Devoir surveillé : Trigonométrie
angles associés à ces deux points auront un sinus valant -0,2 ∈]−???? 2;???? 2] veut dire que l’on est dans la partie de droite et donc que le cosinus est positif le seul point convenable est D, mais le voir ne nous donne ni la valeur de avec précision ni celle du cosinus ou de la tangente il faudra passer par une résolution
Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer
différence entre angles géométriques et angles orientés] b) Farceurs, ils donnent RV à Enguerrand π 4 +6π km de l'entrée Enguerrand pique-niquera-t-il avec eux ? [ introduire : Plusieurs mesures pour un même angle notées α+2kπ] c) Une autre façon d'être sûrs de se retrouver est de donner les coordonnées du point de RV
Exercices supplémentaires : Trigonométrie
Convertir en radians les mesures d’angles exprimées en degrés : 60° ;150° ;10° ;12° ;198° ;15° Exercice 2 Dans chacun des cas suivant, donner trois autres réels associés au même point sur le cercle trigonométrique : 1) – 2) 3) 10 4) − Exercice 3
Angles orientés et trigonométrie - Logamathsfr
Cette mesure s'appelle la mesure principale de l'angle orienté (⃗u,⃗v) Exemple 2 Déterminer la mesure principale de l'angle x= 273π 12 Soit α la mesure principale de cet angle Alors, il existe un entier relatif k tel que x=α+k(2π) et −π
Première S - Cosinus et sinus d’un nombre réel
• Les angles de mesures T et – T sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses Par symétrie on en déduit que : cos (- T) = cos T et sin (- T) = -sin T • Les angles de mesures T et è F T sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées Par symétrie on en déduit que : cos ( è F T) = F cos et sin ( è F T) = sin
Progression 1ère S MATHÉMATIQUES
Progression 1ère S MATHÉMATIQUES Mme MAINGUY M ELBAGHLI Maths’X 1ere S – 2015 ISBN : 978-2-278-08084-7 Cosinus et sinus des angles orientés de vecteurs,
TRIGONOMÉTRIE - Maths & tiques
cercle La droite orientée peut en effet s’enrouler plusieurs fois autour du cercle Exemples : - Ci-contre, les points N et P d’abscisses 3π 4 et − 5π 4 correspondent tous les deux au point M En effet : 3π 4 −2π=− 5π 4 - On pourrait poursuivre le processus dans l'autre sens en effectuant deux tours successifs Ainsi, les
1) Repérage sur le cercle trigonométrique
S = ???? + ???????? ; (???? ∈ ℤ ) • Si a =− ???? ( ???? ) alors : sin ???? = -1 a pour ensemble de solutions : S = − ???? + ???????? ; (???? ∈ ℤ ) Exemples : voir cours de 1ère S Equations trigonométriques 5) Formules d’addition Pour tout nombre réel a et b,
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Cosinus et sinus d'un nombre réel
I) Définition
Soit ݔun nombre réel. On considère le cercle trigonométrique (C) et la tangente (d) en I. On
munit (d) d'un repère (I ;ଔԦ ). (voir figure ci-dessous) Par enroulement de la droite (d) sur le cercle (C), M'(1 ; ݔ) a pour image M.Définition :
Les coordonnées du point M sont : (cos࢞ ; sin࢞ ) Les cosinus de ࢞ noté cos ࢞ est l'abscisse du point M. Le sinus de ࢞noté sin࢞ est l'ordonnée du point M.Exemples :
Le nombre గ
a pour image le point J de coordonnées (0 ; 1) donc cos = 1 et sin గLe nombre ߨ
donc cosߨ = -1 et sin ߨII) Propriétés :
Pour tout nombre réel ࢞ et tout nombre entier relatif : • -1 cos ࢞ 1 -1 sin ࢞ 1• cos (࢞࣊) = cos࢞ sin (࢞࣊) = sin࢞
• cos²࢞ + sin²࢞ = 1Démonstration:
• Le périmètre du cercle étant 2ߨ ,݇ tours du cercle correspondent 2݇ߨݔ' =ݔ + 2݇ߨ ( ݇߳Ժ ). D'où cos (ݔʹ݇ߨ ) = cos ݔ et sin (ݔʹ݇ߨ
• Comme cos² ݔ + sin² ݔ = 1 alors -1 cos ݔ 1 et -1 sin ݔ 1
Autre explication : comme cos ݔ et sin ݔ sont les abscisses et les ordonnéesde tout point du cercle trigonométrique alors -1 cos ݔ 1 et -1 sin ݔ 1
Soit M (ݔ ; ݕ) . Dans le triangle OMA rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :OM² = OA² + AM²
AM = OE = sin ݔ
OA = cos ݔ
OM = 1 car sa mesure est le rayon du cercle
(C) on obtient donc :1 = cos² ݔ + sin² ݔ
III) Tableau des valeurs à connaitre
ݔ (radians) 0 ߨ
cosݔ 1 t t 0 -1 sin 0 ͳ t t 1 0 Valeurs usuelles sur le cercle trigonométrique :IV) Cosinus et sinus d'angles orientés
1) Définition :
Soit ࢛,,& et ࢜,,& deux vecteurs. Il existe un réel ࢞ tel que (࢛,,& ; ࢜,,& ) = ࢞.
cos (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = cos࢞ sin (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = sin࢞Exemples
Exemple 1 :
Le plan orienté est muni d'un repère orthonormé direct (O ; ଓԦ ;ଔ ,,&) . Déterminer :Solutions:
Exemple 2 : ABC est un triangle équilatéral.Solution :
ସ (2ߨ 6 sin (െଓ 6ABC est un triangle équilatéral donc :
ଷ (2ߨ ) = cos (- గ ) = sin (- గ 62) Formules trigonométriques
Propriété 1 :
• cos ( -࢞ ) = cos ࢞ • cos (࣊െ࢞) = െ cos࢞ • cos (࣊࢞) = െ cos࢞
sin ( -࢞) = -sin ࢞ sin (࣊െ࢞) = sin࢞ sin (࣊࢞) = െsin࢞
M et N ont la même M et N ont la même M et N ont les abscisse et les ordonnée et les abscisses abscisses et les ordonnées opposées. opposées. ordonnées opposées.Démonstration :
• Les angles de mesures ݔ et -ݔ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Par symétrie
on en déduit que : cos (-ݔ) = cos ݔ et sin (-ݔ) = -sin ݔ