FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
ln ln. x y x y. × = +. Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi celui qui aurait à effectuer 36 x 62
LogTS
formulaire.pdf
Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de définition de la formule : par exemple √a sous-entend a 李 0 n ∈ N∗
formulaire
LOGARITHME NEPERIEN
.. x ∈ IR+. * y = ln x. ⇔ y ∈ IR e y. = x traduit le fait que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une ...
ln
Exponentielle et logarithme
La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes.
exponentielle et logarithme
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
La fonction logarithme népérien notée ln
LogTESL
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. Corollaires : Pour tous réels x et y on a : a) exp(− ) =.
Texplog
Primitives avec la fonction logarithme népérien Principe La formule
Primitives avec la fonction logarithme népérien. Principe. La formule de la dérivée de ln u étant u'/u si on cherche la primitive d'un quotient
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Définition : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif a l'unique Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en.
LogTC
Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths
On appelle fonction logarithme népérien la bijection réciproque de la fonction exponentielle. on lui préfère parfois la règle suivante (à formuler avec.
expln
Rappels sur les calculs de base 1 Propriété des fonctions e. et ln(.) 2
Soit ex la fonction exponentielle définie sur R qui à un nombre x fait correspondre le nombre y tel que x = ln(y). En voici
rappelsmath
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1 FONCTION EXPONENTIELLE ET
FONCTION LOGARITHME
I. Définition de la fonction exponentielle
Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que
et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.Conséquence : exp
0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.II. Étude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp =exp2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.En effet,
exp >0 car exp =exp>0.3) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x exp exp 0 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp =expexp Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) exp ou encore expexp =1 b) exp c) exp exp avec ∈ℕDémonstration du a et b :
a) expexp =exp =exp0=1 b) exp =exp4+ 5 =expexp =exp2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi exp1=
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3Notation nouvelle :
exp=exp ×1 exp1On note pour tout x réel, exp=
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sa ns suite logique.Ses premières décimales sont :
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est tra nscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers.Le nombre
2 par exempl e, est irrationnel mais n'est pas
transcendant puisqu'il est solution d e l'équat ion =2. Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'ils'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : =1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) =1 et b) >0 et c) , avec ∈ℕ. Méthode : Dériver une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
Dériver les fonctions suivantes :
a) =4-3 b) -1 c) ℎ a) ′ =4-3 b) ()=1× -1 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 4 c) ℎ′Méthode : Simplifier les écritures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
0 0 Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1FONCTION EXPONENTIELLE ET
FONCTION LOGARITHME
I. Définition de la fonction exponentielle
Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que
et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.Conséquence : exp
0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.II. Étude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp =exp2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.En effet,
exp >0 car exp =exp>0.3) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x exp exp 0 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp =expexp Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) exp ou encore expexp =1 b) exp c) exp exp avec ∈ℕDémonstration du a et b :
a) expexp =exp =exp0=1 b) exp =exp4+ 5 =expexp =exp2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi exp1=
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3Notation nouvelle :
exp=exp ×1 exp1On note pour tout x réel, exp=
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sa ns suite logique.Ses premières décimales sont :
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est tra nscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers.Le nombre
2 par exempl e, est irrationnel mais n'est pas
transcendant puisqu'il est solution d e l'équat ion =2. Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'ils'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : =1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) =1 et b) >0 et c) , avec ∈ℕ. Méthode : Dériver une fonction exponentielle