Fonctions logarithmes népérien et décimal
La fonction logarithme népérien notée ln
TS courslogarithme
CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME
FONCTION. LOGARITHME DECIMAL. 1. Fonction népérien (logarithme d'une fonction composée). Théorème. Si u
cours chap
LOGARITHME NEPERIEN
On note a = ln b ce qui se lit logarithme népérien de b . On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur ] 0 ...
ln
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 1)
décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles que nous les utilisons La fonction logarithme népérien notée ln
LogT
Annexe B : Le calcul d'incertitude
arrondie pour obtenir le même nombre de décimales que l'incertitude. Logarithme : Prendre le logarithme népérien (ln) de chaque côté de l'équation.
annexe B calcul incertitude
La fonction logarithme
5.2 Application sur le logarithme décimal . La création de la fonction logarithme népérien est à l'origine
La fonction logarithme neperien
La fonction logarithme décimal
Pour x strictement positif log(x) = ln(x) ln(10). (avec ln(10) = 2
LogarithmeDecimal
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. - Dans le domaine scientifique on utilise la fonction logarithme décimale
LogTS
Logarithmes
La fonction logarithme népérien : définie sur ] 0 ; +G [ la dérivée est ( ln x )' = 1 x.
logarithme
Fonction Logarithme népérien 1. De l'exponentielle au logarithme
logarithme en 1 et la limite en 0 de ln(1+x) x . On évoque la fonction logarithme décimal pour son utilité dans les autres disciplines. ◇ [SI] Gain lié à une
Fonctions logarithmes népérien et décimal Table des matières
I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
I.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IIPropriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Logarithmed"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.3 Logarithmed"un produit de nombre positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Logarithmed"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.5 Logarithmed"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III Etude de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.1 Limites en 0 et en+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.2 Continuitéet dérivabilitéde la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.3 Tableau de variation et représentationgraphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III.4 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV Logarithmed"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V Logarithmedécimal (hors-programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I Définition
I.1 Définitions
Rappel :
Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction).D"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelyde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que
e x=y. (voir interprétationgraphique).Chaque réel deRa une image unique dans ]0 ;+∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ;+∞[ a un antécé-
dent unique par cette fonction exponentielle.Définition
On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[. Siex=y, on dit quexest le logarithmenépérien dey.Lafonctionlogarithmenépérien,notéeln,estlafonctiondéfiniesur]0;+∞[qui,àtoutréelx>0,associe
le nombre noté ln(x) ou lnxdont l"exponentiellevautx.Conséquences :
a) Pour tout réelx>0 et tout réely,ey=x?y=lnx. b) Pour tout réelx>0,elnx=x. 1 c) Pour tout réelx, ln(ex)=x.Démonstration :
a) et b) se déduisent directement de la définition. Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(ex); alors d"après a),y=exdoncx=y.Autres conséquences:
ln1=0. En effet,e0=1 et d"après (1), cela équivaut à ln1=0.lne=1. En effet,e1=eet on applique (1).
Pour tout réelλ, l"équation lnx=λa pour unique solutionx=eλ(d"après (1)).Propriété
Dans un repère orthonormal, les courbesCetC?, représentatives des fonctions exponentielle et loga-
rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x.Démonstration :
M?(x;y)?C??y=lnx?x=ey?M(y;x)?C.MetM?sont symétriques par rapport à la droite d"équation y=x, donc les deux courbes également.Page 2/
9 O11 y=x y=lnxy=exPage 3/
9I.2 Sens de variation
Propriété
La fonction logarithmenépérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0 I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 I.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 IIPropriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.2 Logarithmed"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.3 Logarithmed"un produit de nombre positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.4 Logarithmed"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.5 Logarithmed"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 III Etude de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III.1 Limites en 0 et en+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III.2 Continuitéet dérivabilitéde la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III.3 Tableau de variation et représentationgraphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 III.4 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 IV Logarithmed"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 V Logarithmedécimal (hors-programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 D"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelyde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que Chaque réel deRa une image unique dans ]0 ;+∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ;+∞[ a un antécé- Lafonctionlogarithmenépérien,notéeln,estlafonctiondéfiniesur]0;+∞[qui,àtoutréelx>0,associe Dans un repère orthonormal, les courbesCetC?, représentatives des fonctions exponentielle et loga- Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0Conséquences:
Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.
lna=lnb?a=b.
lna
lna<0?a<1.
lna>0?a>1.
Exercices d"application :
a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3. On obtient alors :x=e7-2
3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.
c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante). On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?
d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x
x 2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.
Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[. Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.
Δ=37>0; on trouvex1=1-?
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Fonctions logarithmes népérien et décimal Table des matières
I Définition
I.1 Définitions
Rappel :
Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction). Définition
On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[. Siex=y, on dit quexest le logarithmenépérien dey. Conséquences :
a) Pour tout réelx>0 et tout réely,ey=x?y=lnx. b) Pour tout réelx>0,elnx=x. 1 c) Pour tout réelx, ln(ex)=x. Démonstration :
a) et b) se déduisent directement de la définition. Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(ex); alors d"après a),y=exdoncx=y. Autres conséquences:
ln1=0. En effet,e0=1 et d"après (1), cela équivaut à ln1=0. lne=1. En effet,e1=eet on applique (1).
Pour tout réelλ, l"équation lnx=λa pour unique solutionx=eλ(d"après (1)). Propriété
Démonstration :
M?(x;y)?C??y=lnx?x=ey?M(y;x)?C.MetM?sont symétriques par rapport à la droite d"équation y=x, donc les deux courbes également. Page 2/
9 O11 y=x y=lnxy=ex Page 3/
9 I.2 Sens de variation
Propriété
La fonction logarithmenépérien est strictement croissante sur ]0;+∞[. Conséquences:
Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.
lna=lnb?a=b.
lna
lna<0?a<1.
lna>0?a>1.
Exercices d"application :
a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3. On obtient alors :x=e7-2
3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.
c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante). On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?
d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x
x 2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.
Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[. Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.
Δ=37>0; on trouvex1=1-?
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