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de C c'est a dire (ln(C(t)))' ) En deduire l'elasticité de C par rapport&
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L'estimation d'un modèle sous forme logarithmique permet d'obtenir une
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Introduction à l"Econométrie
Rémi Yin Licence 3 Economieoo
Interpréter les coefficients d"une régression linéairePour des raisons pédagogiques, nous utiliserons une application de la régression linéaire par
moindres carrés afin d"apprendre à interpréter les coefficients d"un modèle. Considérons l"exemple
très classique dans lequel nous voudrions estimer l"impact du nombre d"années d"études d"un individu
sur son salaire. Nous disposons de données en coupe (ie. l"unité d"observation est individuelle) avecN
observations et nous avons comme variables : Sal i: le salaire de l"individui Educ i: le nombre d"années d"études de l"individui Age i: l"âge de l"individu Sexe i: le sexe de l"individu1Modèle niveau-niveau Considérons le modèle linéaire suivant estimé par moindres carrés : Sal i=β0+β1Educi+β2Agei+β3Sexei+εi?i? {1;N}(1)Avecεile terme d"erreur.
Dans l"équation (1), le coefficientβ1s"interprète comme l"effet marginald"une année supplémentaire
d"étudesEducisur le salaireSali. Elle correspond à la variation deβ1unités du salaire de l"individu
induite par la variation d"une unité du niveau d"étudestoutes choses égales par ailleurs1, c"est-à-dire
en prenant en compte l"âge et le sexe de l"individu. Formellement, il s"agit de la dérivée partielle. En
effet : ∂Sal i∂Educ i=∂?β0+β1Educi+β2Agei+β3Sexei+εi?∂Educ i ∂Sali∂Educ i=β1(2)2Modèle log-log
Considérons le même modèle que précédemment mais dans lequel la variable dépendanteSaliet la
variable indépendanteEducisont exprimées en logarithme : ln(Sal)i=β0+β1ln(Educ)i+β2Agei+β3Sexei+εi?i? {1;N}(3)Avecεile terme d"erreur.
Pour savoir comment interpréter le coefficientβ1, il suffit d"étudier comme précédemment la dérivée
partielle deSalipar rapport àEduci. Pour ce faire, nous pouvons réécrire l"équation (3) en réalisant
une transformation exponentielle : Sal i=eβ0+β1ln(Educ)i+β2Agei+β3Sexei+εi =eβ1ln(Educ)ieβ0+β2Agei+β3Sexei+εi=Educβ1ieβ0+β2Agei+β3Sexei+εi1. Vous pouvez éventuellement être pédant et utiliser la locution latine : ceteris paribus sic stantibus.
1 Introduction à l"Econométrie Licence 3 Economie Nous pouvons ensuite dériverSalipar rapport àEduci: ∂Sal i∂Educ i=∂?Educβ1ieβ0+β2Agei+β3Sexei+εi?∂Educ i ∂Sali∂Educ i=β1Educβ1-1 ieβ0+β2Agei+β3Sexei+εi ∂Sali∂Educ i=β1Educβ1ieβ0+β2Agei+β3Sexei+εiEduc i ∂Sali∂Educ i=β1SaliEduc iEn isolantβ1, on obtient :
1=Educi∂Educ
i∂Sal iSal i(4)On reconnaît donc bien ici uneélasticité. Elle peut être interprétée comme le changement deβ1%du
salaire induite par un changement du nombre d"années d"études d"un pourcent, toutes choses égales
par ailleurs. Notons qu"il convient de parler d"élasticité partielle puisque la régression prend en compte
le sexe et l"âge de l"individu.3Modèle Log-niveau Considérons le modèle de régression avec la variable dépendanteSalien logarithme : ln(Sal)i=β0+β1Educi+β2Agei+β3Sexei+εi+εi?i? {1;N}(5)Avecεile terme d"erreur.
De la même manière, on réalise une transformation exponentielle de l"équation (5) : Sal i=eβ0+β1Educi+β2Agei+β3Sexei+εi ?Sali=eβ1Educieβ0++β2Agei+β3Sexei+εiOn dérive ensuiteSalipar rapport àEduci:
∂Sal i∂Educ i=β1eβ1Educieβ0+β2Agei+β3Sexei+εi ∂Sali∂Educ i=β1SaliIsolonsβ1:
1=∂Sali∂Educ
iSaliMultiplions par 100 l"équation :
100×β1=100∂SaliSal
i∂Educ i=%ΔSali∂Educ i(6) Ainsi, on peut interpréter100×β1commele changement en pourcentage du salaire lorsquele niveau d"études augmente d"une unité, toutes choses égales par ailleurs : lorsque le niveau
d"études augmente d"une unité, le salaire augmente donc de100×β1à âge et sexe fixés.
2Introduction à l"Econométrie
Rémi Yin Licence 3 Economie4Modèle niveau-logEnfin, considérons le cas où cette fois-ci la variable dépendante est en niveau et la variable indépendante
est en logarithme : Sal i=β0+β1ln(Educ)i+β2Agei+β3Sexei+εi?i? {1;N}(7)Avecεile terme d"erreur.
DérivonsSalipar rapport àEduci:
∂Sal i∂Educ i=β1Educ i ?β1=∂Sali∂Educ iEduc i Divisons par 100 de part et d"autre l"équation : 1100=∂Sali100∂EduciEduc i=∂Sali%ΔEduci(8)