c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE. Une suite (un) est ...
La formule par récurrence d'une suite u est l'expression de un en Les démonstrations par récurrence servent à démontrer qu'une propriété qui dépend.
La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence de la Pour que cette notation ait un sens
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Soit u la suite définie par u0 = 1 et un+1 = f(un) avec f(x) = 1. 5. (x3 + 1). Démontrer par récurrence que u est décroissante. On admettra qu'on peut
est croissante ou décroissante ? Comment montrer qu'une suite ( )un est croissante ? (Strictement croissante ?) Méthode 1. ? On montre ?n un+1. ?unÃ0.
Comment montrer qu'une suite (Un) est croissante ou décroissante ? Attention on ne peut pas se contenter de calculer quelques termes !
(i) Par relations de récurrence : { u0 = 3. ?n ? N un+1 = un + 5 Pour montrer qu'une suite est croissante
La conclusion selon laquelle (un)n? est à valeurs dans D est très pratique quand on veut montrer qu'une suite est minorée/majorée/bornée. Par exemple si [1
b) Démontrer par récurrence que 0 ? un ?1. c) Cette suite est-elle décroissante ? d) Cette suite semble-t-elle convergente ? Si oui calculer lim.
Une suite est dé?nie par une formule explicite lorsque un s’exprime directement en fonction de n (un = f (n)) Dans ce cas on peut calculer chaque terme à partir de son indice Exemple Soit ( u n ) n 2N la suite dé?nie pour tout entier naturel n par u n = 1+3 n
Si f est croissante sur I la suite (un) est monotone Remarque : Ce théorème ne permettant pas de connaitre les variations d’une suite on fera une conjecture grâce aux calculs (ou dessin) des premiers termes et on démontrera cette conjecture par récurrence
1) Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +? 2) Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers ?? Démonstration au programme du 1) : Soit un réel a Comme (u n) n'est pas majorée il existe un entier p tel que "T>0 La suite (u n) est croissante donc pour tout 4>X on a : "#?" T
a puis que la suite (u n) n>1 est décroissante 3 En déduire que la suite (u n) converge vers p a 4 En utilisant la relation u n+1 2 a = (u n+1 p a)(u n+1 + p a) donner une majoration de u n+1 p a en fonction de u n p a 5 Si u 1 p a6k et pour n>1 montrer que u n p a62 p a k 2 p a 2n 1: 6 Application : Calculer p 10 avec une précision de 8
Si la suite (u_n) (un) est définie par une formule par récurrence (par exemple par une formule du type u_ {n+1}=f (u_n) un+1 = f (un) ), on peut démontrer par récurrence que u_ {n+1} geqslant u_n un+1 ? un (resp. u_ {n+1} leqslant u_n un+1 ? un) pour montrer que la suite est croissante (resp. décroissante)
Remarque 1 : Pour l'étude du signe on n'oubliera pas que n n étant un entier naturel, il est positif ou nul. Remarque 2 : Une suite peut très bien n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante (cas des suites non monotones comme la suite (u_n) (un) définie par u_n= ( - 1)^n un = (?1)n )
La démonstration par récurrence s'apparente au "principe des dominos" : L'étape d'initialisation est souvent facile à démontrer ; toutefois, faites attention à ne pas l'oublier ! n+1 n + 1. Pour cela, il est conseillé d'écrire ce que signifie
Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. 5 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotone