Introduction au calcul stochastique appliqué à la ﬁnance

INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE Nadine GUILLOTIN-PLANTARD 13 novembre 2009 Table des mati eres 1 Processus stochastiques 3 1 1 Processus stochastiques

Introduction au calcul stochastique appliqué à la ﬁnance

10 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE – le prix d’exercice, qui est le prix (ﬁxé d’avance) auquel se fait la transaction en cas d’exer-cice de l’option L’option, elle même, a un prix, appelé la prime Lorsque l’option est cotée sur un marché or-ganisé, la prime est donnée par le marché

1 Introduction, but du cours, rappels

ELEMENTS DE CALCUL STOCHASTIQUE APPLICATIONS AUX FINANCES 1 Introduction, but du cours, rappels Les applications en ﬁnance sont, pour ce cours, un peu un pr´etexte a l’introduction des bases du calcul stochastique De fait, ainsi que l’indique le plan, elles n’occuperont gu`ere plus que le quart du cours

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE

Master of Financial Engineering : Stochastic Calculus with

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Calcul stochastique et modèles de diffusions

Ce livre est une introduction au calcul stochastique et aux processus de diffusion Les diffusions sont des fonctions aléatoires, qui sont très utilisées en physique, chimie, biologie, statistique et en ﬁnance Leur nature même en fait un outil de modélisation formidable : elle permet de capter des dynamiques instantanées entachées d

Calcul Stochastique et modèles de diffusions

VIII Calcul stochastique et modèles de diffusions CHAPITRE14•SIMULATION DE DIFFUSIONS, EXERCICES 14 1 Introduction à Matlab 297 14 2 Simulation d’un mouvement brownien 300 14 3 Fonction de répartition du maximum d’un pont brownien 304 14 4 Simulation d’une diffusion 307 CHAPITRE15•PROBLÈMES CORRIGÉS 15 1 Équation de Smoluchowski 313

Topics in Analysis: Introduction to stochastic integration

\Introduction to stochastic integration" by Hui-Hsiung Kuo, Springer (Universitext Series), 2006 (If you read French ) \Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique" by Jean-Francois Le Gall, Springer, 2013 These are two nice little books, which also have the advantage of being available online at the university library

The Feynman integral and Feynmans operational calculus : a

introduction to Feynman s operational calculus for noncommuting operators [Fe2] Then, in Section 2, to give a very brief discussion of a mathematical approach to this calculus, as developed originally by G W Johnson and the author by means lResearch partially supported by the US National Science Foundation

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Introductionaucalculstochastique

appliquéàlafinance

DamienLambertonBernardLapeyre

Avant-Propos

nousaétéinspiréparMarcYOR). lessignaler.

DamienLambertonetBernardLapeyre.

Tabledesmatières

Introduction9

1Modèlesdiscrets13

6TABLEDESMATIÈRES

4ModèledeBlacketScholes67

6Modèlesdetauxd'intérêt117

TABLEDESMATIÈRES7

7Modèlesd'actifsavecsauts133

Appendice161

Bibliographie167

Introduction

mine:laloidelaprobabilité. méthodesdecalcul.

1Leproblèmedesoptions

d'uneobligation,d'unedeviseetc. cicedel'option. (ST-K)+=max(ST-K;0): etdeuxquestionsseposent: pricing.

àuntauxconstantr.

deparitécall-put": C t-Pt=St-Ke-r(T-t): sansrisquesionavait,parexemple: C t-Pt>St-Ke-r(T-t): t,unprofitnetégalà C t-Pt-St:

INTRODUCTION11

P t-St)>0. d'arbitrage. lesmarchésoùiln'yapasd'arbitrage.

4Plandulivre

:cesquestionsfontl'objetduchapitre5. desmarchés. auxseptpremierschapitresde[Bou86]).

5Remerciements

CERMA,enparticulierO.ChateauetG.Caplain.

Chapitre1

Modèlesdiscrets

1Leformalismedesmodèlesdiscrets

1.1Lesactifsfinanciers

;F;P), F desoptions.

OnsupposeradanslasuitequeF0=f;;

g,FN=F=P( )et8!2

P(f!g)>0.

donnéspardesvariablesaléatoiresS0 n;S1 n;:::;Sd descoursfuturs).LevecteurSn=(S0 n;S1 n;:::;Sd

0=1.Siletauxd'intérêt

n=(1+r)n.Le coefficientn=1=S0 appelésactifs"àrisques".

1.2Lesstratégies

cret)aléatoire=0 n;1 n;:::;d n lesquantités0 n;1 n;:::;d d'êtreprévisibleausenssuivant:

8i2f0;1;:::;dg8

0estF0-mesurable

et,pourn1: i nestFn-1-mesurable. 0 n;1 n;:::;d n; descotationsàladaten. V n()=n:Sn=dX i=0 i nSi n; oùn=1=S0 net˜Sn=(1;nS1 n;:::;nSd n)estlevecteurdesprixactualisés. f0;1;:::;N-1g: n:Sn=n+1:Sn: coursS0 n,...,Sd particulier,iln'yapasdeconsommation). n+1:(Sn+1-Sn)=n+1:Sn+1-n:Sn; ouencoreà V n+1()-Vn()=n+1:(Sn+1-Sn): sées. i)Lastratégieestautofinancée. ii)Pourtoutn2f1;:::;Ng, V n()=V0()+nX j=1 jSj; oùSjestlevecteurSj-Sj-1. iii)Pourtoutn2f1;:::;Ng,

Vn()=V0()+nX

j=1 j˜Sj;

Ch.1MODÈLESDISCRETS15

processus1 n;:::;d n dufaitque˜S0 n;:::;d n

0nNetpourtoutevariable

V n

0nNtelquelastratégie

Vn()=0

n+1 n˜S1 n++d n˜Sd n =V0+nX j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd j

Cequidétermine0

partirdel'égalité: 0 n=V0+n-1X j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd j+1 n-˜S1 n-1++d n-˜Sd n-1

1.3Stratégiesadmissiblesetarbitrage

n.Direque0 n<0, quei toutn2f0;1;:::;Ng. delafaçonsuivante: devaleurfinalenonnulle.

2Martingalesetarbitrages

principalespropriétésdecetoutil. ;F;P),avecF=P( et8!2 f;; toutn,XnestFn-mesurable. n)0nNdel'actifiestunemartingalerevient fairedeSi n.

E(Mn+jjFn)=Mn8j0

n1,HnestFn-1mesurable. par: X

0=H0M0

X n=H0M0+H1M1++HnMnpourn1 estunemartingaleparrapportà(Fn)0nN.

Ch.1MODÈLESDISCRETS17

E(Xn+1-XnjFn)

=E(Hn+1(Mn+1-Mn)jFn) =Hn+1E(Mn+1-MnjFn)carHn+1estFn-mesurable =0:

D'où:

E(Xn+1jFn)=E(XnjFn)=Xn

cequiprouveque(Xn)estunemartingale. suite. E 0 @NX n=1H nMn1 A=0 n=1HnMn,pourtoutesuiteprévisible n=1HnMn=0 donne:

E(1A(Mj+1-Mj))=0

etparconséquentE(Mj+1jFj)=Mj.

2.2Marchésfinanciersviables

Démonstration:

proposition1.2:

Vn()=V0()+nX

j=1 j:˜Sj: P ,P(f!g)>0. amêmeespérancesousPqueV0(): E

˜VN()=E˜V0():

admissibleona:V0()=0)˜VN()=2. b1)Atoutprocessusprévisible(1 n;:::;d n),onassocieleprocessusdéfinipar:

Gn()=nX

j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd j: quantitésd'actifsrisqués1 n,...,d (0 n)telquelastratégie((0 n;1 n;:::;d

GN()=2:

l'entiern=sup kjP˜Gk()<0>0 .Ona: nN-1;P˜Gn()<0>0et8m>n˜Gm()0:

Ondéfinitalorsunnouveauprocessus enposant:

j(!)=0sijn 1

A(!)j(!)sij>n

mesurableonvoitque estaussiprévisible.D'autrepart:

Gj( )=0sijn

A˜Gj()-˜Gn()sij>n

Alors,onvoitque˜Gj( )0pourtoutj2f0;:::;Ngetque˜GN( )>0surAcequi detouteslesvariables aléatoiresréellesdéfiniessur leconvexecompactK=fX2jP telque:

Ch.1MODÈLESDISCRETS19

1.8X2K;X

!(!)X(!)>0

2.Pourtoutprévisible:X

!(!)˜GN()(!)=0 ,desortequelaprobabilitéP définiepar: P (f!g)=(!) P 02 (!0) estéquivalenteàP. E 0 @NX j=1 j˜Sj1 A=0: n),

àvaleursréelles,ona:

E 0 @NX j=1 i j˜Si j1 A=0; n);:::;(˜Sd n)sont desmartingales.

3.1Marchéscomplets

h=S1 N-K

K:h=K-S1

N P couverture.

Démonstration:

h S0

N=˜VN()=V0()+NX

j=1 j:˜Sj: E i˜VN()=Ei(V0())=V0(); g.Onadonc: E 1 h S0 N! =E2 hS0 N! U 0+NX n=1 n:˜Sn;(1.1) avecU0F0-mesurableet1 n;:::;d n nn'appartientpasà˜V.˜V ;F).

Ch.1MODÈLESDISCRETS21

Posonsalors:

P (f!g)=

1+X(!)

2kXk1!

P (f!g) oùkXk1=sup!2

àP,etdistinctedeP.Onadeplus

E 0 @NX n=1 n:˜Sn1 A=0 pourtoutprocessusprévisible1 n;:::;d n que(˜Sn)0nNestuneP-martingale. complets direvérifiant: V

N()=h:

Lasuite˜Vn

V 0()=E h S0 N etplusgénéralement V n()=S0 nE h S0 NjFn! ;n=0;1;:::;N: richessehàl'instantN. E h S0 N! ;F)etla unitéd'actif1auprixd'exerciceK,Zn=S1 n-K +;danslecasd'unputaméricain,Zn=K-S1 n finaleZN,c'est-à-direS0

[PDF] Introduction au calcul stochastique appliqué à la ﬁnance

Introductionaucalculstochastique

DamienLambertonBernardLapeyre

Avant-Propos

DamienLambertonetBernardLapeyre.

Tabledesmatières

Introduction9

1Modèlesdiscrets13

6TABLEDESMATIÈRES

4ModèledeBlacketScholes67

6Modèlesdetauxd'intérêt117

TABLEDESMATIÈRES7

7Modèlesd'actifsavecsauts133

Appendice161

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Introduction

1Leproblèmedesoptions

àuntauxconstantr.

INTRODUCTION11

4Plandulivre

5Remerciements

CERMA,enparticulierO.ChateauetG.Caplain.

Chapitre1

Modèlesdiscrets

1Leformalismedesmodèlesdiscrets

1.1Lesactifsfinanciers

OnsupposeradanslasuitequeF0=f;;

P(f!g)>0.

0=1.Siletauxd'intérêt

1.2Lesstratégies

8i2f0;1;:::;dg8

0estF0-mesurable

Vn()=V0()+nX

Ch.1MODÈLESDISCRETS15

0nNetpourtoutevariable

0nNtelquelastratégie

Vn()=0

Cequidétermine0

1.3Stratégiesadmissiblesetarbitrage

2Martingalesetarbitrages

E(Mn+jjFn)=Mn8j0

0=H0M0

Ch.1MODÈLESDISCRETS17

E(Xn+1-XnjFn)

D'où:

E(Xn+1jFn)=E(XnjFn)=Xn

E(1A(Mj+1-Mj))=0

2.2Marchésfinanciersviables

Démonstration:

Vn()=V0()+nX

˜VN()=E˜V0():

Gn()=nX

GN()=2:

Ondéfinitalorsunnouveauprocessus enposant:

A(!)j(!)sij>n

Gj( )=0sijn

A˜Gj()-˜Gn()sij>n

Ch.1MODÈLESDISCRETS19

1.8X2K;X

2.Pourtoutprévisible:X

àvaleursréelles,ona:

3.1Marchéscomplets

K:h=K-S1

Démonstration:

N=˜VN()=V0()+NX

Ch.1MODÈLESDISCRETS21

Posonsalors:

1+X(!)

2kXk1!

àP,etdistinctedeP.Onadeplus

N()=h:

Lasuite˜Vn

N-1E˜ZNjFN-1,avec˜ZN=ZN=S0

N.Ilestdoncnatureldeprendre

N-1=maxZ

N-1;S0

N-1E˜ZN

Fn-1!!