Fonctions logarithmes népérien et décimal

218790 Fonctions logarithmes népérien et décimal

Table des matières

I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

I.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIPropriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.2 Logarithmed"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.3 Logarithmed"un produit de nombre positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.4 Logarithmed"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.5 Logarithmed"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III Etude de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.1 Limites en 0 et en+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.2 Continuitéet dérivabilitéde la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.3 Tableau de variation et représentationgraphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III.4 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV Logarithmed"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

V Logarithmedécimal (hors-programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I Définition

I.1 Définitions

Rappel :

Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction).

D"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelyde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que

e x=y. (voir interprétationgraphique).

Chaque réel deRa une image unique dans ]0 ;+∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ;+∞[ a un antécé-

dent unique par cette fonction exponentielle.

Définition

On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[. Siex=y, on dit quexest le logarithmenépérien dey.

Lafonctionlogarithmenépérien,notéeln,estlafonctiondéfiniesur]0;+∞[qui,àtoutréelx>0,associe

le nombre noté ln(x) ou lnxdont l"exponentiellevautx.

Conséquences :

a) Pour tout réelx>0 et tout réely,ey=x?y=lnx. b) Pour tout réelx>0,elnx=x. 1 c) Pour tout réelx, ln(ex)=x.

Démonstration :

a) et b) se déduisent directement de la définition. Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(ex); alors d"après a),y=exdoncx=y.

Autres conséquences:

•ln1=0. En effet,e0=1 et d"après (1), cela équivaut à ln1=0.

•lne=1. En effet,e1=eet on applique (1).

•Pour tout réelλ, l"équation lnx=λa pour unique solutionx=eλ(d"après (1)).

Propriété

Dans un repère orthonormal, les courbesCetC?, représentatives des fonctions exponentielle et loga-

rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x.

Démonstration :

M?(x;y)?C??y=lnx?x=ey?M(y;x)?C.MetM?sont symétriques par rapport à la droite d"équation y=x, donc les deux courbes également.

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9 O11 y=x y=lnxy=ex

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I.2 Sens de variation

Propriété

La fonction logarithmenépérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.

Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0 fonction exponentielleest croissante.

Conséquences:

Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.

•lna=lnb?a=b.

•lna

•lna<0?a<1.

•lna>0?a>1.

Exercices d"application :

a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3.

On obtient alors :x=e7-2

3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.

c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante).

On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?

d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx

On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x

x

2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.

Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[.

Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.

Δ=37>0; on trouvex1=1-?

37

2?D;x2=1+?

37

2>3 doncx2?D.

S=? 1+? 37
2?

II Propriétés algébriques

II.1 Relation fonctionnelle

Théorème

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb

Démonstration :

aetbsont deux réels strictement positifs.

On poseA=lnabetB=lna+lnb.

Alors :eA=ab;eB=elna+lnb=elna×elnb=ab=A.

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II.2 Logarithme d"un quotient

Propriété

Poura>0, ln?1a?

=-lna.

Démonstration :

a×1a=1 d"o ln? a×1a? =0?lna+ln?1a? =0 d"o : ln?1a? =-lna.

Propriété

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, lnab=lna-lnb

Démonstration:

lnab=ln? a×1b? =lna+ln1b=lna-lnb.

II.3 Logarithme d"un produit de nombre positifs

Propriété

Pour tous réels strictement positifsa1,a2, ...,an, ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan.

Autre écriture (symbolique) : ln?

n? i=1? =n? i=1lnai Démonstration :par récurrence surn(facile, laissée au lecteur).

II.4 Logarithme d"une puissance

Propriété

Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln?an?=nlna. Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0. •n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa.

•n=0 : immédiat

•n<0 : ln?an?=ln?1

a-n? =-ln?a-n?=-(-n)lna=nlna.

II.5 Logarithme d"une racine carrée

Propriété

Pour tout réela>0 : ln?a=12lna.

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Démonstration :a>0;??a?2=adonc ln??a?2=lna, c"est-à-dire 2ln?a=lnad"o l"égalité annoncée.

Remarques:on a ln2≈0,69 et ln10≈2,3.

On en déduit : ln?109?=9ln10≈20,7.

Exercices :Résolution d"équations ou inéquations faisant intervenirle logarithme.

1. Résoudre l"équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)

2. Résoudre l"inéquation : ln(x2-5)?ln(x+3)

III Etude de la fonction logarithme

III.1 Limitesen 0 et en+∞

Propriétés

•limx→+∞lnx=+∞

•limx→0+lnx=-∞

Démonstration:

•SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur]0;+∞[. ?x>eA, lnx>A. Ainsi l"intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand. Cela démontre que limx→+∞lnx=+∞.

•Pourx>0, on poseX=1

x. Alors : lnx=ln?1X? =-lnX lim

x→0+lnx=limX→+∞(-lnX)=-∞en appliquant le théorème sur la limite d"une fonction composée.

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme

Propriété

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[.

De plus, pour tout réelx>0, ln?(x)=1

x.

Démonstration :

On admet la continuité.

Dérivabilité :

Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0.

On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=ebeta+h=ek.

ln(a+h)-lna h=ln(a+h)-lna(a+h)-a=k-bek-eb.

La fonction ln est continue, donc lim

h→0ln(a+h)=lna, donc : limh→0k=b. La fonction exponentielleest dérivable enb, de dérivéeeb; autrement dit : limk→be k-eb k-b=eb, donc lim Fonctions logarithmes népérien et décimal

Table des matières

I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

I.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIPropriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.1 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.2 Logarithmed"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.3 Logarithmed"un produit de nombre positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.4 Logarithmed"une puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.5 Logarithmed"une racine carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III Etude de la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.1 Limites en 0 et en+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.2 Continuitéet dérivabilitéde la fonction logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.3 Tableau de variation et représentationgraphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III.4 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

IV Logarithmed"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

V Logarithmedécimal (hors-programme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I Définition

I.1 Définitions

Rappel :

Tout nombrexdeRa une unique image par la fonction exp (comme pour toute fonction).

D"après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelyde ]0;+∞[, il existe un unique réelxtel que

e x=y. (voir interprétationgraphique).

Chaque réel deRa une image unique dans ]0 ;+∞[ et réciproquement, chaque réel de ]0 ;+∞[ a un antécé-

dent unique par cette fonction exponentielle.

Définition

On dit que la fonction exp est une bijection deRsur ]0 ;+∞[. Siex=y, on dit quexest le logarithmenépérien dey.

Lafonctionlogarithmenépérien,notéeln,estlafonctiondéfiniesur]0;+∞[qui,àtoutréelx>0,associe

le nombre noté ln(x) ou lnxdont l"exponentiellevautx.

Conséquences :

a) Pour tout réelx>0 et tout réely,ey=x?y=lnx. b) Pour tout réelx>0,elnx=x. 1 c) Pour tout réelx, ln(ex)=x.

Démonstration :

a) et b) se déduisent directement de la définition. Pour c) : Pour tout réelx, on posey=ln(ex); alors d"après a),y=exdoncx=y.

Autres conséquences:

•ln1=0. En effet,e0=1 et d"après (1), cela équivaut à ln1=0.

•lne=1. En effet,e1=eet on applique (1).

•Pour tout réelλ, l"équation lnx=λa pour unique solutionx=eλ(d"après (1)).

Propriété

Dans un repère orthonormal, les courbesCetC?, représentatives des fonctions exponentielle et loga-

rithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x.

Démonstration :

M?(x;y)?C??y=lnx?x=ey?M(y;x)?C.MetM?sont symétriques par rapport à la droite d"équation y=x, donc les deux courbes également.

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9 O11 y=x y=lnxy=ex

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I.2 Sens de variation

Propriété

La fonction logarithmenépérien est strictement croissante sur ]0;+∞[.

Démonstration:aetbsont deux réels tels que 0 fonction exponentielleest croissante.

Conséquences:

Soientaetbdeux réels de ]0;+∞[.

•lna=lnb?a=b.

•lna

•lna<0?a<1.

•lna>0?a>1.

Exercices d"application :

a) Résoudre : lnx=-5 lnx=-5?x=e-5 b) Résoudre l"équation ln(3x+2)=7 On commence par résoudre l"inéquation 3x+2>0 soitx>-2 3.

On obtient alors :x=e7-2

3. Il reste à vérifier si la solutionappartient à l"intervallede définition.

c) Résoudre l"inéquation ln(2+x)?100 Ensemble de définition :x+2>0?x>-2. Pourx>-2, ln(2+x)?100?eln(2+x)?e100?2+x?e100(car exp est croissante).

On en déduit :x?e100-2>-2 doncS=?e100-2?

d) Résoudre l"équation ln(x2-9)=lnx

On doit avoir :x2-9>0 etx>0 etx2-9=x

x

2-9>0?x2>9?x<-3 oux>3.

Finalement, l"ensemble de définition estD=]3 ;=∞[.

Pourx?D, ln(x2-9)=xln?x2-9-x=0?x2-x-9=0.

Δ=37>0; on trouvex1=1-?

37

2?D;x2=1+?

37

2>3 doncx2?D.

S=? 1+? 37
2?

II Propriétés algébriques

II.1 Relation fonctionnelle

Théorème

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[ : lnab=lna+lnb

Démonstration :

aetbsont deux réels strictement positifs.

On poseA=lnabetB=lna+lnb.

Alors :eA=ab;eB=elna+lnb=elna×elnb=ab=A.

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II.2 Logarithme d"un quotient

Propriété

Poura>0, ln?1a?

=-lna.

Démonstration :

a×1a=1 d"o ln? a×1a? =0?lna+ln?1a? =0 d"o : ln?1a? =-lna.

Propriété

Pour tous réelsaetbde ]0;+∞[, lnab=lna-lnb

Démonstration:

lnab=ln? a×1b? =lna+ln1b=lna-lnb.

II.3 Logarithme d"un produit de nombre positifs

Propriété

Pour tous réels strictement positifsa1,a2, ...,an, ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan.

Autre écriture (symbolique) : ln?

n? i=1? =n? i=1lnai Démonstration :par récurrence surn(facile, laissée au lecteur).

II.4 Logarithme d"une puissance

Propriété

Pour tout réela>0 et tout entier relatifn, ln?an?=nlna. Démonstration :Il faut distinguer les casn>0,n=0 etn<0. •n>0 : on applique la propriété précédente, avecntermes égaux àa.

•n=0 : immédiat

•n<0 : ln?an?=ln?1

a-n? =-ln?a-n?=-(-n)lna=nlna.

II.5 Logarithme d"une racine carrée

Propriété

Pour tout réela>0 : ln?a=12lna.

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Démonstration :a>0;??a?2=adonc ln??a?2=lna, c"est-à-dire 2ln?a=lnad"o l"égalité annoncée.

Remarques:on a ln2≈0,69 et ln10≈2,3.

On en déduit : ln?109?=9ln10≈20,7.

Exercices :Résolution d"équations ou inéquations faisant intervenirle logarithme.

1. Résoudre l"équation : ln(x+1)+ln(2x+3)=ln(x+5)

2. Résoudre l"inéquation : ln(x2-5)?ln(x+3)

III Etude de la fonction logarithme

III.1 Limitesen 0 et en+∞

Propriétés

•limx→+∞lnx=+∞

•limx→0+lnx=-∞

Démonstration:

•SoitAun nombre réel quelconque. La fonction ln est croissante sur]0;+∞[. ?x>eA, lnx>A. Ainsi l"intervalle [A;+∞[ contient toutes les valeurs de lnxpourxassez grand. Cela démontre que limx→+∞lnx=+∞.

•Pourx>0, on poseX=1

x. Alors : lnx=ln?1X? =-lnX lim

x→0+lnx=limX→+∞(-lnX)=-∞en appliquant le théorème sur la limite d"une fonction composée.

III.2 Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme

Propriété

La fonction ln est continue et dérivable sur ]0;+∞[.

De plus, pour tout réelx>0, ln?(x)=1

x.

Démonstration :

On admet la continuité.

Dérivabilité :

Soitaun nombre positif et soithun nombre tel quea+h>0.

On pose :b=lnaetk=ln(a+h), donca=ebeta+h=ek.

ln(a+h)-lna h=ln(a+h)-lna(a+h)-a=k-bek-eb.

La fonction ln est continue, donc lim

h→0ln(a+h)=lna, donc : limh→0k=b. La fonction exponentielleest dérivable enb, de dérivéeeb; autrement dit : limk→be k-eb k-b=eb, donc lim

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