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CORRECTION DES EXERCICES DE MECANIQUE
Exercice 1 :
· système : barre AB
· Bilan des forces :
Þ Poidsr P : P = m g = 15 N
Þ Tension du ressort :r T
T = k . Dl = k . (l - lo) = 20 (0,43 - 0,18) Þ T = 5 NÞ Réaction de l'axe en A : rRA :
appliquée en A , dirigée selon la tige (forces concourantes : G est le point de concourance) sens : globalement vers le haut· Le système est en équilibre :
SS rr F = rr 00 et SSalg MM/axe/axe = 0 = 0 r P + r T + rRA = r 0 · Résolution graphique : comme S r F = r 0 les trois forces mises bout à bout forment un triangle rectangle :RA = P
2 + F2 Þ RA = 15,8 N
Et tan a = F
P = 515 Þ a a = 18°
Exercice 2 :
· système : porte
· Bilan des forces :
Þ Poidsr P : P = m g = 500 N
Þ Réaction en A : rRA ,appliquée en A, horizontale et vers la gauche Þ Réaction en B : rRB : appliquée en B , dirigée vers le point de concourance K (intersection de r P et rRA) et orientée globalement vers le haut : de B vers K avec tan a = b2a Þ a = 12°
· Le système est en équilibre :
SS rr F = rr 00 et SSalg MM//axeaxe = 0 = 0 r P + rRA + rRB = r 0 · Résolution graphique : comme S r F = r 0 les trois forces mises bout bout forment un triangle rectangle : aa 2 tan a = RAP Þ RA = P . tan a = P . b
2aÞ RA == 106 N
RB = R
A2 + P2 Þ RB = 511 N
Autre méthode : utiliser SSalg MM/axe/axe = 0 = 0 On choisit l'axe en B pour éliminer le moment de rRB . Le sens de rotation choisi est le sens trigonométrique :Donc - P . b
2 + R
A . a + 0 = 0 Þ RA = P . b
2a == 106 N
Puis R
B est calculée comme précédemment.
Exercice 3 :
AB = CD = EF = a BC = CE = 2a
· système : potence
· Bilan des forces :
Þ Poidsr P : négligeable
Þ Tension du câble :r T
T = M . g = 2000 N
Þ Réaction en D : rRD
appliquée en D, horizontale et vers la gauche Þ Réaction en A : rRA : appliquée en A , dirigée vers le point de concourance K (intersection de r T et rRD) et de sens globalement vers le haut : de A vers K · Le système est en équilibre : SS rr F = rr 00 et SSalg MM/axe/axe = 0 = 0 On choisit l'axe en A et comme sens de rotation le sens trigonométrique, ce qui donne : - T . CF + RD . AD + 0 = 0Þ - T . 3a + RD . 4a = 0
Donc R
D = 3a
4a . T Þ RD = 3
4 . T
Þ RD = 1500 N
Puis comme S r F = r 0 les trois forces mises bout à bout forment un triangle rectangle : RA = T
2 + RD2 Þ RA = 2500 N
K + 3Exercice 4 :
1. Roue en équilibre ou non ?
· système : roue
· Bilan des forces :
Þ Poidsr P :
Þ Réaction de l'axe en O :r R
Þ Tension du fil en A1 : rT1 T1 = m1 g = 2 N Þ Tension du fil en A2 : rT2 T2 = m2 g = 0,5 N· Le système est-il en équilibre ?
On calcule S Salg MM/O/O : :
Le sens de rotation choisi est le sens trigonométrique S alg M/O = MP/O + MR/O + MT1/O + MT2/O = 0 + 0 + T1 . OA1 - T2 . OA2 = + 2 . 0,25 - 0,5 . 0,30 = + 0,35 N.m Conclusion : la roue tourne dans le sens positif choisi 2. Pour que la roue soit en, équilibre, le moment de la force F appliquée au point B doit avoir une valeur négative et de valeur numérique égaleà : - 0,35 N.m .
En conséquence la force , horizontale, appliquée en B sera orientée vers le droite . On peut donc écrire que : MF/O = - F . OB sin aDonc F = - MF/O
OB sin a = - - 0,35
0,30 . 0,5 =
0,35 0,15ÞÞ F = 2,33 N
Exercice 5 :
· système : barre AB
· Bilan des forces :
Þ Poidsr P : P = m g = 20 N
Þ Tension du fil :r T
Þ Réaction de l'axe en A : rRA :
appliquée en A , dirigée selon la tige (forces concourantes au point G) et de sens globalement vers le haut· Le système est en équilibre :
SS rr F = rr 00 et SSalg MM/axe/axe = 0 = 01. Þ Dans un premier temps,
On applique Salg M /axe = 0 , en choisissant comme axe de rotation le point A Le sens de rotation positif est le sens trigonométrique : 4 MP/O + MR/O + MT1/O + MT2/O = 0
ce qui donne : - P . L . cos b + T . L . sin a + 0 = 0 L se simplifie et ainsi : P . cos b = T . sin a Et comme a = 30° et b = 60° Þ P = T = 20 N2. Þ
Dans un deuxième temps,
on applique S r F = r 0 ÞÞ r P + r T + rRA = r 0 Projection sur un axe X'X (le long de la barre AB) - P . cos (90° - b) - T . cos a + RA = 0Comme a + b = 90° , on peut écrire que :
RA = + P . cos a + T . cos a
Þ RA = (P + T) . cos aa
RA = 34,6 N
Exercice 6 :
1. Schéma : Vitesse v = 125 km
h =125.103
3600Donc v = 34,7 m.s
-1Puissance : P = W
t =Fm . AB . cosq
t avec q = 0 Þ PP = Fm . v2. Il faut donc chercher la force motrice Fm .
· système : voiture
· Bilan des forces :
Þ Poidsr P : P = m g = 104 N
Þ Réaction du sol :r R
Þ Résistance dûe à l'air rRa : Ra = 800 N Þ Résistance dûe au roulement rRr : Rr = 2 % . P = 200 NÞ Force motrice : rFm
· La voiture se déplace avec une vitesse constante : elle se déplace d'un Mouvement Rectiligne Uniforme : MRU ÞÞ SS rr F = rr 00 r P + r R + rRa + rRr + rFm = r 0En projetant cette égalité vectorielle sur un axe X'X dirigé dans les sens du mouvement :
0 + 0 - Ra - Rr + Fm = 0 Þ Fm = Ra + Rr Þ Fm = 1000 N
3. La puissance de la voiture vaut alors : PP = Fm . v = 1000. 34,7 = 34 70 W
Remarque : 1 ch DIN = 736 W Þ PP = 34700
736 = 47 ch DIN
C'est la puissance développée par la voiture pour rouler la vitesse constante de 125 km/h. X' X 5Exercice 7 : 1.a) pente : tan a = 12
100Le cycliste fait un trajet A ¾¾® B
AB = x = 100 m
· système : cycliste
· Bilan des forces :
Þ Poidsr P : P = m g = 800 N
Þ Réaction du sol :r R
Þ Frottements divers : rf :
Þ Il n'y a pas de force motrice, puisque le
cycliste est en " roue libre »· Le cycliste se déplace avec une vitesse
constante : il est animé d'un· Mouvement Rectiligne Uniforme : MRU
ÞÞ SS rr F = rr 00 donc r P + r R + rf = r 0En projetant cette égalité vectorielle sur un axe X'X dirigé dans les sens du mouvement :
+ P . sin a + 0 - f = 0 Þ f = P . sin a Comme a est petit , tan a = sin a Þ f = 800 . 0,12 Þ f = 96 N1.b) Travail du poids : WP = - m . g . Dz avec Dz = zfinal - zinitial
Pour mesurer des altitudes, on choisit l'origine des altitudes à l'endroit le plus bas du problème :
En conséquence : zfinal = 0 et zinitial = AB . sin a = 12 m Le travail peut donc se calculer : WP = - m . g . (zfinal - zinitial)WP = - 80 . 10 . (0 - 12) Þ WP = + 9600 J
Le travail du poids est positif , c'est un travail moteur Travail des forces de frottements : Wf = f . AB . cos 180° rf et rAB font un angle de 180° entre eux Þ Wf = - f . x Þ Wf = - 9600 JLe travail des forces de frottements est toujours négatif, c'est un travail résistant : les forces de
frottements s'opposent au mouvement .1.c) Energie cinétique du cycliste : avec v = 90 km/h = 90.103
3600 = 25 m.s
-1 Ec = 12 m v
2 = 0,5 . 80 . 252 Þ Ec = 25 = 25 kJ
2. Vitesse v' = 54 km/h Þ v' = 15 m.s-1 Le cycliste commence à freiner au point
A et il s'arrête au point B après une distance de freinage d = AB = 20 m· système : cycliste
· Bilan des forces : Þ Poidsr P : P = 800 NÞ Réaction du sol :r R
Þ Frottements divers : rf ' :
X'X O Z A
B 6Þ Force de freinage rFf
Þ Il n'y a pas de force motrice, puisque
le cycliste est en freinage· La vitesse du cycliste change : elle
passe de 15 m/s0 : il est animé d'un
Mouvement Rectiligne Varié
Þ On applique le théorème de
l'énergie cinétique :DDEc = SSalg Wforces
12 m vf2 - 1
2 m v'2 = WP + WR + Wf ' + WFf
0 - 1
2 m v'2 = 0 + 0 + f '. AB . cos 180° + Ff . AB . cos 180°
- 12 m v'2 = - f ' . AB - Ff . AB Þ Ff = + 1
2 m v'2 - f ' . AB
ABFf = + 1
2 80 .152 - 100 . 20
20 Þ Ff = 350 N
Exercice 8 :
Exercice 9 :
Ressort au repos : xO = 0
Compression de 8 cm :
Ressort comprimé : xM = + 0,08 m
1. La force exercée par le ressort sur le solide
S peut s'écrire : r T = - k . rOM
La force exercée par le ressort est une force de rappel : elle est toujours orientée en sens inverse du déplacement qu'on fait subir au ressort.
T = - k . xM = - 30 . 0,08 = - 2,4 N
Le signe - veut dire que la force est bien dirigée en sens inverse de l'axe choisi .2. Energie mécanique du système :
Em = Ec + Ep = 1
2 m v2 + 1
2 k x 2Em = Constante puisqu'il n'y a pas de frottements
Au départ du mouvement : xi = xM et vi = 0Donc Em = 0 +
1 2 k xM 2 = 1
2 . 30 . (0,08)
2 Þ Em = 96 . 10-3 J
3. Situation 1 : ressort étiré : x1 = - 0,02 m vitesse v1 = ?
7 Em = 1 2 m v1 2 + 1
2 k x1 2 Þ v1 = ± 2 Em - k x1 2
mÞÞ v1 = ± 0,77 m/s la masse accrochée au ressort fait un mouvement de va et vient : il y a donc
bien 2 solutions : le signe + pour la vitesse veut dire que le déplacement se fait dans le sens positif de
l'axe et le signe - veut dire que le déplacement se fait en sens inverse de l'axe choisi. Exercice 10 : Une pierre, de masse m = 20 kg , tombe d'une falaise de hauteur H = 20 m.L'origine des altitudes est choisi à l'endroit le plus bas du problème, à savoir le pied de la falaise.
1.