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E.N.S. de Cachan Département E.E.A.

M2 FE3eannée

Physique appliquée 2011-2012TD de Physique n

o10 :Interférences et cohérences

Exercice n

o1 : Interférences à deux ondes, conditions de cohérence

I- Ondes cohérentes, ondes incohérentes

Soient deux ondes lumineuses monochromatiques, de pulsationsω1etω2dont les champs électriques ont

pour expressions : E1(M,t) =A1(M)cos(ω1t-Φ1(M))?e1et?E2(M,t) =A2(M)cos(ω2t-Φ2(M))?e2

avec?e1et?e2deux vecteurs unitaires. Pour simplifier l"étude, on suppose que ces deux ondes sont dans le même

état de polarisation, de sorte que leurs amplitudes instantanées soient additives.

1.Donner les expressions deI1(M)etI2(M)les intensités au point M des deux ondes considérées prises

séparément.

2.Calculer l"intensité de l"onde résultanteI(M)en fonction deI1(M),I2(M),ω1,ω2,Φ1,Φ2.

3.Définir les notions d"ondes cohérentes et d"ondes incohérentes.

4.Donner une condition nécessaire de cohérence concernant les pulsations.

5.Définir et donner l"expression du contraste C.

II- Condition de cohérence temporelle

1.En pratique deux sources ponctuelles isochrones ne sont pas cohérentes. Expliquer pourquoi.

2.Expliquer alors comment obtenir deux sources ponctuellesS1etS2cohérentes.

3.Établir la condition de cohérence temporelle.

4.Réécrire la formule des interférences à deux ondes en introduisant l"ordre d"interférence p(M).

5.Retrouver cette formule en utilisant les amplitudes complexes des deux ondes cohérentes.

Exercice n

o2 : Détermination de l"écart angulaire séparant deux étoiles

I- Questions préliminaires

1.Soient deux sourcesS1etS2cohérentes. Donner l"équation des surfaces d"égal éclairement lorsque

les deux sources sont dans un milieu homogène. Tracer l"allure de l"intersection de ces surfaces par un plan

contenant le segmentS1S2.

2.On place un écran perpendiculairement à la direction(S1S2). Quelle est la forme des franges d"inter-

férence?

3.On place un écran parallèlement à la direction(S1S2). Quelle est la forme approchée des franges

d"interférence?

II- Trous d"Young

Deux trous, séparés d"une distancea = S1S2, sont éclairés par une source ponctuelle S (cf figure n°1). Le

phénomène de diffraction (cf Cours-TD n°11) permet aux rayons issus deS1et deS2de se rencontrer au point

M. On observe la figure d"interférence dans le plan focal image d"une lentille convergente L de focalef?.1

Figure n

o1 :Trous d"Young

1.Donner, sans faire de calcul, la forme de la figure d"interférence observée sur l"écran. Dans la suite de

l"exercice, l"étude est menée dans le plan Oxz.

2.Tracer, sur la figure n°1, les rayons issus des sourcesS1etS2qui interfèrent au point M de coordonnées

(x,0,0).

3.En déduire la différence de marche au point M en fonction a, x etf?.

4.Expliciter alors l"intensité lumineuse I(x) le long de l"axe Ox. On introduira l"interfrange i et on

supposera que la répartition de la lumière via la diffraction se fait de façon uniforme.

III- Application à l"astronomie

Les trous d"Young étudiés précédemment sont maintenant placés devant l"objectif d"un télescope modélisé

par la lentille convergente L (cf figure n°2). Ce télescope pointe vers une source supposée à l"infinie et constituée

de deux étoilesE1etE2. On cherche dans ce qui suit à déterminerθl"écart angulaire entre les deux étoiles.Figure n

o2 :Trous d"Young appliqués à l"astronomie

1.On noteI1(x)l"intensité qui serait reçue par le détecteur (matrice CCD) dans le plan focal image du

télescope si l"étoileE1était seule.

a) Déterminerx1l"abscisse du point où la différence de marche entre les rayons issus deS1etS2éclairées par

1est nulle.

b) En déduireI1(x).

2.Établir de même l"expression de l"intensitéI2(x)qui serait reçue par le détecteur si l"étoileE2était

seule.

3.Donner l"expression de l"intensité totaleI(x)(on supposera que les deux étoiles émettent la même

quantité de lumière).

4.Calculer le contraste C et tracer son allure en fonction dea(on fera apparaître une distance caracté-

ristique notéelS).

5.Comment peut-on déterminerθ? Cette méthode fut utilisée par A. Labeyrie et ses collaborateurs en

1978 pour étudier la distance séparant les deux composantes de l"étoile Capella dans la constellation du Cocher

pendant une révolution complète de l"une autour de l"autre.2

Exercice n

o3 : Interféromètre de Michelson, étude spectrale d"une diode laserOn considère un interféromètre de Michelson schématisé sur

la figure ci-contre. Il est constitué de deux miroirsM1etM2et d"une lame séparatrice (Sep) perpendiculaires au plan de la figure. L"ensemble est placé dans l"air assimilé au vide. On utilisera un trièdre orthonormé direct(?ex,?ey,?ez). L"origine des axes est au milieu O de la séparatrice. La séparatrice est inclinée à 45°par rapport à l"axe des x. Dans ce problème, la séparatrice (Sep) est semi-réfléchissante et son épais- seur est supposée nulle. La réflexion et la transmission sur la sé- paratrice n"introduisent aucun déphasage. Le miroirM1a son centreO1sur l"axe Ox et il est perpendiculaire à cet axe. Il est seulement mobile en translation le long de l"axe Ox. Le miroirM2a son centreO2sur l"axe Oy.O2est fixe, le miroir M

2est toujours perpendiculaire àM1.

Les deux miroirs sont à des distances différentes de O :OO1= D + d,OO2= D. La distance d est réglable.

Une lentille mince convergente L, de distance focale f", a son axe optique confondu avec l"axe Oy. Un écran E

est placé après la lentille dans son plan focal image. On désigne parO3le centre de l"écran et par P un point

de l"écran.

Pour éclairer l"interféromètre de Michelson on utilise un laser avec une lame diffusante placée à sa sortie. Le

laser et la lame sont équivalents à une source étendue S, envoyant des rayons lumineux dans toute les directions

sur la lame séparatrice.

On ne considérera que les rayons réfléchis une seule fois sur la séparatrice et les miroirs.

I- Interférences lumineuses

1.Rappeler brièvement les conditions à remplir pour observer des interférences entre deux ondes lumi-

neuses.

2.Démontrer la formule donnant l"intensité d"interférence de deux ondes, de même amplitude, de longueur

d"onde dans le videλ0et ayant une différence de marcheδ

II- Figure d"interférences

Pour une source monochromatique, de longueur d"onde dans le videλ0, on observe des anneaux d"interfé-

rence sur l"écran dans le plan focal de la lentilleL.

1.À quoi est équivalent le dispositif interférométrique?

2.Expliquez pourquoi on observe des anneaux d"interférence.

3.Qu"observe-t-on pourd = 0?

4.Dans le cas d"une source étendue, les franges d"interférence sont localisées à l"infini (c"est-à-dire dans

le plan focal image de L). Expliquer pourquoi.

III- Intensité d"interférences

1.Soitδla différence de marche entre deux ondes qui interfèrent en un point P de l"écran tel queO3P = x.

Calculerδen fonction de i, l"angle d"incidence sur l"un des miroirs.

2.La lentille étant utilisée dans le cadre de l"approximation de Gauss, exprimerδen fonction de x.

3.Déterminer la loi I(x) de l"intensité d"interférence en ce point P.

4.Dans cette question, on suppose qu"à l"origineO3l"ordre d"interférence est entier. Déterminer le rayon

ndu nième anneau brillant en fonction de n, f",λ0et d. Commenter.

IV- Largeur spectrale de la lumière du laser

La lumière du laser n"est pas rigoureusement monochromatique. La répartition spectrale est donnée en

fonction du nombre d"ondeσ= 1/λ. L"intensité lumineuse dI émise entreσetσ+ dσest donnée par :

dI = J(σ)dσ= J0exp? -?σ-σ0a 2? dσ. J

0est une constante, a (tel quea<< σ0) mesure la largeur spectrale en nombre d"onde,σ0= 1/λ0est le

nombre d"onde moyen du laser.

1. Largeur de raie.Exprimer la largeur à mi-hauteur de la raieδλ(en longueur d"onde), en fonction de

a.3

Pour mesurer la largeur spectrale du laser, on utilise l"interféromètre de Michelson décrit précédemment. Un

moteur permet de faire translater le miroirM1à la vitesse constantev0. À l"instant initialt = 0,d = 0. Une

cellule photoélectrique ponctuelle, placée enO3, fournit un courant proportionnel à l"intensité lumineuse au

pointO3.

2.Déterminer l"expression analytique du couranti(t)en fonction du temps. On utilisera l"intégrale :

0 cos[2πσδ]exp? -?σ-σ0a 2?

3.Dans l"expression de i(t), faire apparaître un terme de visibilité que l"on définira. Dessiner l"allure de

la courbe i(t) en fonction de t.

4.La vitesse du moteur estv0= 1,0μm/s, on a toujoursλ0= 632,8 nm. On constate qu"au bout de

1= 120 s, la visibilité du signal a été divisée par deux. En déduireδλ.

Exercice n

o4 : Interféromètre de Michelson, interférences en lumière blanche I- Interféromètre de Michelson réglé en coin d"air

On considère à nouveau l"interféromètre de Michelson présenté dans l"exercice n°2. Cependant ici,M?1,

l"image par la séparatrice du miroirM1forme un petit angleαavec le miroirM2, on dit alors que l"interféromètre

de Michelson est réglé en coin d"air.

Pour éclairer l"interféromètre de Michelson réglé en coin d"air, on dispose un diaphragme placé au foyer objet

d"une lentille convergente que l"on éclaire avec une source monochromatique de longueur d"onde dans le videλ0.

Les rayons lumineux arrivent alors sous incidence quasi-normale sur le miroirM2et les franges d"interférences

sont localisées au voisinage du miroirM2.

1.Soit M un point situé sur le miroirM2et repéré par sa distance d à l"arête du coin d"air. Déterminer

la différence de marcheδ(M)au point M en fonction deαet d.

2.En déduire la forme des franges d"interférences et exprimer l"interfrangeien fonction deλ0et deα.

3.Les franges étant localisées surM2on ne peut pas les observer directement sur un écran. On fait alors

l"image de la figure d"interférence sur un écran avec une lentille convergente de focalef?= 10 cm.

a) On place la lentille à 11 cm du miroirM2. À quelle distance D du miroirM2, doit-on placer l"écran?

b) Que vaut alors le grandissementγdu montage? c) On mesure sur l"écran un interfrange de 2 mm. Calculerαsachant queλ0= 633 nm. Commenter.

II- Interférences en lumière blanche

Le diaphragme est maintenant éclairé par une source de lumière blanche : cette source émet dans tout

le domaine visible, c"est-à-dire deλ= 400 nm(violet) àλ= 800 nm(rouge). Dans cette partie, les longueurs

d"ondes sont notéesλ, l"indice zéro est réservé pour la longueur d"onde centrale :λ0= 600 nm

1.Évaluer la longueur de cohérence,l?, d"une source de lumière blanche. Faire l"application numérique

et commenter.

La source de lumière blanche est décrite par son spectreg(λ): la source peut être considérée comme la

superposition de sources monochromatiques émettant entreλetλ+ dλune intensitédI0= g(λ)dλ.

2.Établir l"expression du spectre de la lumière reçue au point M associé à la différence de marcheδ(M).

3.Qu"observe-t-on sur l"arête du coin d"air?

4.Qu"observe-t-on au voisinage l"arête du coin d"air?

5.Qu"observe-t-on loin de l"arête du coin d"air, c"est-à-dire lorsque l"ordre d"interférence central est élevé?4

Problème : Interféromètre de Mach-Zehnder, modulation optique

L"interféromètre de Mach-Zehnder (cf figure n°1) comporte deux miroirs identiquesM1etM2et deux lames

semi-transparentes identiquesL1etL2. Miroirs et lames sont disposés à 45°de la direction des rayons lumineux.

Un faisceau laser incident de rayons parallèles, monochromatique, de longueur d"onde dans le videλ0et

d"intensitéI0est divisée en deux faisceaux "1" et "2" par la première lameL1. Après réflexion surM1etM2,

les faisceaux sont recombinés à la sortie de la deuxième lameL2. Deux détecteurs identiques,D1etD2, sont

disponibles selon la sortie utilisée.Figure n o1 :Principe de l"interféromètre de Mach-Zehnder

Dans ce problème on utilise une théorie ondulatoire scalaire de la lumière, sans tenir compte des propriétés de

polarisation des différents composants. On utilisera les notations complexes et la dépendance temporelle des ondes est enexp(iωt). On prendn = 1pour l"indice de réfraction de l"air.

I- Interférence à deux ondes

On fait interférer deux ondes monochromatiques de même amplitude et cohérentes qui présentent une

différence de phaseΦ. Établir l"expression de l"intensité d"interférence I.

II- Interféromètre de Mach-Zehnder

Les miroirs sont parfaitement réfléchissants, leur coefficient de réflexion en amplitude est égal à moins un :

ρM

1=ρM

2=-1.

Les propriétés optiques des lames sont décrites par un coefficient de réflexion en amplitudeρet un coefficient

de transmission en amplitudeτ:

1⎷2

eiπ2 =i⎷2

1⎷2

Les trajetsL1M1L2etL1M2L2sont identiques et on note(L0)le chemin optique correspondant qui ne tient

compte ni des coefficients de réflexion des miroirs ni des coefficients de réflexion ou de transmission des lames

1etL2:(L0) = (L1M1L2) = (L1M2L2).

L"onde incidente a une amplitudea0. Les détecteurs sont quadratiques : ils fournissent une intensité propor-

tionnelle au carré du module de l"onde arrivant sur le détecteur.

1.Déterminer l"amplitude complexe de l"onde arrivant sur le détecteurD1.

2.Déterminer l"amplitude complexe de l"onde arrivant sur le détecteurD2.

3.Déterminer les intensités détectéesI1etI2sur les détecteursD1etD2.

4.Commenter brièvement les résultats des trois questions précédentes.

III- Mesure d"un indice de réfraction à l"aide de l"interféromètre de Mach-Zehnderquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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E.N.S. de Cachan Département E.E.A.

M2 FE3eannée

Physique appliquée 2011-2012TD de Physique n

Exercice n

I- Ondes cohérentes, ondes incohérentes

1.Donner les expressions deI1(M)etI2(M)les intensités au point M des deux ondes considérées prises

2.Calculer l"intensité de l"onde résultanteI(M)en fonction deI1(M),I2(M),ω1,ω2,Φ1,Φ2.

3.Définir les notions d"ondes cohérentes et d"ondes incohérentes.

4.Donner une condition nécessaire de cohérence concernant les pulsations.

5.Définir et donner l"expression du contraste C.

II- Condition de cohérence temporelle

1.En pratique deux sources ponctuelles isochrones ne sont pas cohérentes. Expliquer pourquoi.

2.Expliquer alors comment obtenir deux sources ponctuellesS1etS2cohérentes.

3.Établir la condition de cohérence temporelle.

4.Réécrire la formule des interférences à deux ondes en introduisant l"ordre d"interférence p(M).

5.Retrouver cette formule en utilisant les amplitudes complexes des deux ondes cohérentes.

Exercice n

I- Questions préliminaires

1.Soient deux sourcesS1etS2cohérentes. Donner l"équation des surfaces d"égal éclairement lorsque

2.On place un écran perpendiculairement à la direction(S1S2). Quelle est la forme des franges d"inter-

3.On place un écran parallèlement à la direction(S1S2). Quelle est la forme approchée des franges

II- Trous d"Young

Figure n

1.Donner, sans faire de calcul, la forme de la figure d"interférence observée sur l"écran. Dans la suite de

2.Tracer, sur la figure n°1, les rayons issus des sourcesS1etS2qui interfèrent au point M de coordonnées

3.En déduire la différence de marche au point M en fonction a, x etf?.

4.Expliciter alors l"intensité lumineuse I(x) le long de l"axe Ox. On introduira l"interfrange i et on

III- Application à l"astronomie

1.On noteI1(x)l"intensité qui serait reçue par le détecteur (matrice CCD) dans le plan focal image du

1est nulle.

2.Établir de même l"expression de l"intensitéI2(x)qui serait reçue par le détecteur si l"étoileE2était

3.Donner l"expression de l"intensité totaleI(x)(on supposera que les deux étoiles émettent la même

4.Calculer le contraste C et tracer son allure en fonction dea(on fera apparaître une distance caracté-

5.Comment peut-on déterminerθ? Cette méthode fut utilisée par A. Labeyrie et ses collaborateurs en

1978 pour étudier la distance séparant les deux composantes de l"étoile Capella dans la constellation du Cocher

Exercice n

2est toujours perpendiculaire àM1.

I- Interférences lumineuses

1.Rappeler brièvement les conditions à remplir pour observer des interférences entre deux ondes lumi-

2.Démontrer la formule donnant l"intensité d"interférence de deux ondes, de même amplitude, de longueur

II- Figure d"interférences

1.À quoi est équivalent le dispositif interférométrique?

2.Expliquez pourquoi on observe des anneaux d"interférence.

3.Qu"observe-t-on pourd = 0?

4.Dans le cas d"une source étendue, les franges d"interférence sont localisées à l"infini (c"est-à-dire dans

III- Intensité d"interférences

1.Soitδla différence de marche entre deux ondes qui interfèrent en un point P de l"écran tel queO3P = x.

2.La lentille étant utilisée dans le cadre de l"approximation de Gauss, exprimerδen fonction de x.

3.Déterminer la loi I(x) de l"intensité d"interférence en ce point P.

4.Dans cette question, on suppose qu"à l"origineO3l"ordre d"interférence est entier. Déterminer le rayon

IV- Largeur spectrale de la lumière du laser

0est une constante, a (tel quea<< σ0) mesure la largeur spectrale en nombre d"onde,σ0= 1/λ0est le

1. Largeur de raie.Exprimer la largeur à mi-hauteur de la raieδλ(en longueur d"onde), en fonction de

2.Déterminer l"expression analytique du couranti(t)en fonction du temps. On utilisera l"intégrale :

3.Dans l"expression de i(t), faire apparaître un terme de visibilité que l"on définira. Dessiner l"allure de

4.La vitesse du moteur estv0= 1,0μm/s, on a toujoursλ0= 632,8 nm. On constate qu"au bout de

1= 120 s, la visibilité du signal a été divisée par deux. En déduireδλ.

Exercice n

1.Soit M un point situé sur le miroirM2et repéré par sa distance d à l"arête du coin d"air. Déterminer

2.En déduire la forme des franges d"interférences et exprimer l"interfrangeien fonction deλ0et deα.

3.Les franges étant localisées surM2on ne peut pas les observer directement sur un écran. On fait alors

II- Interférences en lumière blanche

1.Évaluer la longueur de cohérence,l?, d"une source de lumière blanche. Faire l"application numérique

2.Établir l"expression du spectre de la lumière reçue au point M associé à la différence de marcheδ(M).

3.Qu"observe-t-on sur l"arête du coin d"air?

4.Qu"observe-t-on au voisinage l"arête du coin d"air?

5.Qu"observe-t-on loin de l"arête du coin d"air, c"est-à-dire lorsque l"ordre d"interférence central est élevé?4

I- Interférence à deux ondes

II- Interféromètre de Mach-Zehnder

1=ρM

1⎷2

1⎷2

1etL2:(L0) = (L1M1L2) = (L1M2L2).

1.Déterminer l"amplitude complexe de l"onde arrivant sur le détecteurD1.

2.Déterminer l"amplitude complexe de l"onde arrivant sur le détecteurD2.

3.Déterminer les intensités détectéesI1etI2sur les détecteursD1etD2.

4.Commenter brièvement les résultats des trois questions précédentes.