V Applications du produit scalaire 1 Calcul de ‖⃗u+⃗v‖2 Propriété : Étant donnés deux vecteurs ⃗u et ⃗v on a ‖⃗u+⃗v‖2=‖⃗u‖2+‖⃗v‖2+2 ⃗u ⃗v Démonstration : D’après les formules de bilinéarité du produit scalaire on a (⃗u +⃗v)2=(⃗u)2+2⃗u ⃗v+(⃗v)2
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Le produit scalaire et ses applications
Définition 1 : On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~u et ~v le nombre réel noté ~u ~v tel que : ~u ~v = 1 2 jj~u +~vjj2 jj~ujj2 jj~vjj2 Par convention on écrira : ~u ~u = ~u2 Exemple : Calculer le produit scalaire! AB ! AD pour la figure suivante : Comme ABCD est un parallélogramme on a! AB +! AD =! AC donc :! AB ! AD = 1 2
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Première Chapitre 3 PRODUIT SCALAIRE
Premières expressions du produit scalaire 3 1) Une première expression : à partir du projeté orthogonal 3 2) Une deuxième expression : pour des vecteurs colinéaires 3
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PRODUIT SCALAIRE
Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire = (4−(−1)) +(2−1) × (4−2) +(3−(−1)) ×cos ⃗ ; ⃗ On a également : ⃗(5 ; −1) et ⃗(−2 ; −4) donc : ⃗ ⃗= 5 x (–2) + (–1) x (–4) = –6 On a ainsi : 2√130×cos ⃗ ; ⃗ =−6 Et donc : cos ⃗ ; ⃗ =− =− √ √
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PRODUIT SCALAIRE
3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur u! et v! on a : u! v! =v! u! Démonstration : On suppose que u! et v! sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire) u! v! =u! ×v! ×cosu!;v (!) =v! ×u! ×cosu!;v (!) =v! ×u! ×cos−v!;u ((!)) =v! ×u! ×cosv!;u (!) =v! u! 4) Opérations sur
Quels sont les vecteurs du produit scalaire ?
Autres expressions du produit scalaire ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs, C et D se projettent orthogonalement en C’ et D’ sur la droite (AB). On a alors :
Comment calculer le produit scalaire ?
Le produit scalaire est dit symétrique. ⃗ u . ⃗ v=⃗ AB.⃗ AC= AB× AC×cos(^ BAC)=AC× AB×cos(^ CAB)=⃗ AC .⃗ AB=⃗ v .⃗ u désigne un nombre réel. On a : (⃗ u+⃗ v). ⃗ w=⃗ u . w+⃗ ⃗ v. w ⃗ 3. ⃗ u .(k ⃗ v)=(k ⃗ u)=k×(⃗ u . ⃗ v) Remarque : . Le produit scalaire est dit bilinéaire Exercice 2 : Le triangle ABC est équilatéral de côté 4cm.
Comment calculer la symétrie d'un produit scalaire ?
Symétrie du produit scalaire : Ð→Ð→Ð→Ð→Ð→Ð→soient uet v deux vecteurs du plan. Alors u⋅v =v ⋅u. Ð→Ð→u⋅ v =∣∣Ð→u∣∣×∣∣Ð→v∣∣×cos(Ð→u ,Ð→v). Or on sait que pour tout réelx, cos(−x)=cos(x). Donccos(Ð→→u ,Ðv)=cos(Ð→→v ,Ðu).
Comment choisir le point de départ d’un produit scalaire?
On pourrait choisir comme point de départ chacune d’elle. 1.1 Définition initiale Définition 1 : On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~u et ~v, le nombre réel noté ~u ~v tel que : ~u ~v = 1 2 \u0010 jj~u +~vjj2jj~ujj2jj~vjj2 Par convention, on écrira : ~u ~u = ~u2.
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Le produit scalaire et ses applications - Lycée dAdultes
17 mai 2011 · Définition 1 : On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v, le Prenons un repère orthonormal (O, ı, l) dont le premier vecteur ı soit coli- La formule d'Al Kashi est efficace si l'on connaît deux distances et un angle
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La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique 2) Définition du produit scalaire Démonstration de la première formule : u − v
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Première S - Définition du produit scalaire - Parfenoff org
Définition du produit scalaire I) Norme 1) Définition: Le produit scalaire de deux vecteurs et est le nombre réel, noté : est aussi obtenu par la formule : =
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FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama
PRODUIT SCALAIRE 1 LE COURS [Série – Matière – (Option)] Introduction Programme selon les sections : - formules de trigonométrie, produit scalaire dans
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Produit scalaire Résumé de cours - B Sicard
Définition Si u et v sont deux vecteurs non nuls, le produit scalaire des vecteurs u et v est le nombre réel défini par: Les formules précédentes donnent alors: a) Premier théorème de la médiane: MA2 MB2 =2 MI2 1 2 AB 2
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Le produit scalaire - Labomath
2 y 2 pour un vecteur u x,y 3 Formule du cosinus Soient u et v deux vecteurs non nuls On a u
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PRODUIT SCALAIRE
1ère S Produit Scalaire Cours PRODUIT SCALAIRE Première S - Chapitre 7 Table des V 2 Formules de duplication V 3 Formules de linéarisation
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Produit scalaire - Dominique Frin
$ BC ; $ AB $ AC = AI² – BI² d) Formule d'Al Kashi : Pour tout triangle ABC
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Applications du produit scalaire, cours, première S - Mathsfg - Free
1 2 Cercle et produit scalaire 3 Formules de trigonométrie 6 1 Page 2 Applications du produit scalaire, cours, classe de première S 1 Application au
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LE PRODUIT SCALAIRE - Vincent obaton
4 jan 2007 · 2 4 Produit scalaire et vecteurs orthogonaux Connaıtre et savoir utiliser les formules sur l'aire d'un triangle A G 1 0 22 Premier cas :
NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 14 Soit le triangle ABCet Kle projeté orthogonal de Asur [BC] On donne : AB= 6, BK= 4 et KC= 7 1) Iest le milieu de [BC] et Gest le centre de gravité du triangle ABC
2 Coordonnées et produit scalaire : Exercice 3018 Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; i; j), on considère les deux vecteurs u(x;y) et v (x′;y′) Le produit scalaire des vecteurs u et v est un nombre noté u v défini par: u v = x x′ +y y′ Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit
PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et
1ère S Exercices sur le produit scalaire (1) • Pour les résultats des produits scalaires, on attend la valeur exacte • Pour les exercices 1 à 5 où l’on demande de calculer des produits scalaires, il n’y a pas de
Remarque : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel et non un vecteur C’est bien pour cela que cette opération s’appelle produit scalaire car «scalaire» veut dire «nombre, par opposition à vecteur» (On verra plus loin le pourquoi du mot « produit » dans « produit scalaire » ) ♠ Exercice 2
III) Projection orthogonale et produit scalaire: 1) Définition: (d) est une droite et M un point du plan Le projeté orthogonal de M sur la droite (d) est le point H intersection de la perpendiculaire à (d) passant par le point M et de (d) 2) Propriété • Les vecteurs et sont non nuls tel que et Alors
Il est impératif de mettre le chapeau car il s’agit d’un angle géométrique de vecteurs Si l’on ne met pas de chapeau, alors il s’agit d’un angle orienté de vecteurs ce qui n’est pas possible car le plan n’est pas orienté 4 3 2 cos 4 p a a 4 2 2 2 p a a 2 p a 4 2e méthode : p
3) a) Déterminer au moyen du produit scalaire l'équation du cercle(c) de diamètre [AC] b) En déduire son centre et son rayon 4) Dans le triangle ABC, déterminer l'équation de la hauteur issue de B, que l'on appellera
LE PRODUIT SCALAIRE ( En premi`ere S ) Derni`ere mise a jour : Jeudi 4 Janvier 2007 Vincent OBATON, Enseignant au lyc´ee Stendhal de Grenoble ( Ann´ee 2006-2007 )
www mathsenligne net PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE EXERCICES 2D EXERCICE 2D 1 1 On considère un triangle ABC rectangle en A Ecrire la relation de Pythagore pour ce triangle 2 a On note u = AB et v = AC Démontrer que dans ce cas BC = v – u (Remarque : puisque le triangle est rectangle en A, on dit que les vecteurs
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