108 - Exemples de parties génératrices dun groupe. Applications. 1

212195

108 - Exemples de parties g

eneratrices d'un groupe.Applications.

Version raisonnable1 Generalites

Denition 1.1.SoitGun groupe etPGune partie. Le sous-groupe deGengendre parPest le plus petit sous-groupe (au sens de l'inclusion) deGcontenantP. On le notehPi. Remarque 1.2.Ce sous-groupe est bien deni, et il est unique. On dispose en eet de deux caracterisations dehPi:

1. une description interne :

hPi=fg"11:::g"rr:gi2P; "i=1;8ig:

2. une description externe :

hPi=\ H < G PHH :

Exemples :

| Le sous-groupe deGengendre par l'ensemble vide est le sous-groupe reduit a l'element neutre. | SiH < Gest un sous-groupe, alorshHi=H. | SiG=Z, on ahf1gi=hf1gi=Z,hf2gi= 2Zest le sous-groupe des entiers pairs, ethf2;3gi=Z. Denition 1.3.SoitGun groupe. Le sous-groupe derive deG, noteD(G), est le sous-groupe deGengendre par les commutateurs deG, i.e. les elements de la forme [g;h] :=ghg1h1. Proposition 1.4.Le sous-groupeG(G)< Gest distingue, etGab:=G=D(G)est le plus grand quotient abelien deG, au sens suivant : pour tout groupe abelienAmuni d'un morphisme':G!A, il existe un unique morphisme':Gab!Atel que '=', ou:G!Gabest la surjection canonique. Denition 1.5.On dit qu'une partiePGest generatrice sihPi=G.

Exemples :

|Gest une partie generatrice deG. | L'ensemble des commutateurs est une partie generatrice deD(G).

|f1getf2;3gsont des parties generatrices deZ.| Une partie generatrice du groupe sous-jacent a un espace vectoriel est une famille

generatrice de cet espace. | SoitGun groupe ni, etple plus petit facteur premier dejGj. Alors toute partie de cardinal>jGjp est generatrice. Denition 1.6.Un groupeGest dit de type ni s'il admet une partie generatrice nie.

Exemples :

| Un groupe ni est de type ni. | Pour toutn2N,Znest de type ni. | Tout quotient d'un groupe de type ni est de type ni. | SoitH /Gun sous-groupe distingue. SiHetG=Hsont de type ni, alorsGest de type ni. |QetRne sont pas de type ni.

2 Groupes abeliens

2.1 Groupes monogenes

Denition 2.1.Un groupeGest dit monogene s'il est engendre par un seul element.

Un groupe cyclique est un groupe monogene ni.

Exemples :

|ZetZ=nZsont monogenes. | Un groupe d'ordre premier est cyclique. |Z2n'est pas monogene. Lemme 2.2.SoitGun groupe etHun sous-groupe du centreZ(G)deG.

SiG=Hest monogene, alorsGest abelien.

Corollaire 2.3.Soitpun nombre premier. Tout groupe d'ordrep2est abelien. Proposition 2.4.SoitGun groupe monogene, muni d'un generateurg0.

1. Sig0est d'ordre ni (egal an), alorsGest isomorphe aZ=nZ.

2. Sig0n'est pas d'ordre ni, alorsGest isomorphe aZ.

Autrement dit, les groupes monogenes sont exactement lesZ=nZet le groupeZ.

108 - Exemples de parties g

eneratrices d'un groupe.Applications.

Version raisonnable1 Generalites

Denition 1.1.SoitGun groupe etPGune partie. Le sous-groupe deGengendre parPest le plus petit sous-groupe (au sens de l'inclusion) deGcontenantP. On le notehPi. Remarque 1.2.Ce sous-groupe est bien deni, et il est unique. On dispose en eet de deux caracterisations dehPi:

1. une description interne :

hPi=fg"11:::g"rr:gi2P; "i=1;8ig:

2. une description externe :

hPi=\ H < G PHH :

Exemples :

| Le sous-groupe deGengendre par l'ensemble vide est le sous-groupe reduit a l'element neutre. | SiH < Gest un sous-groupe, alorshHi=H. | SiG=Z, on ahf1gi=hf1gi=Z,hf2gi= 2Zest le sous-groupe des entiers pairs, ethf2;3gi=Z. Denition 1.3.SoitGun groupe. Le sous-groupe derive deG, noteD(G), est le sous-groupe deGengendre par les commutateurs deG, i.e. les elements de la forme [g;h] :=ghg1h1. Proposition 1.4.Le sous-groupeG(G)< Gest distingue, etGab:=G=D(G)est le plus grand quotient abelien deG, au sens suivant : pour tout groupe abelienAmuni d'un morphisme':G!A, il existe un unique morphisme':Gab!Atel que '=', ou:G!Gabest la surjection canonique. Denition 1.5.On dit qu'une partiePGest generatrice sihPi=G.

Exemples :

|Gest une partie generatrice deG. | L'ensemble des commutateurs est une partie generatrice deD(G).

|f1getf2;3gsont des parties generatrices deZ.| Une partie generatrice du groupe sous-jacent a un espace vectoriel est une famille

generatrice de cet espace. | SoitGun groupe ni, etple plus petit facteur premier dejGj. Alors toute partie de cardinal>jGjp est generatrice. Denition 1.6.Un groupeGest dit de type ni s'il admet une partie generatrice nie.

Exemples :

| Un groupe ni est de type ni. | Pour toutn2N,Znest de type ni. | Tout quotient d'un groupe de type ni est de type ni. | SoitH /Gun sous-groupe distingue. SiHetG=Hsont de type ni, alorsGest de type ni. |QetRne sont pas de type ni.

2 Groupes abeliens

2.1 Groupes monogenes

Denition 2.1.Un groupeGest dit monogene s'il est engendre par un seul element.

Un groupe cyclique est un groupe monogene ni.

Exemples :

|ZetZ=nZsont monogenes. | Un groupe d'ordre premier est cyclique. |Z2n'est pas monogene. Lemme 2.2.SoitGun groupe etHun sous-groupe du centreZ(G)deG.

SiG=Hest monogene, alorsGest abelien.

Corollaire 2.3.Soitpun nombre premier. Tout groupe d'ordrep2est abelien. Proposition 2.4.SoitGun groupe monogene, muni d'un generateurg0.

1. Sig0est d'ordre ni (egal an), alorsGest isomorphe aZ=nZ.

2. Sig0n'est pas d'ordre ni, alorsGest isomorphe aZ.

Autrement dit, les groupes monogenes sont exactement lesZ=nZet le groupeZ.