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EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE
DESS IM Evry, option ¯nance
Monique Jeanblanc
Octobre 2005
2Contents
1 Rappels 7
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 91.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 151.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152 Mouvement Brownien 17
172.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2526
2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282.8 Problµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2929
2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3033
3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3940
42
3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443
4CONTENTS
494.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5456
5 Exemples 59
5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5961
5.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
645.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
646 Girsanov 67
676.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
696.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
696.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
756.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
766.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7887
88
92
7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
927.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
937.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
947.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9596
7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
968 Processus µa sauts 99
8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99101
8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102103
103
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1071.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108111
1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1131.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1141.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115115
1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115CONTENTS5
1172.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1212.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1242.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1252.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127127
2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129131
3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1323.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137138
139
3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1423.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142145
4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149151
5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153155
5.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1555.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156159
6.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1606.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1606.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1636.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1636.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165167
168
168
7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1687.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1707.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1707.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171172
6Rappels
8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175177
178