Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses Cette caractérisation sert `a la définition d'un espace compact dans
Définition 4 1 5 Une partie A d'un espace topologique est quasi-compacte si et seule- ment si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement
dénombrable quelconque ) Définition On dira que (X ) est un espace topologique séparé si pour tout x et
Notation I désignera un ensemble quelconque (fini dénombrable ou indénom- Définition On dira que (Xd) est un espace métrique compact si il vérifie: De
Si A est une partie compacte de E A est fermée et bornée Prop 10 [2] Un espace compact est complet Prop 11 [2] Si X est compact et si (xn)
Soit (X d) un espace métrique et A un sous-ensemble compact de X définition d'une borne supérieure il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que
Définition Un espace est dit localement compact s'il est séparé et si tout point de cet espace poss`ede un voisinage ouvert `a clôture compacte
Définition Une partie A d'un espace métrique (Ed) est dite compacte si de toute suite de A on peut extraire une sous-
Définition (plan dans R3) 1 6 Ensembles compacts Définition X ? Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X
Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N qui est compact Si de plus X est fermé c'est un fermé dans un
Définition 3 1 1 On dit qe (Ed) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (Ed) admet une suite extraite convergeant vers un point de E Une
Définition 4 1 3 Une partie A d'un espace métrique est compacte si et seulement si tout recouvrement ouvert de A admet un sous-recouvrement fini
Définition On dit d'un sous ensemble de (X ) qu'il est compact s'il est compact pour la topologie induite de celle de X
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée possède au moins une valeur d'adhérence autrement dit une sous-suite
De plus le pavé [?aa]N est un compact comme produit d'espaces compacts Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N
De plus le pavé [?aa]N est un compact comme produit d'espaces compacts Par définition de ·? un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?aa]N
Alors l'ensemble {xnn ? N}?{l} est compact Ex 3 [2] • Tout espace métrique fini est compact • R n'est pas compact On peut prendre par exemple le
A Définition et propriétés générales Définition Une partie A d'un espace métrique (Ed) est dite compacte si de toute suite de A
D'o`u un sous recouvrement fini de notre recouvrement initial Espaces localement compacts 5 Page 6 Définition Un espace topologique E est localement compact