Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur

212010

Fonction logarithme : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

jaicompris.com

Savoir calculer avec des logarithmes

Simplier les expressions suivantes :

a) ln6ln2 b) lne2c) ln1e xd)eln4 e)e2ln5f)eln3g) lnpeh) lnexResoudre des equations avec des logarithmes et exponentielles

Resoudre dansRles equations suivantes :

a) lnx= 4 b) ln(2x) = 0 c) lnx=1 d)e32x= 5 e) 2ex+ 10 = 6 f) 2lnx+ 6 = 0Resoudre dansRles equations suivantes : a) ln(2x+ 1) + lnx= 0 b) ln(2x)2lnx= 0 c) lnx2= (lnx)2

Equation avec des logarithmes - Piege classique!

On souhaite resoudre dansRl'equation : ln(6x2) + ln(2x1) = ln(x).

Clara arme que cette equation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justier.Resoudre des inequations avec des logarithmes

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a) ln(x)<2 b) ln 1 +2x lnx0 c) (lnx)2+ ln1x

0Resoudre dansR, les inequations suivantes :

a) ln(3x) 2 b) ln(lnx)<0Resoudre des inequations avec des exponentielles

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a)ex>2 b) 4e3x0 c)e1x20 d)e2x2ex0Resoudre dansRles equations et inequations suivantes :

a) ln(x+ 1)ln(2x) = 0 b) ln(x+ 1)ln(2x)0 c) lnx+ ln(3x+ 2)>0Resoudre des equations avec des logarithmes en utilisant un changement d'inconnue

1) Resoudre dansR, l'equationX2+X6 = 0

2) En deduire les solutions des equations suivantes :

a)e2x+ex6 = 0 b) (lnx)2+ lnx6 = 0Signe d'une expression avec des logarithmes Determiner le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indique : a) 1lnxet I=]0;+1[ b) ln(1x) et I=] 1;1[ c) lnex et I=]0;+1[

Etudier une fonction avec des logarithmes

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) = ln(1 +x2).

1) Justier quefest derivable surRpuis determiner, pour toutxreel,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsurR.1

On considere la fonctionfdenie sur ]1;+1[ parf(x) =xlnx.

1) Justier quefest bien denie sur ]1;+1[.

2) Justier quefest derivable sur ]1;+1[ puis determiner, pour toutxde ]1;+1[,f0(x).

3) Determiner le tableau de variations defsur ]1;+1[.On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) = (lnx)2lnx.

1) Justier quefest derivable sur ]0;+1[ puis determiner, pour toutx2]0;+1[,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsur ]0;+1[.Dans chaque cas :

1) Justier que la fonctionfest derivable sur l'intervalle I indique.

2) Determiner la derivee defet le tableau de variations defsur I.

a)f(x) = ln(1ex) et I=] 1;0[ b)f(x) = ln2x

et I=]0;+1[ c)f(x) = ln(1 +ex) et I=RDans chaque cas, determiner la derivee defet le tableau de variations defsur l'intervalle I indique.

a)f(x) =1x + lnxet I=]0;+1[ b)f(x) =xlnxet I=]0;+1[

c)f(x) = ln(x26x+ 10) et I=Rd)f(x) =x2+ 5x3lnxetI=]0;+1[On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e2x3x+ 1.

Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exe

3x+ 4.

1. Justier quefest bien denie surR.

2.Etudier les variations def.On considere la fonctionfdenie sur ]0;[ parf(x) = ln(sinx).

1. Justier quefest bien denie sur ]0;[.

2. Justier quefest derivable sur ]0;[ puis determiner, pour toutxde ]0;[,f0(x).

3. En deduire les variations de la fonctionfsur ]0;[.Limites et logarithme

Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!01lnxb) limx!+1ln2x c) lim x!+1xlnxx2+ 1 d) limx!0xlnxx2+ 1 e) lim x!1ln1 +exf) limx!+1ln1 +exg) limx!01lnxh) lim x!12 ln(1 + 2x)Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!+1xlnxx+ 1b) limx!+1xlnxx

2+ 1c) limx!+1ln2 +x5 +x2

d) lim x!2x>2ln2x2 +x e) lim x!+1lnx(lnx)2f) limx!0lnx(lnx)2g) limx!+1ln(1 +x)x

2h) limx!0ln(1 +x)x

22
L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxetlimx!0lnx

1) a) Completer : Six > :::alors lnx > A

b) Conclure.

2) On poseX=1x

a) Completer limx!0lnx= limX!:::::: b) Conclure.L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxx etlimx!+1lnxpx etlimx!0xlnx

1) On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =xlnx

a)

Etudier les variations def

b) En deduire que pourx >0, lnx < x c) Deduire du b) que pourx >0, lnx <2px d) Conclure.

2) On pose :X=px

a) Completer lim x!+1lnxpx = limX!:::::: b) En deduire lim x!+1lnxpx

3) On pose :X=1x

a) Completer limx!0xlnx= limX!:::::: b) Conclure.a) (un) est une suite geometrique de raisonq= 1:1 etu0=25 Determiner le plus petit entier naturelntel queun100. b) (un) est une suite geometrique de raisonq= 0:9 etu0= 20.

Determiner le plus petit entier naturelntel queun0:1.Dans chaque cas, determiner le plus petit entier naturelntel que :

a) 34
n

102b) 156

n >0:99 c) 5(1:2)n>103Probabilite et logarithme

1) Luc lance une piece non truquee.

Combien de fois doit-il lancer cette piece au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins 1 pile soit superieure a 0.99

2) Lot lance un de non truque a 6 faces.

Combien de fois doit-il lancer ce de au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins un six soit superieure a 0.999.

3) On place un capital a 4% par an en inter^ets composes.

C'est a dire qu'a la n de chaque annee, les inter^ets s'ajoutent au capital. Au bout de combien de temps, le capital aura-t-il double?

4) Michel achete des poissons dans un magasin.

La probabilite qu'un poisson vive plus de deux ans est de 0.1 3 Combien doit-il en acheter au minimum pour la probabilite d'en avoir

encore un vivant apres de 2 ans soit superieure a 0.99On considere les fonctionsfetgdenies sur ]0;+1[ parf(x) = lnxetg(x) = (lnx)2

On noteCfetCgles courbes representatives defetg.

1)

Etudier les positions relatives deCfetCg.

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Simplier les expressions suivantes :

a) ln6ln2 b) lne2c) ln1e xd)eln4 e)e2ln5f)eln3g) lnpeh) lnexResoudre des equations avec des logarithmes et exponentielles

Resoudre dansRles equations suivantes :

a) lnx= 4 b) ln(2x) = 0 c) lnx=1 d)e32x= 5 e) 2ex+ 10 = 6 f) 2lnx+ 6 = 0Resoudre dansRles equations suivantes : a) ln(2x+ 1) + lnx= 0 b) ln(2x)2lnx= 0 c) lnx2= (lnx)2

Equation avec des logarithmes - Piege classique!

On souhaite resoudre dansRl'equation : ln(6x2) + ln(2x1) = ln(x).

Clara arme que cette equation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justier.Resoudre des inequations avec des logarithmes

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a) ln(x)<2 b) ln 1 +2x lnx0 c) (lnx)2+ ln1x

0Resoudre dansR, les inequations suivantes :

a) ln(3x) 2 b) ln(lnx)<0Resoudre des inequations avec des exponentielles

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a)ex>2 b) 4e3x0 c)e1x20 d)e2x2ex0Resoudre dansRles equations et inequations suivantes :

a) ln(x+ 1)ln(2x) = 0 b) ln(x+ 1)ln(2x)0 c) lnx+ ln(3x+ 2)>0Resoudre des equations avec des logarithmes en utilisant un changement d'inconnue

1) Resoudre dansR, l'equationX2+X6 = 0

2) En deduire les solutions des equations suivantes :

a)e2x+ex6 = 0 b) (lnx)2+ lnx6 = 0Signe d'une expression avec des logarithmes Determiner le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indique : a) 1lnxet I=]0;+1[ b) ln(1x) et I=] 1;1[ c) lnex et I=]0;+1[

Etudier une fonction avec des logarithmes

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) = ln(1 +x2).

1) Justier quefest derivable surRpuis determiner, pour toutxreel,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsurR.1

On considere la fonctionfdenie sur ]1;+1[ parf(x) =xlnx.

1) Justier quefest bien denie sur ]1;+1[.

2) Justier quefest derivable sur ]1;+1[ puis determiner, pour toutxde ]1;+1[,f0(x).

3) Determiner le tableau de variations defsur ]1;+1[.On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) = (lnx)2lnx.

1) Justier quefest derivable sur ]0;+1[ puis determiner, pour toutx2]0;+1[,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsur ]0;+1[.Dans chaque cas :

1) Justier que la fonctionfest derivable sur l'intervalle I indique.

2) Determiner la derivee defet le tableau de variations defsur I.

a)f(x) = ln(1ex) et I=] 1;0[ b)f(x) = ln2x

et I=]0;+1[ c)f(x) = ln(1 +ex) et I=RDans chaque cas, determiner la derivee defet le tableau de variations defsur l'intervalle I indique.

a)f(x) =1x + lnxet I=]0;+1[ b)f(x) =xlnxet I=]0;+1[

c)f(x) = ln(x26x+ 10) et I=Rd)f(x) =x2+ 5x3lnxetI=]0;+1[On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e2x3x+ 1.

Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exe

3x+ 4.

1. Justier quefest bien denie surR.

2.Etudier les variations def.On considere la fonctionfdenie sur ]0;[ parf(x) = ln(sinx).

1. Justier quefest bien denie sur ]0;[.

2. Justier quefest derivable sur ]0;[ puis determiner, pour toutxde ]0;[,f0(x).

3. En deduire les variations de la fonctionfsur ]0;[.Limites et logarithme

Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!01lnxb) limx!+1ln2x c) lim x!+1xlnxx2+ 1 d) limx!0xlnxx2+ 1 e) lim x!1ln1 +exf) limx!+1ln1 +exg) limx!01lnxh) lim x!12 ln(1 + 2x)Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!+1xlnxx+ 1b) limx!+1xlnxx

2+ 1c) limx!+1ln2 +x5 +x2

d) lim x!2x>2ln2x2 +x e) lim x!+1lnx(lnx)2f) limx!0lnx(lnx)2g) limx!+1ln(1 +x)x

2h) limx!0ln(1 +x)x

22
L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxetlimx!0lnx

1) a) Completer : Six > :::alors lnx > A

b) Conclure.

2) On poseX=1x

a) Completer limx!0lnx= limX!:::::: b) Conclure.L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxx etlimx!+1lnxpx etlimx!0xlnx

1) On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =xlnx

a)

Etudier les variations def

b) En deduire que pourx >0, lnx < x c) Deduire du b) que pourx >0, lnx <2px d) Conclure.

2) On pose :X=px

a) Completer lim x!+1lnxpx = limX!:::::: b) En deduire lim x!+1lnxpx

3) On pose :X=1x

a) Completer limx!0xlnx= limX!:::::: b) Conclure.a) (un) est une suite geometrique de raisonq= 1:1 etu0=25 Determiner le plus petit entier naturelntel queun100. b) (un) est une suite geometrique de raisonq= 0:9 etu0= 20.

Determiner le plus petit entier naturelntel queun0:1.Dans chaque cas, determiner le plus petit entier naturelntel que :

a) 34
n

102b) 156

n >0:99 c) 5(1:2)n>103Probabilite et logarithme

1) Luc lance une piece non truquee.

Combien de fois doit-il lancer cette piece au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins 1 pile soit superieure a 0.99

2) Lot lance un de non truque a 6 faces.

Combien de fois doit-il lancer ce de au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins un six soit superieure a 0.999.

3) On place un capital a 4% par an en inter^ets composes.

C'est a dire qu'a la n de chaque annee, les inter^ets s'ajoutent au capital. Au bout de combien de temps, le capital aura-t-il double?

4) Michel achete des poissons dans un magasin.

La probabilite qu'un poisson vive plus de deux ans est de 0.1 3 Combien doit-il en acheter au minimum pour la probabilite d'en avoir

encore un vivant apres de 2 ans soit superieure a 0.99On considere les fonctionsfetgdenies sur ]0;+1[ parf(x) = lnxetg(x) = (lnx)2

On noteCfetCgles courbes representatives defetg.

1)

Etudier les positions relatives deCfetCg.