-pelle l’exposant de la puissance Exemple 1: Calculer les expressions : a) 54 “ b) ˆ ´ 1 2 ˙3 “ Propriétés

Racine carr e - Exercices corrig s - académie de Caen

Aucune propriété liant les racines carrées et l’élévation à la puissance 3 n’est connue Revenons donc à la définition de l’élévation au cube Nous avons : b)Calculer C pour x 3 2 a)Calculer C pour x 5 et écrire le résultat sous la forme a b 5 où a et b sont des entiers relatifs = + = +

wwwsamsoutiench Théorie Les racines

Il aurait été possible de le décomposer autrement, mais il est recommandé de trouver au moins un carré parfait dans le produit Il est possible de décomposer une racine en produits de plus de 2 nombres : √288= √36∙ √4 ∙ √2 (il est possible d’extraire √4 et √36) 6 ∙ 2 ∙ √2 = 12√2

Les règles de priorité - Académie de Grenoble

« règles de priorité » suivantes, dans l’ordre décroissant de priorité : 1 l’élévation à une puissance et la racine carrée 2 la multiplication et la division (ou le quotient ) 3 l’opposé 4 l’addition et la soustraction Remarque : en cas d’égalité de niveaux les opérations se font de gauche à droite

Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation

Dérivée de la somme (u+v)0= u0+v0 Dérivée du produit par un scalaire (ku)0= ku0 Dérivée du produit (uv)0= u 0v+uv Dérivée de l’inverse 1 u 0 = u0 u2 Dérivée du quotient u v 0 = u 0v uv v2 Dérivée de la puissance (un)0= nu0un 1 Dérivée de la racine p u 0 = u0 2 p u Dérivée du logarithme [ln(u)]0= u0 u Dérivée de l

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- 1 - Les puissances & racines

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1. Les puissances & racines

§ 1.1 Définitions et propriétés

Définitions

1) Si n est un entier non nul alors :

na= ................. 2)

0a= ................. (0a¹) 1a= .................

3) na-= ................ et 1 na-= ................. ( 0a¹ et 0n>)

Remarque

00= ...............

Exemples

23= d) 10= g) 23-= j) 01=

32= e) 3710= h) 32-= k) 00=

170= f) 25= i) 1

52-= l) 12025=

Propriétés

1) ...........m na a× = 2) .............

m na a= (0a¹) 3) ( ) .............m na= 4) ( ) ..............na b× = 5) ............ na b( )=( )( ) (0b¹)

Exemples

3 22 2× = f) ()

232-=
b)

3 22 2-× = g) ()

32 12 3-× =

c) 5 23

3= h) ()

222 3
d) 5 23

3-= i)

3 32a
b×( )=( )( ) e) 5 23
3 = j) 2 5 3a a a - 2 - Les puissances & racines

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Trouver les résultats sans utiliser la calculatrice et donner les réponses sous forme décimale ou de

fraction simplifiée

Exercice 1

a) 23=
b) 82=
c)

32= d)

53=
e) 41=
f)

40= g)

082,=
h) 053,=
i) 122,=

Exercice 2

42-= h) 1

25-=
b)

72-= i) 1

42-=
c)

222×= j) 8

8 16 16 d)

103-= k) 7

7 5 4= e) 1

52-= l) 2235-×=

f) 1

23-= m) 5

5 3 5 g) 1

41-= n) 333254××=-

§ 1.2 Les racines et leurs propriétés

Définition :

La racine carrée d"un nombre positif A est le nombre positif x, tel que 2x A=.

La racine carrée de A se note :

On a pour A positif :

2A x x A=?=

Propriétés des racines carrées :

Pour 0a³ et 0b³on a :

2..........a= et 2.........a= 2) .............a b× = 3)..........a

Exemples

64= b) 75

3= c) 9- = d) 2 8× =

- 3 - Les puissances & racines

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Exercice 3 :

Calculer lorsque c"est possible et donner, s"il y a lieu, le résultat sous la forme d"une fraction

irréductible. a) =144 g) =×55 b) =1649 h) =×61 32
c) =-6425 i) =-1625 d) =545 j) ()= 22
e) =-36 k) =82 f) =7527 l) =×273

Définition et propriétés

La racine cubique d"un nombre positif, négatif ou nul V est le nombre x, tel que 3x V=

La racine cubique de V se note :

3V 1)

33a a= et 33a a= 2) 3 3 3a b a b× = × 3)

3 3 3a a bb= si b ¹ 0

Remarques importantes

Contrairement aux racines carrées,

un nombre négatif possède une racine cubique !

Exemple :

3273-=- car 27)3(3-=-

Exercice 4

Calculer lorsque c"est possible et donner, s"il y a lieu, le résultat sous la forme d"une fraction

irréductible. a) =3271 g) =×383433 b) =×3391

31 h) =33

433
c) =-312564 i) =48 3 d) =-×3342 j) =×33501 52
e) =×3353

259 k) =×3310010

f) =336 l) =+-3,08273 - 4 - Les puissances & racines

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http://math.aki.ch/ Par extension on peut donner la définition suivante :

Définition :

· La racine nième d"un nombre a est le nombre x, tel que nx a=

La racine n

ième de a se note : na Le nombre a dont on veut extraire la racine s"appelle le radicande.

Le nombre n est le degré de la racine.

Si n est pair la racine n"est définie que pour un radicande positif et le résultat est un nombre

positif. Si n est impair la racine est définie pour un radicande positif, négatif ou nul.

Propriétés des racines n

ièmes : 1) () nna a= et nna a= 2) n n na b a b× = × 3) n n na a bb= si b ¹ 0

4) Si

r est un entier plus grand que 0 alors : 1 r a= ................ (0a>) 5) Si p et r sont des entiers (r ¹ 0), alors : p r a= ....................... (0a>)

Exemples

2713/= c) 823-=/ f)()

1/3227=

823/= d) 1476,=

Exercice 5

Trouver les résultats sans utiliser la calculatrice. a) 6412/= g) 16= b)

3225/= h) =5153

159/= i)

3 24=
d)

11/7= j) =66010

1632/= k) ()( )

×358

43777
f)

1251/3=

Propriétés

1) p prra a= 2) ( ) pp prrra a a= = 3) pq pqa a= - 5 - Les puissances & racines

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http://math.aki.ch/ Exercice 6 : Ecrire les expressions suivantes à l"aide d"exposants positifs

Exemple :

a b c b c a -×=×2 33
2 a) a b c d 2 3 2

5× ×=--

- g) abcd--×××=11 b) a-=3 h) 1 17c-= c) a b c -×=2 3 1 i) abcd----×××=4213 d) b-=2 j) 1

2 3bc- -=.

e) abcd×××=---123 k) 1

5 3 1abc- -××=

f) 1

3z-= l) a

z 13 45

Exercice 7

Simplifier Exemple :

2223811×=

22810×= e)

5 58
8 b) 2 2 2 8 10

5×= f)

7 2

4 84 5

4 5 c) 3 3 3 5 1

8×=-

- g) () 52
103 3
3 d) 7 7 2 5- = h) 32
3

Exercice 8

Simplifier

5 3a a× = g) ()

22 3

3 5 3a b c

a b c b)quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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1. Les puissances & racines

§ 1.1 Définitions et propriétés

Définitions

1) Si n est un entier non nul alors :

0a= ................. (0a¹) 1a= .................

Remarque

00= ...............

Exemples

23= d) 10= g) 23-= j) 01=

32= e) 3710= h) 32-= k) 00=

170= f) 25= i) 1

52-= l) 12025=

Propriétés

1) ...........m na a× = 2) .............

Exemples

3 22 2× = f) ()

3 22 2-× = g) ()

32 12 3-× =

3= h) ()

3-= i)

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Exercice 1

32= d)

40= g)

Exercice 2

42-= h) 1

72-= i) 1

222×= j) 8

103-= k) 7

52-= l) 2235-×=

23-= m) 5

41-= n) 333254××=-

§ 1.2 Les racines et leurs propriétés

Définition :

La racine carrée de A se note :

On a pour A positif :

2A x x A=?=

Propriétés des racines carrées :

Pour 0a³ et 0b³on a :

2..........a= et 2.........a= 2) .............a b× = 3)..........a

Exemples

64= b) 75

3= c) 9- = d) 2 8× =

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Exercice 3 :

Définition et propriétés

La racine cubique de V se note :

33a a= et 33a a= 2) 3 3 3a b a b× = × 3)

Remarques importantes

Contrairement aux racines carrées,

Exemple :

3273-=- car 27)3(3-=-

Exercice 4

31 h) =33

259 k) =×3310010

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Définition :

La racine n

Le nombre n est le degré de la racine.

Propriétés des racines n

4) Si

Exemples

2713/= c) 823-=/ f)()

1/3227=

823/= d) 1476,=

Exercice 5

3225/= h) =5153

159/= i)

11/7= j) =66010

1632/= k) ()( )

×358

1251/3=

Propriétés

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Exemple :

5× ×=--

2 3bc- -=.

5 3 1abc- -××=