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TD5 Rang d’une famille de vecteurs Matrices et Applications
Université Paris-Saclay Algèbre linéaire/EC221 Année 2019-2020 S2 du L1 Mathématique TD5 Rang d’une famille de vecteurs Matrices et Applications linéaires |
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Chapitre 2 : Familles libres familles génératrices bases
Exemple 1 Dans R3 la famille de vecteurs (u 1u 2u 3) avec u 1 = (121) v 2 = (−131) et u 3 = (−1135) est liée puisque 2u 1 +3u 2 −u3 = 0 et que (23−1) ̸= (0 00) Une famille nie de vecteurs (u 1 u n) est libre si elle n'est pas liée c'est à dire que pour toute famille de scalaires λ 1 λ n∈Ket toute |
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Théorie du rang Systèmes linéaires
Observons au passage que la définition du rang d’une famille de vecteurs s’applique à toute famille finie de formes linéaires de l’espace dual : E := L(E;K); et alors on appelle rang d’une famille de formes linéaires : f 1;f 2;:::;f n ˆE; la dimension du sous-espace vectoriel de E qu’elles engendrent |
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Rang des systèmes de vecteurs
Le rang d’un syst`eme de vecteurs ne change pas quand on change l’ordre des vecteurs quand on multiplie (ou divise) un vecteur par un nombre non nul quand on ajoute (ou retranche) `a un vecteur une combinaison des autres quand on ajoute (ou retranche) au syst`eme un nouveau vecteur qui est combinaison lin ́eaire des anciens |
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Matrices et applications linéaires
Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs |
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Chapitre 1 : Espaces vectoriels
une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E Tout vecteur de E de la forme au11++ où les est appelé 1 p pp ii i au au = =∑ GGG ai ∈\\ combinaison linéaire des vecteurs ui G ip=1 (2) L’ensemble de toutes ces combinaisons linéaires que l’on désigne par vect()u1up est GG appelé sous-espace vectoriel engendré par |
Qu'est-ce que le rang d'une famille de vecteurs ?
Nous allons voir que dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, l’étude des applications linéaires se ramène à l’étude des matrices, ce qui facilite les calculs. 1. Rang d’une famille de vecteurs Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs. 1.1. Définition
Comment obtenir une famille de vecteurs Libre ?
Théorème 3.4. Dans un espace vectoriel F de dimension m > 1, pour qu’une famille de n > 1 vecteurs soit libre, il faut et il suffit que l’on puisse extraire, de la matrice de ces vecteurs dans une base quelconque, une matrice carrée d’ordre n qui soit inversible, i.e. ait un déterminant non nul.
Comment calculer le rang d’une famille de vecteurs ?
Calculer le rang d’une famille de vecteurs n’est pas toujours évident, cependant il y a des inégalités qui découlent directement de la définition. Proposition 1. p) p : le rang est inférieur ou égal au nombre d’éléments dans la famille. Remarque. Le rang d’une famille vaut 0 si et seulement si tous les vecteurs sont nuls. est libre. Exemple 1. 1.
Quel est le rang de la famille FV1, V2, v3g ?
1 B 1 1 C C . Comme la dernière matrice est échelonnée par colonnes et que ses 3 colonnes sont non nulles, on en déduit que la famille fv1, v2, v3g constituée de 3 vecteurs est de rang 3, et donc qu’elle est libre dans R5. Exemple 5. = ( ) = ( v3 ) 3,2,1 et 1,2,2 . = ( v4 ) = ( ) Montrons que la famille fv1, v2, v3, v4g engendre R3.
1. Rang d’une famille de vecteurs
Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs. exo7.emath.fr
1.2. Rang d’une matrice
Une matrice peut être vue comme une juxtaposition de vecteurs colonnes. exo7.emath.fr
Définition 2.
On définit le rang d’une matrice comme étant le rang de ses vecteurs colonnes. exo7.emath.fr
+ Cj, Ci Cj,
la matrice est alors le nombre de colonnes non nulles. Remarque : la méthode de Gauss classique concerne les opérations sur les lignes et aboutit à une matrice échelonnée par rapport aux lignes. Les opérations sur les colonnes de A correspondent aux opérations sur les lignes de la matrice transposée AT. exo7.emath.fr
1.5. Rang et matrice inversible
Nous anticipons sur la suite, pour énoncer un résultat important : Théorème 1 (Matrice inversible et rang). Une matrice carrée de taille n est inversible si et seulement si elle est de rang n. La preuve repose sur plusieurs résultats qui seront vus au fil de ce chapitre. Démonstration. Soit A une matrice carrée d’ordre n. Soit f l’endomorphisme de
2. Applications linéaires en dimension finie
Lorsque f : E F est une application linéaire et que E est de dimension finie, la théorie de la dimension fournit de nouvelles propriétés très riches pour l’application linéaire f . exo7.emath.fr
2.4. Application linéaire entre deux espaces de même dimension
Rappelons qu’un isomorphisme est une application linéaire bijective. Un isomorphisme implique que les espaces vectoriels de départ et d’arrivée ont la même dimension. La bijection réciproque est aussi une application linéaire. exo7.emath.fr
Théorème 4.
Soit f : E F une application linéaire avec E et F de dimension finie. Supposons dim E dim F. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : = f est bijective f est injective f est surjective Autrement dit, dans le cas d’une application linéaire entre deux espaces de même dimension, pour démontrer qu’elle est bijective, il suffit de démontrer
f M MA.
( ) = f est une application linéaire, car f M N M ( + ) = ( + f est injective : en effet supposons f M O (où N f M f N = ) ( ) + ( ). O est la matrice nulle), cela donne ( ) = cette égalité par B à droite, ainsi MAB OB, donc MI O, donc M = = O. = (c) Par le théorème 4, f est donc aussi surjective. MA O. On multiplie = (d) Comme f est surje
3. Matrice d’une application linéaire
Nous allons voir qu’il existe un lien étroit entre les matrices et les applications linéaires. À une matrice on associe naturellement une application linéaire. Et réciproquement, étant donné une application linéaire, et des bases pour les espaces vectoriels de départ et d’arrivée, on associe une matrice. Dans cette section, tous les espaces vectori
C A B D A
= + = Autrement dit : la matrice associée à la somme de deux applications linéaires est la somme des matrices (à condition de considérer la même base sur l’espace de départ pour les deux applications et la même base sur l’espace d’arrivée). Idem avec le produit par un scalaire. Le plus important sera la composition des applications linéaires. exo7.emath.fr
3.3. Matrice d’un endomorphisme
Dans cette section, on étudie le cas où l’espace de départ et l’espace d’arrivée sont identiques : f : E E est un endomorphisme. Si dim E n, = alors chaque matrice associée à f est une matrice carrée de taille n n. Deux situations : • Si on choisit la même base B au départ et à l’arrivée, alors on note simplement MatB( f la matrice associée à ) f
Exemple 15.
Soit r la matrice de la rotation d’angle dans R2. La matrice de rp est : rp MatB( ) = p r MatB( ) = cos sin sin p cos Un calcul par récurrence montre ensuite que cos p sin p MatB( rp ( ) ( ) , ) = sin p cos p ( ) ( ) ce qui est bien la matrice de la rotation d’angle p : composer p fois la rotation d’angle revient à effectuer une rotation d’angl
BA 1
( ) = ce qui, en termes d’applications linéaires, signifie que s r est son propre inverse. exo7.emath.fr
4.2. Matrice de passage d’une base à une autre
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On sait que toutes les bases de E ont n éléments. exo7.emath.fr
4.4. Matrices semblables
Les matrices considérées dans ce paragraphe sont des matrices carrées, éléments de Mn( K . ) exo7.emath.fr
B P 1AP.
= C’est un bon exercice de montrer que la relation « être semblable » est une relation d’équivalence dans l’ensemble Mn(K) : exo7.emath.fr
Proposition 14.
La relation est réflexive : une matrice A est semblable à elle-même. La relation est symétrique : si A est semblable à B, alors B est semblable à A. La relation est transitive : si A est semblable à B, et B est semblable à C, alors A est semblable à C. exo7.emath.fr
Corollaire 4.
Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme, mais exprimé dans des bases différentes. exo7.emath.fr
Matrices et applications linéaires
Rang dune famille de vecteurs + exemple ( partie 8 )
COMMENT MONTRER QUUNE FAMILLE DE VECTEURS EST UNE BASE (LIBRE/GÉNÉRATRICE)
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Matrice et application linéaire
Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs. 1.1. Définition. Soient E un -espace |
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Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
vecteurs ne sont pas colinéaires ils forment une famille libre et génératrice de Attention de ne pas confondre le rang et le cardinal d'une famille ! |
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1. Famille libre
Montrer que H et Vect(v) sont des sous-espaces supplémentaires dans E. 6. Rang d'une famille de vecteurs. Définition 6. Soit E un K-espace vectoriel et {v1. |
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Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1
(2) Quel est le rang de la famille {e1e2 |
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120: Dimension dun espace vectoriel. Rang. Exemples et applications
4 mars 2010 Inversément si on considère une famille libre d'une ev de dimension finie on peut le compléter en une base. Lemme 2. On considère p vecteurs et ... |
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Rang des syst`emes de vecteurs
comme un syst`eme de deux vecteurs lignes : ( (83 |
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Espaces vectoriels
Rang d'une famille de vecteurs. 1. Structure d'espace vectoriel a) Dé nition et exemples. Dans tout le chapitre K désigne R ou C. Dé nition 1.1 (Axiomes). |
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Rappels sur les applications linéaires
On appelle rang de A le rang de la famille formée par les vecteurs colonnes de A. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f ? L (EF). |
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Dimension dun espace vectoriel. Rang. Exemples et applications
Aspect algorithmique : on écrit la matrice formée des vecteurs colonnes dans une base fixée de E |
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III. Espaces vectoriels
Soit v1 |
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| Espaces vectoriels (et affines). Chap. 04 : cours complet. |
le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Par exemple, pour une famille de vecteurs ...Rang d'une matrice · Exemple · Rang d'une forme quadratique
Comment déterminer le rang d'une famille de vecteurs ?
Le rang d'une famille vaut 0 si et seulement si tous les vecteurs sont nuls.
. Le rang d'une famille {v1,, vp} vaut p si et seulement si la famille {v1,, vp} est libre.
. Exemple 1.
. Le rang d'une famille {v1,, vp} vaut p si et seulement si la famille {v1,, vp} est libre.
. Exemple 1.
Comment calculer le rang des vecteurs ?
Le rang d'un syst`eme de vecteurs augmente de 1 quand on lui ajoute un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire des autres. Le rang d'un syst`eme de vecteurs de Rn est égal au nombre de ces vecteurs sauf si l'un d'entre eux est combinaison linéaire des autres.
Qu'est-ce que le rang de F ?
Le théorème du rang où rg f désigne la dimension de l'image de f.
. Ce théorème résulte immédiatement du fait que pour tout sous-espace vectoriel V de E, on ait dim E = dim E/V + dim V et du théorème de factorisation d'après lequel E/ker(f) est isomorphe à im(f).
. Ce théorème résulte immédiatement du fait que pour tout sous-espace vectoriel V de E, on ait dim E = dim E/V + dim V et du théorème de factorisation d'après lequel E/ker(f) est isomorphe à im(f).
Comment déterminer le rang d'un endomorphisme ?
La dimension de E est 3n, donc r?i=1ki=3n.
. De plus, le rang de f est 2n, donc r?i=1(ki?1)=2n.
. Ces deux équations impliquent r=n.
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. Ces deux équations impliquent r=n.
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Dimension dun espace vectoriel Rang Exemples et applications
Aspect algorithmique : on écrit la matrice formée des vecteurs colonnes, dans une base fixée de E, d'une famille génératrice de F auxquels on rajoute le vecteur |
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Matrice et application linéaire - Exo7 - Cours de mathématiques
Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs 1 1 Définition Soient E un -espace vectoriel et |
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Dimension et rang ***
1◦ Trois notions de rang ? (a) Rang d'une famille de vecteurs C'est par définition la dimension de l'espace vectoriel qu'elle engendre, i e la dimension de |
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Montrer que H et Vect(v) sont des sous-espaces supplémentaires dans E 6 Rang d'une famille de vecteurs Définition 6 Soit E un K-espace vectoriel et {v1, |
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On définit le rang d’une matrice comme étant le rang de ses vecteurs colonnes Exemple 2 Le rang de la matrice A= 1 2 1 2 0 2 4 1 0 2M2,4(K) est par définition le rang de la famille de vecteurs de K2: § v1 = 1 2,v2 = 2 4,v3 = • 1 2 1 −,v4 = 0 0 “ Tous ces vecteurs sont colinéaires à v1, donc le rang de la famille fv1,v2,v3
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Correctiondel’exercice1 10(Rangd’unefamilledevecteurs) Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace engendr´e par ces vecteurs 1 Soient u1 = (1,−1,2), u2 = (2,3,3) et u3 = (2,−7,7) La famille{ u1, u2, u3} est libre (son d´eterminant est non-nul) et est donc une base de R3 Son rang est donc 3 2 u1 = (1,0,0,−
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Théorème 23 8 (rang, famille libre, génératrice ou base) On ne modi e pas le rang d'une famille de vecteurs lorsque : on retire le vecteur nul de la famille si celui-ci y apparaît, on permute les vecteurs de la famille,
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k sont aussi dans B, de sorte que xest une combinaison lin´eaire de vecteurs de B, c’est-`a-dire, un ´el´ement de vectB On a donc encore vectA⊂ vectB (2) Supposons que A= vectA Puisque vectAest un sous-espace vectoriel, il en est de mˆeme de A R´eciproquement, supposons que Asoit un sous-espace vectoriel, et montrons que A= vectA
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Sous espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs Comment déterminer dans la pratique le rang d 'une famille de vecteurs? |
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Matrices et applications linéaires - partie 1 : rang d'une famille
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Familles libres base dimension rang applin dans R n [PDF
Source:https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/cm/img187.gif
Rang d'une matrice
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Le rang
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