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Corrigé des TD de probabilités
Printemps 2009
Voici quelques corrections, indications et remarques concernant les travaux dirigésdonnés par Rémi Peyre et Frédéric Simon dans le cadre du cours "Probabilités» de Chris-
tophe Sabot pour les élèves de L3 de l"ÉNS Lyon au second semestre 2008/09.Les élèves qui le désirent peuvent suggérer aux chargés de TD leurs propres solutions,
saisies avec L ATEX, à envoyer par e-mail àrpeyre@umpa.ens-lyon.fr. Afin de faciliter le travail de mise en page, merci aux rédacteurs éventuels de respecter les consignes que vous trouverez dans l"annexe à la fin de ce document.Feuille 1 : Théorie de la mesure
Exercice 1
I.1.1.NotonsCla classe de parties deBdéfinie par l"énoncé. On vérifie queCsa-tisfait les propriétés d"une tribu, chaque propriété dérivant de la propriété correspondante
surF. Montrons par exemple la stabilité par réunion dénombrable : soient(Cn)n2?des éléments deC, par définition deCil existe desAndansFtels queCn=An\Bpour toutn. CommeFest une tribu,S nAnest dansF, doncS nCn=S nAn\Best bien un élément deC. I.1.2.Il est immédiat, en revenant aux propriétés caractérisant une tribu, que celles- ci sont stables par intersection, et ce pour n"importe quel type d"intersection. I.1.3.Sur?, la tribu engendrée parf0g;f1g;:::etfngest consituée des parties def0;1;:::;nget de leurs complémentaires dans?. La réunion de toutes les tribus de ce type est donc la classe des parties finies de?et de leurs complémentaires. Or cette classe n"est pas une tribu car elle n"est pas stable par union dénombrable : par exemple, f0g;f2g;f4g;:::sont tous des ensembles finis, mais leur réunion2?n"est ni finie, ni de complémentaire fini.Corrigés des TD de probabilités
Exercice 4
I.4.1.DéfinissonsPncomme donnant la masse1à]0;1=n]et une masse nulle à tous les]1=(i+ 1);1=i]pouri2 f1;:::;n1g. Alors ces mesures sont compatibles, mais aucune probabilité sur(]0;1];F)n"est compatible avec elles, car sinon elle attribuerait une mesure nulle à tous les]1=n;1], donc par réunion croissante une mesure nulle à]0;1] tout entier, ce qui contredit la définition d"une mesure de probabilité.Exercice 7
I.7.1.Non : par exempleS
n2??]n;n+2n[est ouvert et non borné, mais sa mesure estP n>12n= 1. I.7.2.Non :?r?, par exemple, est d"intérieur vide et est de mesure non nulle (son complémentaire est même de mesure nulle). I.7.3.Non : prendre une énumérationq1;q2;:::des rationnels de]0;1[et placer un intervalle de longueur2(i+1)autour de chaqueqi. Alors la réunion de ces intervalles est un ouvert dense (car contenant tous les rationnels), mais dont la mesure est bornée parP i2(i+1)= 1=2.I.7.4.Pourn>1, posons
B n=[ m2?]2 nm;2nm+ 22n[; et définissons par récurrenceA0=?, et pourn>1: A n=An1[Bnsinest impair; A n1rBnsinest pair.On pose alorsA=limAn, càd.A=T
n2?S p>nAp(). LesBnet lesAnsont clairement boréliens, doncAl"est aussi. Nous allons maintenant monter que pour tout intervalle ouvert borné non videI, on a0< (A\I)< (I). Soit donc un telI. En fait, nous allons juste démontrer le membre
de gauche de l"inégalité, sachant que le membre de droite se démontre de la même façon
vu que?rApeut se définir de façon très similaire àA. On observe queIcontient nécessairement un intervalle de la forme]2nm;2nm+ 22n[pournimpair, donc on peut se limiter au cas oùIlui-même est de cette forme. Notonsn0la valeur dunpourlequelIest de la forme souhaitée, alorsAn0\I=I, donc(An0\I) =(I). On(). Les parties d"un ensemble sont (partiellement) ordonnées par la relation, qui vérifie les propriétés
des bornes supérieure et inférieure. La limite supérieure d"une suite de parties est alors la limite décrois-
sante, quand l"indiceicroît, des suprema des parties d"indice au moinsi, et la limite inférieure est définie
de même. En particulier, si une suite de parties d"un ensemble est indexée par?, sa limite supérieure est
l"ensemble des points qui apparaissent dans un nombre infini de termes de la suite, et sa limite inférieure
est l"ensemble des points qui apparaissent dans tous les termes de la suite sauf un nombre fini d"entr"eux.
page 2Corrigés des TD de probabilités
contaste ensuite que, pour toutk2?,(Bn0+2k+1\I) = 22k1(I), or, par définition deA: (A\I)(An0\I)r [ k2?B n0+2k+1\I! d"où(A\I)>(I)=3>0(y). Remarque.Cette question montre qu"il existe des boréliens qui " ne ressemblent pastrop » ni à des ouverts, ni à des fermés. Il existe un résultat qui va dans l"autre sens, qui
est lethéorème de densité de Lebesgue: celui-ci affirme que, siAest un borélien de?, presque-touta2Avérifie(A\]a";a+"[)"!02". Par conséquent, dès lors que ni A, ni?rAne sont de mesure nulle, l"ensemble des quotients(A\I)=(I)possède0 et1comme valeurs d"adhérence. Notamment, il n"existe aucun borélienA?tel que, pour toutIouvert borné non vide, on ait(A\I) =(I)=2. I.7.5.On voit par récurrence queKna pour mesure(1d0)(1d1)(1dn1), doncK, qui est la réunion décroissante desKn, a pour mesure la limite décroissante de ces nombres, i.e.Q n2?(1dn). I.7.6.SoitKun compact comme à la question 5. Pour repérer un point de ce com- pact, on peut commencer par dire s"il est dans l"intervalle de gauche ou de droite deK1, puis si, parmi les deux intervalles deK2issus de cet intervalle, il est dans celui de gauche ou de droite, etc. On définit ainsi une application':K! fgauche;droiteg??. Cette application est injective, car deux points qui sont dans le même intervalle deKnsont nécessairement à distance moins de2nl"un de l"autre. Elle est également surjective, car les intervalles dont lesKnsont constitués sont compacts, et la réunion décroissante de compacts non vide est non vide (z).'est donc une bijection. Maintenant, siK1etK2sont comme dans la question 6,'12'1est une bijection entreK1etK2, qui manifestement est strictement croissante, ce qui montre que c"est un homéomorphisme (x). Ainsi tous les Kobtenus par le procédé de la question 5 sont homéomorphes({). Maintenant, on a l"encadrement1Pdn6Q(1dn)6ePdn(k), donc lesK construits à la question 5 peuvent être de mesure nulle (p. ex. sidn= 1=3pour toutn) ou de mesure non nulle (p. ex. sidn= 2n2). Cela conclut.(y). On a utilisé queP k>022k1= 2=3.(z). Attention : si lesKnavaient été constitués d"intervallesouverts, les éléments defgauche;droiteg??
finissant par une infinité degaucheou une infinité dedroiten"auraientpascorrespondu à un élément deTKn!
(x). C"est un exercice de topologie que de montrer que, si est une bijection strictement croissante entre
deux partiesAetBde?, alors c"est un homéomorphisme. L"idée est de voir que, pour tousa1;a22A,'(]a1;a2[\A) =]'(a1);'(a2)[, et d"en déduire que'est ouverte, et de montrer similairement que'1est
ouverte aussi.({). En fait, toute partie compacte, sans point isolé et totalement discontinue d"un espace Polonais est
homéomorphe à l"ensemble de Cantor (qui est leKqu"on obtient en prenantdn= 1=3pour toutn). (k). On peut en fait montrer queQ(1dn)est nul si et seulement siPdn=1, en utilisant que ln(1x)est équivalent àxau voisinage de0. page 3Corrigés des TD de probabilités
Feuille 2 : Variables aléatoires
Exercice 4
II.4.6.L"idée est de voir que, dans les formules de changement de variables, on a un problème quandf0est nulle. On va donc essayer de construire une fonctionfstrictement croissante dont la dérivée s"annule sur un "gros» ensemble. SoitZun fermé de?d"intérieur vide et de mesure de Lebesgue non nulle : un tel Z, par exemple, a été construit dans l"exercice I.7. (questions 5 et 6). Soitfune fonction continue sur?, positive, et dont l"ensemble des zéros est précisémentZ- prendre par exemple pourfla fonction " distance àZ», et soitFune primitive de f, alorsFest une fonctionC1strictement croissante. Or nous affirmons que la mesure de Lebesgue de F(Z)est nulle : ce résultat est un cas particulier du théorème de Sard, qui en dimension1 affirme que l"image des zéros de la dérivée d"une fonctionC1de?dans?est de mesure nulle (). Pour le voir dans ce cas-là, on peut observer que, siUest un ouvert sur lequel jf0j6", alorsLeb(f(U))6"Leb(U)- simplement en revenant à la définition de la mesure de Lebesgue -, et en déduire que l"image de toute partie bornée deZest de mesure nulle, et donc par réunion dénombrable queZlui-même l"est aussi. Maintenant, siXest une variable aléatoire de densité strictement positive par rapport à la mesure de Lebesgue (par exemple siXsuit une loi de Cauchy), la loi def(X)attribue une mesure non nulle àf(Z), qui est pourtant de mesure de Lebesgue nulle, de sorte que f(X)ne peut pas être à densité.Exercice 5
II.5.1.Pour montrer queF1(U)a pour loi, on va montrer que la loi deF1(U) a pour fonction de répartitionF, i.e. que pour toutx2?: ?(F1(U)6x) =F(x):(1) D"après la définition deF1, "F1(U)6x» est équivalent à "8y > x F(y)>U», et comme iciFest continue à droite cela est finalement équivalent à "U6F(x)». Or, puisqueUest uniforme sur]0;1[, la probabilité de cet événement estF(x), d"où (1). II.5.2.Il suffit de montrer que pour toutp2]0;1[,?(F(X)6p) =p. Puisque est diffuse,Fest continue donc toutp2]0;1[a un antécédent parF. Notonsxple plusgrand de ces antécédents (qui existe bien, car l"ensemble des antécédents depest majoré
et fermé), alors "F(X)6p» est équivalent à "X6xp». Mais commeXa pour loi, la probabilité de cet événement, par définition d"une fonction de répartition, est alors
F(xp), càd.p.(). L"énoncé général du théorème de Sard est que, sifest une fonctionCk(k>1) de?ndans?m
avecn6m+k1, alors l"ensemble desvaleurs critiquesdef, i.e. l"image parfdes points oùDfn"est pas de rang maximal, est de mesure de Lebesgue nulle. page 4Corrigés des TD de probabilités
II.5.3.On va calculerFetF1pour les deux lois de l"énoncé, et alors d"après la question 1 il suffira d"appliquerF1à une variable uniforme sur]0;1[. - Pour la loi exponentielle de paramètre,d?(x) =?x>0exdxd"où en intégrant F(x) = 1expourx>0- etF(x) = 0pourx60-, et doncF1(p) = jln(1p)j=. - En intégrant la densité, on trouve que la fonction de répartition de la loi de Cauchy estF(x) = Arctan(x)=+ 1=2, d"oùF1(p) = tan((p1=2)).Exercice 6
II.6.1.NotonsIk=Rxkd(x)et tentons de calculer lesIk. Déjà, la symétrie de la loinous assure queIk= 0pourkimpair. Pourkpair, on calcule alors en intégrant par parties que :4IkIk+2=12Z
22xk(4x2)3=2dx=32(k+ 1)Z
22xk+2p4x2dx=3k+ 1Ik+2;
d"oùIk+2=4(k+1)k+4Ik. Comme par ailleursI0est1=2fois l"aire d"un demi-cercle de rayon2, soit1(yy), il s"ensuit que pourkpair : I k=41220 (4(k1))468 (k+ 2)=Ck=2 kk 2 + 1: Remarque.D"après l"inégalitéCpn62npour toutp, on voit queIk62kpour toutk. Remarque.Pour`2?, le nombreC`2`=(`+ 1)est toujours entier. Cette famille d"en- tiers, qui interviennent souvent en combinatoire, s"appellent lesnombres de Catalan. II.6.2.Soitune mesure de probabilité sur?à support non compact, alors pour toutM2?+il existe un"M>0tel que(c[M;M])>"M, et par conséquent pour toutk2?: Z x2kd(x)>Z c [M;M]x2kd(x)>M2k(c[M;M])>M2k"M; d"oùlimk!1 R ?x2kd(x)1=2k>M. Cela état valable pour toutM, on a donc : Z x2kd(x)1=2k!k!1+1:(1)
Or pour la mesure:lim
k!1 Z x2kd(x)1=2k62(zz);(yy). Au passage, il est nécessaire queI0vaille1pour quesoit une mesure de probabilité!
page 5Corrigés des TD de probabilités
de sorte qu"une mesure ayant les mêmes moments quene peut pas ne pas être à support compact. II.6.3.Siest une mesure de probabilité portée par[M;M], il est clair queR ?x2kd(x)6M2k, donclim Z x2kd(x)1=2k6M;
ce qui est incompatible avec (1) : ainsi, une mesure ayant les mêmes moments qu"une mesure à support compact est nécessairement à support compact elle aussi. Maintenant, soient1et2deux mesures de probabilité à support compact, soitKun compact portant à la fois1et2, et soit':?!?une fonction continue bornée. Pour tout" >0, le théorème de Stone-Weierstrass nous assure alors l"existence d"un polynômeP"tel que j'(x)P"(x)j6"pour toutx2K. On a donc pouri2 f1;2g: Z '(x)di(x)Z P "(x)di(x)6Z K j'(x)P"(x)jdi(x)6"; d"où Z '(x)di(x) = lim"!0Z P "(x)di(x):(2) Maintenant, si1et2ont les mêmes moments, alors par linéarité de l"intégrale cesdeux mesures attribuent la même intégrale à tout polynôme, donc par (2) à toute fonction
continue bornée, donc elles coïncident. II.6.4.La valeur absolue dea pour densité?x>0jsin(p3x1=3)jex1=3, donc pour toutk>0:Z x kjdj(x)6Z 1 0 xkex1=3<1 puisqueex1=3décroît plus vite que l"inverse de n"importe quel polynôme, en particulier plus vite quex(k+2)par exemple.II.6.5.NotonsJk=R1
0xksin(p3x1=3ex1=3)dx, et tentons de calculer lesJk. On
commence par observer que : J k=ImZ1 0 xke(p3i1)x1=3 En intégrant trois fois par parties, on trouve que Z 1 0 xke(p3i1)x1=3=(p3i1)3(3k+ 3)(3k+ 4)(3k+ 5)Z 1 0 xk+1e(p3i1)x1=3; or(p3i1)3= 82?, de sorte que la déterminationJ0entraînera celle de tous lesJk. Calculons maintenantJ0: un changement de variables montre que : Z 1 0 e(p3i1)x1=3dx= 3Z 1 0y2e(p3i1)ydy;(zz). En fait, quesoit à support compact où non, le membre de gauche de (1) tend en croissant vers
supfM;(c[M;M])>0g. page 6Corrigés des TD de probabilités
ce qui, après deux intégrations par parties, est égal à : 6( p3i1)2Z 1 0 e(p3i1)ydy=6( p3i1)3=34 2?; de sorte queJ0= 0, et doncJk= 0pour toutk2?. II.6.6.Soient+etrespectivement les parties positive et négative de, i.e. les mesures dont les densités sont resp. les parties positive et négative de la densité de, de sorte que+etsont des mesures positives avec+=. Alors le résultat de la question 5 nous dit que+etont les mêmes moments, et d"après la question II.6.4. ces moments sont finis vu que+etsont toutes les deux majorées parjj. Or+et sont des mesures distinctes-et même étrangères. Elles n"ont pas de raison d"être de probabilité,maisellesontlamêmemassetotalepuisqueRd(x) = 0,doncendivisant+ etpar leur masse totale commune on obtient deux mesures de probabilités distinctes ayant tous leurs moments identiques et finis.Exercice 7
II.7.1.SN(p)compte le nombre deXNidans[0;p], or lesXisont indépendants et chacun d"eux a une probabilitépd"être dans[0;p], doncSN(p)suit une binômiale de paramètresNetp- rappelons que cela signifie que ?(SNp=s) =CsNps(1p)Ns: II.7.2.SN(q)SN(p)compte le nombre deXNidans]p;q], donc par le même argument qu"à la question 1 cette variable suit une loi binômiale de paramètresNet qp. II.7.3.L"événement de l"énoncé signifie quen1exactement desXNisont dans p2+p3], etc. Déjà, la probabilité d"avoir "XN1;:::;XNn
12[0;p1]etXNn
1+1;:::;XNn
1+n22 ]p1;p1+p2]et:::etXNNpk+1;:::;XNN2]1pk;1]» vautQk j=1pjnj. Mais en fait ily a plusieurs façons d"obtenir l"événement de l"énoncé, selon l"identité des indices des
X Niqui seront dans chaque intervalle. Comme, pour chaque distribution possible des XNientre les différents intervalles, la probabilité de réalisation est la même, le résultat
sera donc le produit deQk j=1pjnjpar le nombre de façons de diviser un ensemble deN éléments enkparties comportant respectivementn1;:::;nkéléments. Ce nombre est le coefficient multinômialN!=n1!nk!, comme on peut le voir en comptant de deux fa-çons le nombre de manières de répartirNéléments surNplaces numérotées. Finalement
donc, le résultat recherché est : ?[] =N!n1!nk!k
Y j=1p jnj: page 7Corrigés des TD de probabilités
II.7.4.
?[SN(x=N) =s] =CsNxN s 1xN Ns xss!N(N1)(Ns+ 1)N s|{z} !1(1x=N)N |{z} !ex(1x=N)s |{z} !1! N!1x ss!ex:On vérifie que
X s2?x ss!ex=exex= 1; donc il existe bien une loi de probabilité sur?attribuant la massexsex=s!à l"entiers: c"est laloi de Poissonde paramètrex. II.7.5.Pour toutx>0, on a l"égalité entre événements : fNXN(1)6xg=fXN(1)6x=Ng=f9i XNi6x=Ng=fSN(x=N)>1g; donc?(NXN(1)>x)!N!1P s>1s(x) = 10(x) = 1ex, ce qui correspond à la fonction de répartition d"une loi exponentielle de paramètre1. II.7.6.Par le même argument que pour la question II.7.5., on calcule que ?(NXN(s)6x)!N!1X t>s t(x); qui est bien l"expression d"une fonction de répartition puisque cela tend vers1quand x!+1. La loi-limite deNXN(s)a alors pour densité par rapport à la mesure de Le- besgue ddxP t>st(x). Après avoir vérifié, grâce à l"expression explicicte dest(x), qu"il est légitime d"inverser somme et dérivée, on calcule que : ddxX t>s t(x) =X t>s xt1(t1)!exxtt!ex =X t>s1x tt!exX t>sx tt!ex=xs1(s1)!ex: II.7.7.La fait que la loi trouvée à la question II.7.5. soit la loi exponentielle, qui cor- respond au temps écoulé avant qu"un événement se produise dans un processus sans mé- moire, tend à indiquer qu"au voisinage de0, quandNdevient grand, la présence ou l"ab- sence d"un point en un certain endroit n"influe pas sur la présence ou l"absence d"autres points ailleurs. Par conséquent, on devine que la loi-limite deNXN(s)sera la somme de slois exponentielles de paramètre1indépendantes, ce qu"on appelle aussi laloide paramètresset1. Un calcul permet alors de vérifier que c"est bien le cas. Remarque.En fait, on peut rendre rigoureux l"argument informel que nous venons de donner. La loi de l"ensemble desNXN(i), quandN! 1, tend vers ce qu"on appelle leprocessus ponctuel de Poissonsur?+, qui modélise les moments successifs où un événement se produit dans un processus sans mémoire. page 8Corrigés des TD de probabilités
Feuille 3 : Indépendance
Exercice 2
III.2.1SiAdépend des variables aléatoiresXipouri2Iet queBdépend des variables aléatoiresXipouri2Javec etJdisjoints, alors d"après l"exercice précédent AetBappartiennent à des tribus indépendantes et sont donc indépendants. III.2.2SoitA2(X1;:::;Xn). PosonsC=[m>n+1(Xn+1;:::;Xm).C est stable par intersections finies, contient et la tribu engendrée parCcontient (Xn+1;:::). SoitD=fD2(Xn+1;:::)tels que?(A\D) =?(A)?(D)g. Comme dans l"exer- cice précédent,Dest une classe monotone contenantC(d"après la question 1). En ap- pliquant le lemme des classes monotones, on en déduit alors queD=(Xn+1;:::). Puisque la tribu asymptotique est incluse dans(Xn+1;:::), tous les évènements de la tribu asymptotique sont indépendants deA. III.2.3SoitBdans la tribu asymptotique. On a montré dans la question précédente que[n(X1;:::;Xn)(qui est stable par intersection finie et qui contient ) était indépen- dante de la tribu asymptotique. En appliquant encore une fois le lemme des classes mono- tones à la classe monotoneE=fE2(X1;:::)tels que?(B\E) =?(B)?(E)g, on en déduit que([n(X1;:::;Xn)) =(X1;:::) E. Ceci montre donc que(X1;:::) et la tribu asymptotique sont indépendants. III.2.4SoitAdans la tribu asymptotique. Puisque la tribu asymptotique est incluse dans(X1;:::), alors tout évènement de la tribu asymptotique est indépendant de lui même. On a donc?(A\A) =?(A)?(A)ce qui montre que?(A)2 f0;1g.Exercice 3
III.3.1.Par réunion finie il suffit de démontrer que n"importe quel couple de X id"indices distincts, par exempleX1etX2, sont distincts presque-sûrement. Or par le théorème de Fubini?(X1=X2) =R [0;1]?(X2=x)d?(X1=x)()=R [0;1]0d?(X1=x)= 0. Remarque.Le même raisonnement permet de montrer que, siX1etX2sont des va- riables indépendantes - pas forcément i.i.d.- et que la loi deX2est diffuse, alorsX1et X2sont distinctes presque-sûrement.
III.3.2.Puisquene prend qu"un ensemble discret de valeurs, il suffit de montrer que, pour tout2Sn, l"événement "=» est indépendant de(U(1);:::;U(n)).Soient2SnetAun borélien de?n. L"événement "=et(U(1);:::;U(n))2A»(). Attention à bien lire la formule : il n"y a pas de différentielle devant le premier symbole?et il y en
a une devant le second, ce qui signifie qu"on intègre,selon la loi deX1, la variable aléatoire (j"entends par
là "une fonction dex») qui évalue la probabilitéqueX2soit exactement égal à x. page 9