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ABC est un triangle D est le milieu de [BC] M est le milieu de [AD] La droite (CM ) coupe (AB) en F Par D on trace la parallèle à (CF) elle coupe (AB) en E

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LA PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX

A B× C

×I×J

PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILLIEUX

Dans un triangle, la droite qui passe par les millieux de deuxcôtés est parallèle au troisième côté. De plus la longueur du segment qui joint ces deux millieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

C"est à dire

SiImilieu de[AB]etJmilieu de[AC]

Alors(IJ)//(BC)etIJ=BC

2 RÉCIPROQUE DE LA PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d"un côté et qui est parallèle à un second côté coupe le troisième côté en son milieu.

C"est à dire

SiImilieu de[AB]et(IJ)//(BC),J?[AC]

AlorsJest le milieu de[AC]

EXERCICEI

MNPest un triangle.

BetCsont les points de la demi-droite[MN)tels queMB=3

2MNetMC=1

3MB.

De plusAest le milieu de[MP].

1.Faire une figure.

2.Démontrer que les droites(AC)et(NP)sont parallèles.

EXERCICEII

ABCDest un quadrilatère à priori quelconque. Ile milieu de[AB],Jle milieu de[BC],Kle milieu de[CD]etLle milieu de[DA].

1.Faire une figure en faisant apparaître les diagonales deABCD.

2.Prouver queIJKLest un parallèlogramme. ( Penser aux diagonales... )

3.Quelles conditions imposer àABCDpour queIJKLsoit un rectangle?

un losange? un carré?

EXERCICEIII

ABCest un triangle.

Dest le milieu de[BC].

Mest le milieu de[AD].

La droite(CM)coupe[AB]enF. ParD, on trace la parallèle à(CF); elle coupe(AB)enE.

1.Démontrer queFest le milieu de[EA].

2.Démontrer queEest le milieu de[BF].

EXERCICEIV

ABCDest un parallèlogramme.

Eest le symétrique deCpar rapport àD.

Les droites(AE)et(BC)se coupent enF.

1.Faire une figure.

2.Pourquoi les droites(AE)et(CF)sont-elles parallèles?

3.En déduire queAest le milieu de[EF].

4.Démontrer alors queBest le milieu de[CF].

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