Exponentielle et logarithme
y = ln(x) ln(a). Lien exponentielle et logarithme. La fonction exponentielle (de base e) et la ... Équations et d'inéquations avec des exponentielles.
exponentielle et logarithme
TERMINALE A1
fonctions rationnelles Fonction logarithme népérien
PROGR ED Math TLE A APC
ln » : 2 Étude de la fonction logarithme népérien
Université de Paris-Sud *. 1 Définition de la fonction « ln » : Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0 l'unique solution a de l'équation
logn
DPFC
Curriculaire de l'Université du Québec à Montréal qui nous a accompagnés dans le recadrage des inéquations faisant intervenir le logarithme népérien.
.Prog Educt maths TA CND
La fonction logarithme népérien Terminale
Logarithme népérien d'un nombre strictement positif a) Définition Résoudre les équations ou inéquations suivantes : • e−3x > 18. • e1−2x ⩾.
chapitre fonction logarithme neperien
DPFC
népérienne ou la fonction logarithme népérien. Représenter graphiquement l'ensemble des solutions d'un système de deux ou trois inéquations du premier degré
.Prog Educt maths TA CND
TERMINALE A2
fonctions rationnelles Fonction logarithme népérien
PROGR ED Math TLE A APC
Cours de Mathématiques - Terminale STG
SYSTEMES LINEAIRES D' INEQUATIONS A 2 INCONNUES . Résolution graphique d'un système d'inéquations à 2 inconnues . ... Fonction logarithme népérien.
TSTG
Cours de mathématiques fondamentales 1 année DUT GEA
9 déc. 2008 1.7 Systèmes d'inéquations linéaires . ... 4.2.3 Le logarithme népérien . ... 4.3 Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes .
CoursGEAS
Fascicule d'exercices
Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. I. Logarithmes et exponentielles. Exercice 1 : Correction. Rappel : ln(2) ln(11) ...
melodelima christelle p
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud
1 Définition de la fonction "ln» :
Définition 1On appellelogarithme népériendu réelm >0, l"unique solutionade l"équationex=m.
On note cette solutiona= ln(m).
Définition 2On appellefonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réelx >0associe le réelln(x), tel que : x >0et y= ln(x)?ey=xPropriétés de la fonctionln:
1.Relations fonctionnelles :
?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,?n?Z,?p?N?, ln(1) = 0etln(e) = 1 ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ln?1 b? =-ln(b), ln ?a b? = ln(a)-ln(b) ln(an) =nln(a) ln(p⎷a) =1pln(a).2.Identités :
(a)?x?R,ln(ex) =x, (b)?x >0,eln(x)=x. On peut définir la fonctionlnd"une autre manière :Conséquence de la définition 2 et définition 3Il existe une unique fonctionfdéfinie et dérivable
sur]0,+∞[telle que?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,f(a×b) =f(a) +f(b), etf?(1) = 1. Cette fonction
est la fonction logarithme népérien.Démonstration
: Remarquons d"abord que?a?]0,+∞[,f(a×1) =f(a)+f(1), doncf(1) = 0. Soit la fonction définie sur]0,+∞[telle queg(x) =f(ax)-f(x), avec?a >0.g(x) =f(a)+f(x)-f(x), donc gest constante. Commegest dérivable,g?(x) =af?(ax)-f?(x) = 0, d"oùaf?(ax) =f?(x). Pourx= 1, on obtientaf?(a) =f?(1) = 1. Doncf?(a) =1 a,?a >0. Si on poseu(x) =f(x)-ln(x),?x?]0,+∞[, u ?(x) = 0, etuest une fonction constante. Commeu(1) =f(1)-ln(1) = 0,u= 0, et?x?]0,+∞[, f(x) = ln(x). Réciproquement, la fonctionlnvérifie les conditions de l"énoncé.?2 Étude de la fonction logarithme népérien :
On considère la fonction :
ln : ]0,+∞[→R x?→y= ln(x)tel que x=ey ?Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 11.Ensemble de définition :La fonctionlnest définie sur]0,+∞[.
2.Limites et asymptotes :
Pour la fonctionln, on a les limites suivantes,?n?N: lim x→0+ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞ lim x→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x) x= 0 lim x→0+xnln(x) = 0 limx→+∞ln(x) xn= 0On retiendra la règle suivante : à l"infini, toute fonction puissance l"emporte toujours sur la fonction
logarithme népérien et impose sa limite.On a aussilimx→0
x?=0ln(1 +x) x= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en0de la fonctionln. Pour xsuffisamment petit,ln(1 +x)est donc très proche dex, ce que l"on peut écrireln(1 +x)≂x. On constate également que l"axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonctionlnen-∞.3.Sens de variation :
La fonctionlnest définie, continue et dérivable sur]0,+∞[. On aln?(x) =1x, ?x?]0,+∞[, donc?x?]0,+∞[,ln?(x)>0, etlnest une fonction strictement croissante sur ]0,+∞[. x ln ?(x) ln(x)04.La bijectionln:
Comme la fonctionlnest continue sur]0,+∞[, puisque dérivable sur]0,+∞[,et qu"elle est strictement croissante sur]0,+∞[, c"est une bijection de]0,+∞[surR, et on a alors :
ln(x) = 0?x= 1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a) = ln(b)?a=b(bijection), ln(x)>0?x >1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)>ln(b)?a > b(croissance), ln(x)<0?0< x <1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)à la courbe enx= 1esty=x-1.
6.Courbe représentative :
O? i? j xy y= ln(x) 23 Logarithme décimal :
Définition 4On appellefonction logarithme décimalla fonction notéelogqui, à tout réelx >0
associe le réellog(x) =ln(x) ln(10).Propriétés de la fonctionlog:
1. La fonctionlogest définie et dérivable sur]0,+∞[, etlog?(x) =1
xln(10).2. La fonctionlogest strictement croissante sur]0,+∞[, carln(10)>0.
3.Relations fonctionnelles :
?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,?n?Z,?p?N?, log(1) = 0etlog(10) = 1 log(a×b) = log(a) + log(b) log?1 b? =-log(b), log ?a b? = log(a)-log(b) log(an) =nlog(a) log(p⎷a) =1plog(a).5.Identités :
(a)?x?R,log(10x) =x, (b)?x >0,10log(x)=x.4 Fonctions composées avecln:
Soituune fonction définie, dérivable et strictement positive surun intervalleIdeR. On considère
la fonction composéeg= ln◦u.Propriétés
1. La fonctiongest définie, dérivable surIetg?(x) =u?(x)
u(x). Le signe deg?(x)est le même que celui deu?(x).2. Les fonctionsuetg= ln◦uont les mêmes variations surI.
3. Soitaun nombre réel donné, ou+∞, ou-∞, et soitb?R+:
(a) Silimx→au(x) = +∞, alorslimx→aln(u(x)) = +∞, (b) Silimx→au(x) = 0+, alorslimx→aln(u(x)) =-∞, (c) Silimx→au(x) =b, alorslimx→aln(u(x)) = ln(b).FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud
1 Définition de la fonction "ln» :
Définition 1On appellelogarithme népériendu réelm >0, l"unique solutionade l"équationex=m.
On note cette solutiona= ln(m).
Définition 2On appellefonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réelx >0associe le réelln(x), tel que : x >0et y= ln(x)?ey=xPropriétés de la fonctionln:
1.Relations fonctionnelles :
?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,?n?Z,?p?N?, ln(1) = 0etln(e) = 1 ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ln?1 b? =-ln(b), ln ?a b? = ln(a)-ln(b) ln(an) =nln(a) ln(p⎷a) =1pln(a).2.Identités :
(a)?x?R,ln(ex) =x, (b)?x >0,eln(x)=x. On peut définir la fonctionlnd"une autre manière :Conséquence de la définition 2 et définition 3Il existe une unique fonctionfdéfinie et dérivable
sur]0,+∞[telle que?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,f(a×b) =f(a) +f(b), etf?(1) = 1. Cette fonction
est la fonction logarithme népérien.Démonstration
: Remarquons d"abord que?a?]0,+∞[,f(a×1) =f(a)+f(1), doncf(1) = 0. Soit la fonction définie sur]0,+∞[telle queg(x) =f(ax)-f(x), avec?a >0.g(x) =f(a)+f(x)-f(x), donc gest constante. Commegest dérivable,g?(x) =af?(ax)-f?(x) = 0, d"oùaf?(ax) =f?(x). Pourx= 1, on obtientaf?(a) =f?(1) = 1. Doncf?(a) =1 a,?a >0. Si on poseu(x) =f(x)-ln(x),?x?]0,+∞[, u ?(x) = 0, etuest une fonction constante. Commeu(1) =f(1)-ln(1) = 0,u= 0, et?x?]0,+∞[, f(x) = ln(x). Réciproquement, la fonctionlnvérifie les conditions de l"énoncé.?2 Étude de la fonction logarithme népérien :
On considère la fonction :
ln : ]0,+∞[→R x?→y= ln(x)tel que x=ey ?Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 11.Ensemble de définition :La fonctionlnest définie sur]0,+∞[.
2.Limites et asymptotes :
Pour la fonctionln, on a les limites suivantes,?n?N: lim x→0+ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞ lim x→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x) x= 0 lim x→0+xnln(x) = 0 limx→+∞ln(x) xn= 0On retiendra la règle suivante : à l"infini, toute fonction puissance l"emporte toujours sur la fonction
logarithme népérien et impose sa limite.On a aussilimx→0
x?=0ln(1 +x) x= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en0de la fonctionln. Pour xsuffisamment petit,ln(1 +x)est donc très proche dex, ce que l"on peut écrireln(1 +x)≂x. On constate également que l"axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonctionlnen-∞.3.Sens de variation :
La fonctionlnest définie, continue et dérivable sur]0,+∞[. On aln?(x) =1x, ?x?]0,+∞[, donc?x?]0,+∞[,ln?(x)>0, etlnest une fonction strictement croissante sur ]0,+∞[. x ln ?(x) ln(x)04.La bijectionln:
Comme la fonctionlnest continue sur]0,+∞[, puisque dérivable sur]0,+∞[,et qu"elle est strictement croissante sur]0,+∞[, c"est une bijection de]0,+∞[surR, et on a alors :
ln(x) = 0?x= 1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a) = ln(b)?a=b(bijection), ln(x)>0?x >1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)>ln(b)?a > b(croissance), ln(x)<0?0< x <1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)à la courbe enx= 1esty=x-1.
6.Courbe représentative :
O? i? j xy y= ln(x) 23 Logarithme décimal :
Définition 4On appellefonction logarithme décimalla fonction notéelogqui, à tout réelx >0
associe le réellog(x) =ln(x) ln(10).Propriétés de la fonctionlog:
1. La fonctionlogest définie et dérivable sur]0,+∞[, etlog?(x) =1
xln(10).2. La fonctionlogest strictement croissante sur]0,+∞[, carln(10)>0.
3.Relations fonctionnelles :
?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,?n?Z,?p?N?, log(1) = 0etlog(10) = 1 log(a×b) = log(a) + log(b) log?1 b? =-log(b), log ?a b? = log(a)-log(b) log(an) =nlog(a) log(p⎷a) =1plog(a).5.Identités :
(a)?x?R,log(10x) =x, (b)?x >0,10log(x)=x.4 Fonctions composées avecln:
Soituune fonction définie, dérivable et strictement positive surun intervalleIdeR. On considère
la fonction composéeg= ln◦u.Propriétés
1. La fonctiongest définie, dérivable surIetg?(x) =u?(x)
u(x). Le signe deg?(x)est le même que celui deu?(x).2. Les fonctionsuetg= ln◦uont les mêmes variations surI.
3. Soitaun nombre réel donné, ou+∞, ou-∞, et soitb?R+:
(a) Silimx→au(x) = +∞, alorslimx→aln(u(x)) = +∞, (b) Silimx→au(x) = 0+, alorslimx→aln(u(x)) =-∞, (c) Silimx→au(x) =b, alorslimx→aln(u(x)) = ln(b).- logarithme népérien utilisation
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