SUJET + CORRIGE

Le problème du plus court chemin /exercices/corrigé/p1 Le problème du plus court chemin : exercices- corrigé I 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3 1 Les sommets correspondent à l'état du stock à la fin de chaque période : par hypothèse, il peut être de 0, 1 ou 2 Les arcs sont associés aux décisions Initialement, le stock est

TD n o 8 - Recherche de plus courts chemins 1 Lalgorithme de

Les notations sont les suivantes : π[v] contient le prédécesseur de v sur le chemin (NIL s'il n'y en a pas), δ(u,v) est le poids du plus court chemin de u vers v ( ∞s'il n'existe pas), d[v] est une ariablev qui est une borne supérieure du poids du plus court chemin de s vers v (cf question 4) On dé nit le poids d'un chemin p = hv 0,v

TD d’algorithmique avanc ee Corrig e du TD 11 : Plus courts

Comme nous l’avons remarqu e en cours, tout sous-chemin d’un plus court chemin est lui-m^eme un plus court chemin et le probl eme des plus courts chemins v eri e bien la propri et e de sous-structure optimale : nous pouvons donc essayer de le r esoudre par programmation dynamique 1 On note d(m)

Plus courts chemins: algorithme de Floyd-Warshall

du plus court chemin entre i et j (s’il existe, D ij = +1sinon) et R ij est une table de routage Exercice 1: Algorithme de Warshall Dans un premier temps, on s’int eresse a calculer la cl^oture transitive, c’est a dire d eterminer s’il existe un chemin allant de i a j pour tout couple de sommets (i;j) 2X2 Les chemins de G peuvent

Résolution des problèmes de plus court chemin – exercices

Résolution des problèmes de plus court chemin – exercices- corrigé I Le graphe qui permet de modéliser ce problème est analogue à celui vu dans le cours C'est un graphe de 7 sommets numérotés de 0 à 6

SUJET + CORRIGE

Exercice 4: Variantes plus court chemin à origine unique (8 points) L’algorithmedeDijkstra Initialisation (G, s){ // G(S,A,w) oriente pour u dans S faire

Algorithmique — L3 — TD 9 Plus courts chemins : la méthode

Exercice 5 : Quelle est la complexité de cet algorithme (au mieux, au pire, en moyenne)? Exercice 6 : A quoi sert la dernière boucle? Donnez un exemple de graphe où la valeur FAUX est retournée Exercice 7 : Prouvez l’invariant S’il existe un plus court chemin de s à u de k arcs,

Correction sujet du bac en mathématiques, Inde, Pondichéry 2018

reemaths r Corrigé - Bac - Mathématiques - 2018 Déterminons le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail: Notons que: Louis souhaite aller de A à G Après recours à l’algorithme de Dijkstra, nous trouvons comme trajet que Louis doit suivre pour aller de A à G, tout en minimisant la distance ( chemin

Algorithmes de Graphes, HLIN501 Ann ee 2016-2017 L3 Info, L3

- Exercice 4 - Vrai/Faux Con rmer (et prouver) ou in rmer (et donner un contre-exemple) les propri et es suivantes : a Un sous-chemin d’un plus court chemin est un plus court chemin b Si r est un sommet d’un graphe orient e D pond er e par des longueurs positives toutes distinctes,

Universit´e Paris 7 - Master 1 Informatique - Intelligence

Exercice 1 Algorithmes de recherche (8 points) Consid´erez la carte suivante Le but est de trouver le chemin le plus court de A vers I A D E C H F G B I 5 5 6 2 5

PARCOURS :Master 1

UE J1BS8203 :Méthodes et outils pour la biologie des systèmes

Épreuve :Examen

Date :Mardi 10 avril 2012

Heure :10 heures

Durée :2 heures

Documents : autorisés

Épreuve de M. AlainGriffaultSUJET + CORRIGE

Avertissement

La plupart des questions son tindé-

pendantes.

L"espace laissé p ourles rép onsesest

suffisant (sauf si vous utilisez ces feuilles comme brouillon, ce qui est fortement déconseillé).QuestionPointsScore

Automates de recherche de motifs4

Parcours en profondeur de graphes4

Graphes pondérés4

Variantes plus court chemin à origine unique8

Total:20

Exercice 1: Automates de recherche de motifs (4 points) (a) (2 p oints)P ourles mots sur l"alphab et =fa;bg, dessinez l"automate de recherche du motifaabab.

Solution:012345ab

a bba abb ab a

Figure1 - Recherche deaabab(b)(2 p oints)On dit d"un motif Pqu"il estnon recouvrablesi(PkwPq))(k= 0^k=q), c"est à dire

que si leskpremières lettres du motif forment un suffixe desqpremières lettres de ce même motif,

alors soitk= 0, soitk=q. Donnez la particularité de l"automate d"un motif non recouvrable.

Solution:Toutes les arcsretourreviennent à l"état initial.Exercice 2: Parcours en profondeur de graphes (4 points)

Donnez un graphe orienté G tel qu"il existe deux sommetsuetvvérifiant : -u;v -u:debut < v:debut -vn"est pas un descendant deudans la foret en profondeur obtenue lors du parcours en profondeur.

Solution:suv

Figure2 - Parcours en profondeur dans l"ordre(s;u;v) UE J1BS8203 : Méthodes et outils pour la biologie des systèmes Session 1, Année 2011/2012

Exercice 3: Graphes pondérés (4 points)

Vous admettrez la propriété suivante :

Propriété 1SoitG(S;A;w)un graphe non orienté pondéré avecw:A!N. SoientTAetT0Adeux

arbres couvrants de poids minimal. SoientLT= (a0;:::;an)etLT0= (a00;:::;a0n)les listes triées par poids

croissant des arêtes deTetT0. Alors :8i2[0::n];w(ai) =w(a0i). Informellement, la liste ordonnée des poids

des arêtes constituant un arbre couvrant est unique.

SoitG(S;A;w)un graphe non orienté pondéré. Montrer que pour chaque arbre couvrant de poids minimal

TdeG, il existe un moyen pour que l"algorithme de Kruskal retourne comme résultatT. Solution:SoitG(S;A;w)un graphe non orienté pondéré avecw:A!N. SoitTAun arbre

couvrant de poids minimal. SoitLT= (a0;:::;an)la liste triée par poids croissant des arêtes deT.

SoitLATla liste triée par poids croissant des arêtes deAT. SoitLla liste triée par poids croissant des arêtes deTobtenue par fusion des listesLTetLAT, en donnant priorité aux éléments deLTen cas d"égalité.

Il suffit d"appliquer l"algorithme de Kruskal en utilisant la liste triéeL.Exercice 4: Variantes plus court chemin à origine unique (8 points)

L"algorithme de Dijkstra

I n i t i a l i s a t i o n (G, s ){ // G(S,A,w) oriente pour u dans S faire { u . d Relacher (u , v ,w){ si (v . d > u . d + w(u , v )) alors { v . d Dijkstra (G, s ){ // G(S,A,w) oriente

I n i t i a l i s a t i o n (G, s );

F Relacher (u , v ,w); vu en cours calcule : P ourc haquesommet u, la distanced(s;u)deuà la racines. E : Une arb orescencedes plus courts c heminsissus de s.

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UE J1BS8203 : Méthodes et outils pour la biologie des systèmes Session 1, Année 2011/2012

SoitG(S;A;w)un graphe orienté pondéréacyclique. Il est alors possible d"améliorer l"algorithme de Dijkstra

pour calculer une arborescence des plus courts chemins. Dijkstraacyclique (G){ // G(S,A,w) oriente acyclique L I n i t i a l i s a t i o n (G, Tete(L )); tant que (L != n i l ) faire { u L pour v element de u . adjacents faire {

Relacher (u , v ,w);

(a) (2 p oints)Donnez le résultat ( u.detu.perepour chaque sommet) de l"algorithmeDijkstra-acyclique sur le graphe suivant.0123455 326
7 4 212
2 Figure3 - Un graphe orienté pondéré acycliquesommet012345 u.d0531075 u.perenil00222 (b) (2 p oints)Donnez la complexité de l"algorithme Dijkstra-acyclique.

Solution:

La complexité du tri top ologiqueest (jSj+jAj)(vu en cours). La complexité de l"initialisation est (jSj)(une boucle pour).

Le nom brede passage dans le tant queestjSj.

Le nom brede passage dans la b ouclein ternepourestjAj.

La complexité totale est donc :(jSj+jAj).Une variante de cet algorithme est utilisable pour calculer les chemins critiques dans un grapheG(S;A;w)

lorsque : Les arcs représen tentles tâc hesà faire. Les p ondérationsrep résententle temps nécessaire p oureffectuer la tâc he.

les arcs a1= (u;v)eta2= (v;w)représentent deux tâches qui doivent être effectuées dans l"ordrea1;a2.

Unchemin critiqueest unplus longchemin dans le graphe, qui correspond au temps maximum requis pour

effectuer une séquence ordonnée de tâches. Le poids d"un chemin critique est une borne inférieure du temps

total nécessaire à l"exécution de toutes les tâches. (c)

(2 p oints)A daptezles algorithmes préc édentsp ourcalculer les c heminscritiques d"un graphe orien té

pondéré acyclique.

Solution:Deux solutions :

Les distance sson tinitialisée sà 1,

InitialisationCheminCritique (G, s ){ // G(S,A,w) oriente pour u dans S faire { u . d < MAXINT; //i n f i n i u . pere RelacherCheminCritique (u , v ,w){ si (v . d < u . d + w(u , v )) alors { v . d tithme normal, puis de nouveau multiplier par1les distances obtenues.(d)(2 p oints)Donnez le résultat ( u.d,u.perepour chaque sommet et le chemin critique) de votre algo-

rithme sur le graphe suivant.0123455 326
7 4 212
2 Figure4 - Un graphe orienté pondéré acycliquesommet012345 u.d057141517 u.perenil01234

Chemin critique :(0;1;2;3;4;5)de longueur17.

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