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CORRIGE TD n°5

EXERCICE 1 : Miroirs de Fresnel

Une source lumineuse ponctuelle S, monochromatique de longueur d'onde Ȝ 0

éclaire deux miroirs

plans (M1) et (M2) faisant un petit angle Į. Le rayon incident SO fait l'angle ș avec la normale au

miroir (M2). On pose SO = L et on appelle l la largeur de chaque miroir (on suppose l << L ). On observe les interférences sur un écran normal à la médiatrice de S 1 S 2 (ou S 1 et S 2 sont les images de S par les deux miroirs) et situé à la distance D >> S 1 S 2 du point O.

1. Construire les faisceaux réfléchis. Justifier qualitativement quand positionnant

correctement l'écran d'observation on observe un phénomène d'interférence dont la largeur

est proportionnelle à D.

2. Calculer l'interfrange i

o pour la radiation Ȝ o.

AN: mrad ; D = 2,5 m; L = 0,5 m; Ȝ

o = 0,5 µm.

CORRECTION :

1. Soient S

1 et S 2 les images de S par rapport à M 1 et M 2 . On observe qu'il y a une zone où les faisceaux se recouvrent. S 1 et S 2 sont par construction des sources secondaires cohérentes avec S. 27
On peut placer l'écran dans la zone d'interférences parallèlement à S 1 et S 2 . En pratique l'angle est très petit et donc l'écran est placé perpendiculairement au miroir M 2

2. On est dans la situation où le plan d'observation des interférences est parallèle à l'axe

(S 1 S 2 ) avec la distance S 1 S 2 petite devant la distance d'observation D. 12

2SS L=..

La différence de marche est

12 SSx D= . On a donc pour l'interfrange 120
0 SSi DL=+ . Soit 00 0 12

0,12 mm2

DL DLiSS L

EXERCICE 2 : Système interférentiel de Mach Zenhder

On considère le système interférentiel de Mach Zenhder représenté sur le schéma ci-desssus. Les

deux séparatrices et les deux miroirs sont parallèles entre eux et une onde plane monochromatique incidente d'amplitude E 0 et de longueur d'onde= 0,5 µm arrive sur la première séparatrice avec un angle de 45°. Les lames séparatrices SP 1 et SP 2 sont identiques et

d'épaisseur négligeable. Elles sont semi-transparentes : le facteur de réflexion ou de transmission

pour l'intensité est égal à ½. Les miroirs M 1 et M 2 sont identiques et leur facteur de réflexion est

égal à 1 pour l'intensité. Les longueurs des deux bras de l'interféromètre sont rappelés dans la

figure ci-dessus. On observe l'intensité sur un écran en sortie de l'interféromètre.

1. Le système interférentiel est-il à division du front d'onde ou à division d'amplitude ?

2. Dans quelles zones peut-on observer des interférences ?

3. Calculer la différence de marche puis le déphasage entre les deux ondes à la sortie de

l'interféromètre en direction de l'écran

4. Donner l'expression du champ électrique à la sortie de l'interféromètre, en écriture

complexe. En déduire l'expression du champ conjugué.

5. Donner l'expression de l'éclairement observé à l'écran. Qu'observe-t-on ?

6. On place entre le miroir M

2 et la lame SP 2 une cellule d'épaisseur e remplie de gaz d'indice n=1,0001. Quels sont la différence de marche et le déphasage introduits par la cellule de gaz. d d 3d 3d

écran

287. Donner la nouvelle expression du champ électrique à la sortie de l'interféromètre, celle du

champ conjugué ainsi que l'éclairement observé à l'écran.

8. Quelle doit être l'expression de l'épaisseur minimale de la cellule remplie de gaz pour

avoir une extinction totale sur l'écran ?

CORRECTION :

1. C'est un dispositif à division d'amplitude. Une lame séparatrice est utilisée.

2. On peut observer des interférences en deux endroits, à droite et au-dessus de la deuxième

lame séparatrice.

3. Le chemin 1 part de la source, traverse la lame séparatrice SP

1 , est réfléchie par le miroir M 2 et est finalement réfléchie par la lame séparatrice SP 2 (4d) Le chemin 2 part de la source, est réfléchie par la lame séparatrice SP 1 , puis par le miroir M 1 et finalement traverse la lame séparatrice SP 2 (4d) La différence de marche est donc nulle ainsi que la différence de phase.

4. Le facteur de transmission d'une lame séparatrice est

1/ 2. Le facteur de réflexion d'une lame séparatrice est 1/ 2.

Pour le chemin 1, le faisceau est transmis une fois et est réfléchie une fois, on en déduite

que l'amplitude subit un facteur ½. La situation est identique pour le chemin 2. L'amplitude doit être multipliée par le facteur Pour déterminer le champ sur l'écran, on utilise le théorème de superposition 00 120
( ) exp 4 exp 4 exp 422EEEMEMEM itkd itkdE itkd=+=+= On en déduit l'expression du champ conjugué : 0 () exp 4EME itkd=.

5. On en déduit que l'éclairement est () ()()

*2 00

MEMEME===.

L'éclairement est indépendant de la position de l'écran, on observe donc un éclairement uniforme.

6. Le chemin 2 doit maintenant traverser une cellule d'épaisseur e et d'indice n=1,0001. La

différence de marche introduite est donc : air enn=×, ce qui introduit une différence de phase ()2 air enn×=

7. On en déduit qu'à la sortie de la lame séparatrice, la nouvelle expression du champ à sa

sortie est : 00 0 ( ) exp 4 exp 4 exp 4 1 exp22 2

EE EEM it kd it kd it kd i=+=+

L'expression du champ conjugué est alors :

*0 () exp 4 1exp2

EEM i t kd i=++

L'éclairement est alors :

22
*000

1 exp 1 exp 1 cos 1 cos422

EEMEMEM i i ==++=+=+

29

8. Pour avoir une extinction totale sur l'écran, il faut que le déphasage []2= ou

()2 1 avec k entierk=+.

C'est-à-dire que

221
air ennk×=+ ou encore ()21 2 air kenn+=. Pour avoir l'épaisseur minimale il suffit de prendre k = 0. On a alors

250 µm2

air enn==. EXERCICE 3 : interféromètre de Michelson (franges d'égale inclinaison)

Un interféromètre de Michelson est constitué par une lame semi-réfléchissante, non absorbante,

appelée séparatrice (S p ), dont les facteurs de transmission et de réflexion valent ½, et deux miroirs plans (M 1 ) et (M 2 ) perpendiculaires l'un à l'autre. La lame (S p ) est inclinée à 45° par rapport aux normales à (M 1 ) et (M 2 ). L'interféromètre est plongé dans l'air dont on prendra l'indice de réfraction égal à 1. La source S est ponctuelle et monochromatique, de longueur d'onde = 0,4227 µm. Par construction, IA 2 = IA 1 + l avec l = 1 cm. On observe le phénomène d'interférence dans le plan focal P d'une lentille mince convergente L de distance focale f' = 1 m.

1. Montrer que les franges d'interférences obtenues dans (P) sont des anneaux.

2. En supposant l'ordre d'interférence p

0 entier au centre (i=0), calculer le rayons des cinq premiers anneaux brillants.

3. Calculer la demi-largeur des anneaux ; on la définit en disant que si, dans la direction du

maximum de lumière l'éclairement est M , on trouve à demi-largeur l'éclairement M /2. (On ne calculera pas la demi-largeur du disque central).

CORRECTION :

1. Le plan P étant le plan focal image de la lentille L, les rayons qui arrivent en un point de P appartenaient avant la lentille à un faisceau parallèle. La direction de ce faisceau s'obtient en considérant le rayon particulier qui passe par le centre de la lentille. Ce rayon n'est pas dévié. Cette direction correspond donc à l'angle i indiqué sur la figure accompagnant l'énoncé. Les rayons qui interfèrent e présentent une différence de marche donnée par l'expression classique : 21

2cosli=.

30Cette différence de marche ne dépend que de l'angle i. Le système a la symétrie de

révolution autour de IO. On obtiendra donc des anneaux (anneaux d'égale inclinaison).

2. L'ordre d'interférence p est défini en Q par

21
/p=. On note que l'ordre d'interférence est entier au centre donc 0

2/pl=.

Les anneaux brillants correspondent à un ordre d'interférence entier, donc à 0 ppm=où m est le numéro de l'anneau. Le signe - vient du fait que l'ordre d'interférence est maximale pour i = 0. Les valeurs correspondantes i m de i sont données par : 0

2/ cos

m lipm= . On se place implicitement dans les conditions de Gauss puisque l'on utilise les propriétés usuelles d'une lentille mince convergente. L'angle i m est supposé petit ce qui permet d'utiliser l'approximation 2 cos 1 /2 mm ii : 2 0

2/ 2/ /2

m llipm= et compte tenu que 0

2/pl= on a

m mil= . On en déduit le rayon de l'anneau m, m mfl=

L'application numérique nous donne :

M= n° de l'anneau 1 2 3 4 5

m (cm) 0,650 0,919 1,126 1,300 1,454 On note que les anneaux sont assez petits : les angles sont donc très faibles, ce qui justifie bien a posteriori, les approximations réalisées sur les angles. 3.

Un interféromètre de Michelson est, rappelons le, un interféromètre à deux ondes. Pour ce

type d'interféromètre l'expression est du l'éclairement est du type : 0

1cosM=+

ave c 2 =. Un graphe en fonction de permet de clarifier la discussion. On note que l'éclairement a sa valeur maximale M pour 2 avec entierqq=.

31On voit sur cette courbe qu'autour d'une valeur entière q de l'ordre d'interférence

/2p=, la demi-largeur de l'anneau (passage de M M /2) correspond à une variation 1/4p =±. Or ici, l'ordre d'interférences p est lié à i par :

2coslip= soit

2

21 /2 .li p=

La passage à

M /2 de part et d'autre de M correspond à une variation 1/2p= de l'ordre d'interférence. Soit ila variation correspondante de i :

2.li i p=soit

/ et 1/2 m ii ml p===. On a donc : 11 4 m ilm=. On en déduit la largeur à mi-hauteur de l'anneau numéro m sur l'écran '1 4 m f l m= et 1/4 mm m=.

L'expression de

m montre que les anneaux sont d'autant plus large que l'épaisseur l est petite. Ceci est un indice sérieux pour régler un interféromètre de Michelson : on se rapproche du contact optique en augmentant - grâce au déplacement du chariot portant M 2 - le rayon des anneaux.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40