Histoire des logarithmes : activités pour la classe Table des Matières

216316 [bHistoire des logarithmes : activités pour la classec\Table des Matières

I. Introduction de la fonction logarithme1

I. A. Fonction réciproque de la fonction exponentielle 1

I. B. Napier, Logarithme discret

1

I. C. Napier : logarithme continu

2

I. D. Briggs

3

I. E. Quadrature de l"hyperbole

3

I. F. Intérêt composé

4 II. Propriétés des fonctions logarithmes : tables 5

II.A.Napier

5 II.B.Lecture de tables de logarithme et construction de base 5 Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd0/6

[bHistoire des logarithmes : activités pour la classec\Toutes les activités présentées peuvent être approfondies à l"aide du diaporama sur " une histoire des logarithmes ».

I. Introduction de la fonction logarithme

I. A. Fonction réciproque de la fonction exponentielle

Le programme de spécialité donne la définition de la fonction logarithme népérien, notée ln, construite comme réciproque

de la fonction exponentielle.

Soit la fonction exponentielle :

exp:R!]0 ;Å1[ x7!ex 1.

Do nnerla solu tion®(1) de l"équationexAE1.

2.

J ustifierqu el "équationexAE2 admet une unique solution®(2), donner une valeur approchée à 10¡6de cette solu-

tion. 3. Q uepou vez-vousdi redes sol utionsde l "équationexAEksuivant les valeurs réelles dek? 4.

S url eg raphiquesuiv ant,cons truirel asol utiond el "équationexAEkpour chaque valeur dekrepérées.

1 2345
¡1

¡21 2 3 4 5¡1¡2f

B

ACDEFG

5. Y a-t-i lun axe de symét riequi p ermetc ettec onstruction,si ou i,le t racer.

IsaccNewton(anglais,britanique1643-1727)estunphysicien,mathématicien,philosophe,alchimiste,astronome

et théologien. Il trouvera la fonction réciproque de la fonction logarithme sans savoir que c"était la fonction expo-

nentielle, Léonhard Euler (suisse 1707-1783) explicitera la fonction exponentielle et le nombree.

I. B. Napier, Logarithme discret

John Napier ou Neper (Écossais 1550-1617) mathématicien, théologien, physicien, astronome, a défini le logarithme (en

grec nombre de raison) : Logarithmi sunt numeri qui proportionalibus adjuncti aequales servant diferentias

Les logarithmes sont les nombres qui a des nombres proportionnels et ont des différences égales :

lo gos: r aison,sou s-entendur aisonde p rogressionar ithmétique ar ithmos: nombr e,qu antité. Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd1/6 •Demi-droiteDx: progression arithmétique telle queLAEA0A1AEA1A2AE...AEAkAkÅ1 •Demi-droiteDy: progression géométrique telle queG0BAE107, et pourq2]0;107[,qAEG1BG

0BAEG2BG

1BAE...AEGkÅ1BG

kB.

1.Dé montrerq uepou rt oute ntierna turelk, on aA

0AkAEkA0A1AEkLetGkBAE107qk2.O ndéfin itla fon ctionLOGparLOG(GkB)AEA0Ak.

(a)

M ontrerq ueLOG(107)AE0

(b)

M ontrerq ueLOG(G1B)AEL

(c)

M ontrerqu eLOG(qk)AEkLOG(q)

I. C. Napier : logarithme continu

Cette activité nécessite la connaissance de la fonction ln, elle peut être une suite de l"activité précédente.

Napier utilise lacinématiquepour expliquerlephénomènecontinuedulogarithme, unmobile se déplace sur chacune

des demi-droitesDxetDyde la manière suivante :

P ourla p rogressionar ithmétique: le m ouvementest unif orme,de A0versA1, la vitessevest constante.

P ourla p rogressiongéomét rique:

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I. Introduction de la fonction logarithme1

I. A. Fonction réciproque de la fonction exponentielle 1

I. B. Napier, Logarithme discret

1

I. C. Napier : logarithme continu

2

I. D. Briggs

3

I. E. Quadrature de l"hyperbole

3

I. F. Intérêt composé

4 II. Propriétés des fonctions logarithmes : tables 5

II.A.Napier

5 II.B.Lecture de tables de logarithme et construction de base 5 Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd0/6

[bHistoire des logarithmes : activités pour la classec\Toutes les activités présentées peuvent être approfondies à l"aide du diaporama sur " une histoire des logarithmes ».

I. Introduction de la fonction logarithme

I. A. Fonction réciproque de la fonction exponentielle

Le programme de spécialité donne la définition de la fonction logarithme népérien, notée ln, construite comme réciproque

de la fonction exponentielle.

Soit la fonction exponentielle :

exp:R!]0 ;Å1[ x7!ex 1.

Do nnerla solu tion®(1) de l"équationexAE1.

2.

J ustifierqu el "équationexAE2 admet une unique solution®(2), donner une valeur approchée à 10¡6de cette solu-

tion. 3. Q uepou vez-vousdi redes sol utionsde l "équationexAEksuivant les valeurs réelles dek? 4.

S url eg raphiquesuiv ant,cons truirel asol utiond el "équationexAEkpour chaque valeur dekrepérées.

1 2345
¡1

¡21 2 3 4 5¡1¡2f

B

ACDEFG

5. Y a-t-i lun axe de symét riequi p ermetc ettec onstruction,si ou i,le t racer.

IsaccNewton(anglais,britanique1643-1727)estunphysicien,mathématicien,philosophe,alchimiste,astronome

et théologien. Il trouvera la fonction réciproque de la fonction logarithme sans savoir que c"était la fonction expo-

nentielle, Léonhard Euler (suisse 1707-1783) explicitera la fonction exponentielle et le nombree.

I. B. Napier, Logarithme discret

John Napier ou Neper (Écossais 1550-1617) mathématicien, théologien, physicien, astronome, a défini le logarithme (en

grec nombre de raison) : Logarithmi sunt numeri qui proportionalibus adjuncti aequales servant diferentias

Les logarithmes sont les nombres qui a des nombres proportionnels et ont des différences égales :

lo gos: r aison,sou s-entendur aisonde p rogressionar ithmétique ar ithmos: nombr e,qu antité. Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd1/6 •Demi-droiteDx: progression arithmétique telle queLAEA0A1AEA1A2AE...AEAkAkÅ1 •Demi-droiteDy: progression géométrique telle queG0BAE107, et pourq2]0;107[,qAEG1BG

0BAEG2BG

1BAE...AEGkÅ1BG

kB.

1.Dé montrerq uepou rt oute ntierna turelk, on aA

0AkAEkA0A1AEkLetGkBAE107qk2.O ndéfin itla fon ctionLOGparLOG(GkB)AEA0Ak.

(a)

M ontrerq ueLOG(107)AE0

(b)

M ontrerq ueLOG(G1B)AEL

(c)

M ontrerqu eLOG(qk)AEkLOG(q)

I. C. Napier : logarithme continu

Cette activité nécessite la connaissance de la fonction ln, elle peut être une suite de l"activité précédente.

Napier utilise lacinématiquepour expliquerlephénomènecontinuedulogarithme, unmobile se déplace sur chacune

des demi-droitesDxetDyde la manière suivante :

P ourla p rogressionar ithmétique: le m ouvementest unif orme,de A0versA1, la vitessevest constante.

P ourla p rogressiongéomét rique: