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DESS IM EVRY

Option Finance

Monique Jeanblanc

Septembre 2002

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Existence d'une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Convergence de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Convergence presque s^ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dansL2() . . . . . . . . . . . . 14

1.5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.3 Processus croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.4 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7.5 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.6 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.2 Cas Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.2 Cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10.3 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.11 Rappels d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.11.2 Espace complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 LE MOUVEMENT BROWNIEN 23

2.1 Le mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Une notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.5 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.6 Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.8 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.9 Brownien multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.1 Processus d'Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.2 Modµele de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 INT

3.2.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.4 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.4 Crochet d'un processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Lemme d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Premiµere forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

CONTENTS33.4.4 Cas du Brownien multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.5 Application µa la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 53

4.1.5 Exemple : Martingale exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Problµeme parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.4 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 EXEMPLES DE PROCESSUS D'ITO 61

5.2 Modµele de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 De¯nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.1 Euclidian norm ofn-dimensional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.2 General de¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4.3 Scaling properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4.4 Absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5.1 Additivity of BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5.2 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5.3 Transition densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5.4 Hitting times for Bessel processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5.5 Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.6 Cox-Ingersoll-Ross processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.6.1 CIR processes and BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.6.2 Transition probabilities for a CIR process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.6.3 CIR model for spot rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 CHANGEMENT DE PROBABILIT

6.1.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.5 Cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Application aux modµeles ¯nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.2 Arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.3 Hedging methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.4 Arbitrage et mme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3.4 Valorisation d'une option sur obligation µa coupons . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Hitting Times89

7.1 Hitting Times and Law of the Maximum for Brownian Motion . . . . . . . . . . . 89

7.1.1 Law of the Pair of the Random Variables (Wt;Mt) . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.2 Hitting Time Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1.3 Law of the Supremum of a Brownian Motion over [0;t] . . . . . . . . . . . . 91

7.1.4 Law of the Hitting Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1.5 Law of the In¯mum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.1.6 Laplace Transform of the Hitting Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.2 Hitting Times for a Drifted Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.2.1 Joint Laws of the Pairs (M;X) and (m;X) at Timet. . . . . . . . . . . . 93

7.2.2 Laws of Maximum, Minimum and Hitting Times . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2.3 Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3 Hitting Times for Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3.2 Law of the Pair (Maximum, Minimum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3.3 Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4 Other Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4.1 Vasicek Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4.2 Deterministic Volatility and Non-constant Barrier . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5 Hitting Time of a Two-sided Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5.1 Brownian Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5.2 Drifted Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.1.3 Calcul de Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2.1 De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.2.2 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.2.3 Hedging terminal wealth and consumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.2.4 Comparison theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.2.5 Linear BSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.3 Changement de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.3.1 Inverse d'un changement de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.3.2 Brownien et changement de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.3.3 Application aux Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3.4 Application aux processus d'Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.3.5 Application aux processus de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.3.6 Extended CIR process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3.7 Constant Elasticity of Variance process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.3.8 Pont de Bessel et processus de CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4 Temps local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4.1 Temps d'occupation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4.2 Formule de Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.4.4 Temps local d'une semi-martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.5.2 Excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.5.3 Pont Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.6 Le Brownien Fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.6.1 Self-similar processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.6.2 De¯nition of fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9 Appendix123

9.1 Gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.2 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.3 Parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.4 Airy function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.5 Whittaker functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Begin at the beginning, and go on till you come to the end. Then, stop.

L. Caroll, Alice's Adventures in Wonderland

6CONTENTS

Chapter 1 Pitman, Jacod et Protter, Sinai.

1.1 Tribu

explicitement cet espace. Dans la plupart des cas, la structure de n'a pas de r^ole µa jouer. Par

Nous n'aborderons pas ces problµemes ici (Voir Breiman [?]). On pourra regarder le paragraphe concernant l'existence d'une v.a. (voir ci-dessous) pour une approche du problµeme. Une tribu (¾-algebra en Anglais) surest une famille de parties de, con-

Une tribu contient donc l'espace .

Un espace mesurable est un espace muni d'une tribu.

Proposition 1.1.1

Une intersection de tribus est une tribu.

SoitFune tribu. Une sous-tribu deFest une tribuGtelle queG ½ F, soitA2 Gimplique A2 F. La plus petite tribu contenant une famille d'ensembles est l'intersection de toutes les tribus qui

Exemple 1.1.1

1 Give us the tools, and we will ¯nish the work. Winston Churchill, February 9, 1941. 7

Voir Neveu [?].

Soit(;F)et(E;E)deux espaces mesurables. Une applicationfdedansE est dite(F;E)mesurable sif¡1(A)2 F;8A2 E, oµu f

¡1(A)def=f!2jf(!)2Ag:

B une application mesurable de(;F)dansIR( donc telle queX¡1(A)2 F;8A2 BIR). Une constante est une v.a. de m^eme qu'une fonction indicatrice d'ensemble de la tribuF.

Proposition 1.1.2

G-mesurable.

Une v.a.Gmesurable est limite croissante de v.a. du typenX i=1a i11AiavecAi2 G. Une fonction nX i=1a i11AioµuAiest un intervalle. tenant cette famille, on la note¾(A). Elle est l'intersection de toutes les tribus contenantA. tribu contenant les deux tribusF1etF2. La tribu¾(X) est contenue dansF. C'est la plus petite tribu sur rendantXmesurable.

Une v.a.r.XestG-mesurable si¾(X)½ G.

la plus petite tribu contenant les ensemblesfX¡1t(A)gpour toutt2[0;T]etA2 BIR. On la note

¾(Xt;t·T).

August 13, 20039

a)P() = 1; b)P([1n=0An) =P1 n=0P(An) pour desAnappartenant µaFdeux µa deux disjoints.

Notation:P(A) =R

AdP=R par 11

A(!) = 1 si!2Aet 11A(!) = 0 si! =2A.

On aP(A) +P(Ac) = 1 pour toutAappartenant µaF.

SiA½B, alorsP(A)·P(B) etP(B) =P(A) +P(B¡A), oµuB¡A=B\Ac. A n+1(resp.An¾An+1), et siA=[nAn(resp.A=\nAn) alorsAappartient µaFet

P(A) = limP(An).

pour toutA2 C, oµuCest une famille stable par intersection ¯nie et engendrantF. AlorsP=Q surF. deC(c'est-µa-dire de montrer que siC12 C;C22 C, l'intersectionC1\C2appartient µaC). Un espace (;F;P) est dit complet s'il contient tous les ensemblesGtels que inffP(F) :F2

F;G½Fg= 0.

P surIRparF(x) =P(X·x).

Af(x)dx. En particulierP(X2[a;b]) =Rb

af(x)dx. sont deux v.a. telles queP(X·a) =P(Y·a);8a2IR, alorsXetYont m^eme loi, ce que l'on noteraXloi=Y.

1.3.1 Existence d'une v.a.

gaussienne. SoitP(d!) =1 p

2¼exp¡!2

2 F

X(x) =P(X < x) =Z

11 !¡11 p

2¼exp¡!2

2 d! :

D'o'uXest une v.a. Gaussienne.

autre espace: soit = telle que la v.a. soit de loi gaussienne et on poseP=P1P2. Si on souhaite construire une v.a. de loi exponentielle, on choisit =IR+.

XdPque l'on noteE(X)

pas exister. XdP=R

IRxdPX(x).

E(©(X)) =Z

©(X)dP=Z

©(x)dPX(x):

IRxf(x)dxetE(©(X)) =R

IR©(x)f(x)dx.

fonctions de la formee¸x;¸2IRpour avoirXloi=Y. la fonction

Ã(t) =E(eitX) =Z

IR eitxPX(dx):

IReitxf(x)dx. La fonction

la formule d'inversion f(x) =1

2¼Z

1 ¡1 e¡itxÁ(t)dt

August 13, 200311

variable. Mais dans ce cas il n'y a pas de formule d'inversion simple. Pour conna^³tre la loi d'un

couple (X;Y), il su±t de conna^³treE(exp(¸X+¹Y)) pourtoutcouple (¸;¹). Lorsque la v.a.X

Exemple 1.3.1

Exemple fondamental;SiXest une variable gaussienne de loiN(m;¾2), on aE(e¸X) = exp(¸m+¸2¾2 2

Proposition 1.3.1

variable, c'est µa dire

E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y);

©(E(X)).

jXij¸ajXijdP!0 quand a! 1.

P(A\B) =P(A)P(B);8A2 F1;8B2 F2:

8A2 C1;8B2 C2oµuCiest une famille stable par intersection telle que¾(Ci) =Fi.

Proposition 1.3.2

PfA\(X·x)g=P(A)P(X·x);8x2IR;8A2 G:

Proposition 1.3.3

E('(X;Y)) =E(f(X)) =E(g(Y));avecf(x) =E('(x;Y)); g(y) =E('(X;y))

Proposition 1.3.4

c'est-µa-dire siP(\1·i·nAi) =Q

P(A) = 0()Q(A) = 0:

AY dP.

dQ dP suivante: E

Q(Z) =Z

ZdQ=Z ZdQ dP dP=Z

ZY dP=EP(ZY)

On a aussi

dP dQ =1 Y SiYest seulement positive, on aP(A) = 0 =)Q(A) = 0 et on dit queQest absolument continue par rapport µaP.

Exemple 1.3.2

P(U= 0) = 1¡p; P(U= 1) =p:

1;¸;¹ >0. SoitdQ=Y dP, on aQ(U= 1) =¸p. SousQ,Uest une variable de Bernoulli de

paramµetre¸p.

2. SiXest une v.a. de loiN(m;¾2) sousPet soitY= expfh(X¡m)¡1

2 h2¾2g. Soit dQ=Y dP. SousQ,Xest une v.a. de loiN(m+h¾2;¾2). exp[¸(m+h¾2) +¸2¾2 2 ]2.

3. SoitXest un vecteur gaussien sousPetUune variable telle que le vesteur (X;U) soit

gaussien. On posedQ=Y dPavecY= exp(U¡EP(U)¡1 2

VarPU), le vecteurXest gaussien

sousQ, de m^eme covariance que sousP.

August 13, 200313

1.4 Variables gaussiennes

N(m;¾2)(x) =1

2¼exp¡(x¡m)2

2¾2:

On considµere qu'une v.a. constante suit une loi gaussienne de variance nulle, ce qui correspond IR

¡ = [¾i;j]i=1;n;j=1;n

Proposition 1.4.1

E(e¸X) = exp(¸m+¸2¾2

2 2 ), la variableXest de loiN(m;¾2).

1.5 Convergence de v.a.

On distingue plusieurs types de convergence:

1.5.1 Convergence presque s^ure

X n(!)!X(!) quandn! 1:

On noteXnp:s:!X

on aXnQ:p:s:!X. X n·Xn+1) et siX= limp:s:Xn, on aE(X) = limE(Xn) . E(X). 1 n P n i=1Xiconverge p.s. versE(X1). 2

1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dansL2()

On notekXk2def=s

X2dP=p

quadratique (dansL2()) versXsi (kXn¡Xk2)2=E(Xn¡X)2!0 quandn! 1: L'espaceL2() est un espace de Hilbert muni du produit scalairehX;Yi=R

XY dP. En

particulier, il est complet. Si une suite converge dansL2, il existe une sous-suite qui converge p.s. 1 n P n i=1Xiconverge en moyenne quadratique versE(X1). Si une suite de v.a. gaussiennes converge en moyenne quadratique, la limite est une variable gaussienne. jXjpdP=E(jXjp). On X ndansLpconverge s'il existeXtel queE(Xn¡X)p!0. La convergence dansLppourp >1 implique la convergence dansLqpour toutq;1< q < p.

8² >0P(jXn¡Xj ¸²)!0 quandn! 1:

On noteXnP!X.

1.5.4 Convergence en loi

X net ª celle deX.

August 13, 200315

P n i=1Xi¡nE(X1) p n

L!N(0;1):

1.6 Processus stochastiques

1.6.1 Filtration

Une ¯ltration est une famille croissante de sous tribus deF, c'est-µa-dire telle queFt½ Fspour toutt·s.

On parle d'hypothµeses habituelles si

- La ¯ltration est continue µa droite au sens oµuFt=\s>tFs. Une ¯ltrationGest dite plus grosse queFsiFt½ Gt;8t.

1.6.2 Processus

¯ltrationFt) siXtestFt-mesurable pour toutt.

On dit que le processus est µa trajectoires continues (ou est continu) si les applicationst!Xt(!) sont continues pour presque tout!.

Un processus est dit cµadlµag (continu µa droite, pourvu de limites µa gauche) si ses trajectoires sont

A un processus stochastiqueXon associe sa ¯ltration naturelleFXt, c'est µa dire la famille croissante de tribusFXt=¾fXs;s·tg. ]s;t]£A;0·s·t; A2 Fs: (Xt1;Xt2;:::;Xtn)loi= (Yt1;Yt2;:::;Ytn). 3

1.6.3 Processus croissant

Un processusA= (At; t¸0) est un processus croissant siA0= 0 ett!Atest une fonction croissante, c'est-µa-dire A t(!)·As(!);8t·s;p:s: Sauf mention du contraire, les processus croissants sont pris continus µa droite. sup t iX ijVti+1¡Vtij ·K ; Un processusV= (Vt; t¸0) est dit µavariation ¯niesur [0;t] si sup t iX ijVti+1¡Vtij<1;

1.6.4 Processus Gaussiens

8n;8ti;1·i·n;8ai;nX

i=1a iXtiest une v.a.r. gaussienne:

1.7.1 Cas discret

nelle deAquandBparP(AjB) =P(A\B)

P(B), pour toutBtel queP(B)6= 0.

Q(X) =X

jx jQ(X=xj) =X jx jP(X=xj\B) P(B): B11X=xjdP(oµu 11X=xjest la fonction qui vaut 1 si!2(X=xj) c'est-µa-dire siX(!) =xj) et en remarquant queP jxj11X=xj=Xon a : X jx jP(X=xj\B)

P(B)=1

P(B)Z B XdP; ce que l'on peut lire Z B E

Q(X)dP=EQ(X)P(B) =Z

B XdP: Z D

E(XjB)dP=Z

D XdP SoientXetYdeux v.a. µa valeurs dans (x1;x2;:::;xn) (resp (y1;:::;yd)), telles que8i;P(Y= y rapport µa cette loi par

E(XjY=yi) =X

jx jP(X=xjjY=yi) =X jx j¹(xj;yi) =1

P(Y=yi)Z

Y=yiXdP:

X iP(Y=yi)E(XjY=yi) =X iP(Y=yi)ª(yi) =E(ª(Y)) =E(E(XjY)) =E(X) a) ª(Y) estY-mesurable, b)E(©(Y)X) =E(©(Y)ª(Y)) pour toute fonction ©. yi:) a.G-mesurable b. telle queR

AE(XjG)dP=R

AXdP;8A2 G.

E[E(XjG)Y] =E(XY)

qui minimiseE[(X¡Y)2] parmi les v.a.Y,Gmesurables. a) c'est une variable¾(Y) mesurable b)R

AE(XjY)dP=R

AXdP8A2¾(Y):

Y2BE(XjY)dP=R

Y2BXdPpour toutB2 B.

b')R

BE(XjY=y)dPY(y) =R

IR£BxdPX;Y(x;y)8B2 BIR:

b) Croissance. SoitXetYdeux v. a. telles queX·Y. AlorsE(XjG)·E(YjG): c)E[E(XjG)] =E(X): d) SiXestG-mesurable,E(XjG) =X. e) SiYestG-mesurable,E(XYjG) =Y E(XjG). h) SiGetHsont deux tribus telles queH ½ GalorsE(XjH) =E(E(XjH)jG) =E(E(XjG)jH).

On note souventE(E(XjH)jG) =E(XjH jG)

pour obtenir la v.a. ª(Y).quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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