Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

212869

Cours d"analyse 1

Licence 1er semestre

Guy Laffaille

Christian Pauly

janvier 2006 2

Table des mati`eres

1 Les nombres r´eels et complexes 5

1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2 Logique et langage des ensembles 15

2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.1 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.3 D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3 Suites r´eelles et complexes 21

3.1 Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.2 Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4 Fonctions d"une variable r´eelle 39

4.1 Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

4.2 Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

4.4 Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

5 D´eveloppements limit´es 55

5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

3

4TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions classiques 63

6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

6.3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

7 Corrig´e des exercices 69

Remerciements.

Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten pour les exercices de TD. Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d"exercices. Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l"irrationnalit´e du nombre d"Euler.

Chapitre 1

Les nombres r´eels et complexes

1.1 Nombres rationnels

On d´esigne parNl"ensemble des entiers naturels

N={0,1,2,3,...}.

Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN?l"ensembleN\{0}, c"est-`a-dire l"ensemble des entiers naturels non nuls. ´Etant donn´e deux entiers naturelsxetyon sait d´efinir les nombres x+y,x-y,x·yetxy ,siy?= 0.

On remarque que l"addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dansN.

Par contre le r´esultat d"une soustraction ou d"une division n"est pas toujours un entier naturel.

On cr´ee ainsi de nouveaux nombres

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},

l"ensemble des entiers relatifs - on noteraZ?=Z\ {0}- et Q=?ab |a?Zetb?Z?? l"ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction ab aveca·nb·npour touta?Z etb,n?Z?.

On a bien entendu les inclusions suivantes

N?Z?Q

et les quatre op´erations ´el´ementaires +,-,·et/peuvent s"´etendre `a l"ensembleQdes nombres

rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s"exprimaient par des nombres rationnels. Ils se sont aper¸cu que ce n"est pas toujours le cas. En effet on peut construire des nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangleABCrectangle enA5

6CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABC

b caSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th´eor`eme de

Pythagore dit qu"on a la relation

a

2=b2+c2.

Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d"un carr´e de cˆot´eb=c= 1 est ´egale `aa=⎷2.

Proposition 1.1.1Le nombre

⎷2n"est pas un nombre rationnel. D´emonstration.Nous allons faire une d´emonstration par l"absurde.1 Supposons que⎷2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa,btels que⎷2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o`u au moins un des deux entiersaoubestimpair.

En ´elevant au carr´e l"´egalit´e⎷2 =a/bet en chassant le d´enominateur, on arrive `a

2b2=a2.

Donca2est pair. Siaest impair, on peut ´ecrirea= 2a?+ 1, alorsa2= 4a?2+ 4a?+ 1 qui est impair. On en d´eduit donc queaestpair, donc on peut ´ecrirea= 2a?, ce qui donne 2b2= 4a?2et en simplifiant par 2, on obtient b

2= 2a?2.

C"est la mˆeme ´equation que ci-dessus aveca?`a la place debetb`a la place dea. Le mˆeme raisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et⎷2 ne peut pas ˆetre rationnel.Voici d"autres exemples de nombres irrationnels.

1.Le nombreπ= 3,1415...d´efini comme la circonf´erence d"un cercle de diam`etre 1.2.Le nombre d"Eulere= 2,718..., la base de l"exponentielle, d´efini comme somme infinie2

e= 1 +11! +12! +13! +···+1k!+···3.Les racines carr´es ⎷nsinest un entier qui n"est pas un carr´e, c"est-`a-dire qui n"est pas de la formen=k2aveck?N.Proposition 1.1.2Le nombre d"Euleren"est pas un nombre rationnel.1 voir section 2.3.3

2Par d´efinitionn! = 1·2·3···n

1.2. NOMBRES R

´EELS7D´emonstration.Comme pour⎷2 nous allons faire une d´emonstration par l"absurde. Supposons

donc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa,b?N?tels que e=ab = 1 +11! +12! +13! +···+1n!+··· Multiplions parb!. Alors on obtient l"´egalit´e ab b!-? b! +b! +b!2! +b!3! +···+b!b!?

1b+ 1+1(b+ 1)(b+ 2)+1(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)+···+1(b+ 1)(b+ 2)···(b+n)+···

Il est clair que tous les termes de la somme `a gauche sont des nombres entiers, donc la somme, qu"on noteras, est aussi un entier. En utilisant la minoration (b+ 1)(b+ 2)···(b+n)>(b+ 1)n on obtient un l"encadrement suivant des

0< s <1b+ 1+1(b+ 1)2+1(b+ 1)3+···+1(b+ 1)n+···.

Cette derni`ere somme infinie vaut

1b+1·11-1b+1=1b

d"apr`es la formule donnant la somme d"une s´erie g´eom´etrique (voir (1.1)). Ainsi on obtient l"encadrement

0< s <1b

ce qui contreditsentier.La preuve de l"irrationalit´e deπet d´epasse largement le cadre de ce cours. Nous renvoyons par

exemple au livre "Autour du nombreπ" de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon.

Par contre l"irrationalit´e de

⎷nse montre de la mˆeme fa¸con que celle de⎷2 (exercice).

1.2 Nombres r´eels

La proposition 1.1.1 dit que

⎷2 n"est pas rationnel, c"est-`a-dire ne peut pas s"´ecrire comme

quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre⎷2 peut s"´ecrire sous forme d"un

d´eveloppement d´ecimalinfini⎷2 = 1,41421356...

Dans ce cours nous prenons cette repr´esentation d´ecimale comme d´efinition d"un nombre r´eel.D´efinition 1.2.1 (nombre r´eel)Un nombre r´eel est une collection de chiffres{c0,...,cm}et

{d1,d2,...}compris entre0et9. Les chiffrescisont en nombre fini et les chiffresdjpeuvent ˆetre

en nombre infini. On fait correspondre `a cette collection le nombre donn´e par le d´eveloppement

Cours d"analyse 1

Licence 1er semestre

Guy Laffaille

Christian Pauly

janvier 2006 2

Table des mati`eres

1 Les nombres r´eels et complexes 5

1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.3 Densit´e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2 Logique et langage des ensembles 15

2.1 Propositions et op´erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.3 Techniques de d´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.1 R´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.2 Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.3.3 D´emonstration par l"absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3 Suites r´eelles et complexes 21

3.1 Limite d"une suite r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.2 Propri´et´es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4 Fonctions d"une variable r´eelle 39

4.1 Limite et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

4.2 Propri´et´es de la limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.3 Propri´et´es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

4.4 Fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

4.5 Propri´et´es des fonctions d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

4.6 Application aux suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

5 D´eveloppements limit´es 55

5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

5.3 Calcul de d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

3

4TABLE DES MATI`ERES6 Fonctions classiques 63

6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

6.3 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

6.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

7 Corrig´e des exercices 69

Remerciements.

Merci `a Thierry Mignon, Vladimir Verchinin, Julien Munier, Denis Trotabas et Daniel Maerten pour les exercices de TD. Merci `a Michele Bolognesi pour la r´edaction de quelques corrig´es d"exercices. Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l"irrationnalit´e du nombre d"Euler.

Chapitre 1

Les nombres r´eels et complexes

1.1 Nombres rationnels

On d´esigne parNl"ensemble des entiers naturels

N={0,1,2,3,...}.

Comme chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1, on se convainc sans peine queNest un ensemble infini. On noteN?l"ensembleN\{0}, c"est-`a-dire l"ensemble des entiers naturels non nuls. ´Etant donn´e deux entiers naturelsxetyon sait d´efinir les nombres x+y,x-y,x·yetxy ,siy?= 0.

On remarque que l"addition et la multiplication sont des op´erations qui ont leur r´esultat dansN.

Par contre le r´esultat d"une soustraction ou d"une division n"est pas toujours un entier naturel.

On cr´ee ainsi de nouveaux nombres

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},

l"ensemble des entiers relatifs - on noteraZ?=Z\ {0}- et Q=?ab |a?Zetb?Z?? l"ensemble des nombres rationnels dans lequel on identifie la fraction ab aveca·nb·npour touta?Z etb,n?Z?.

On a bien entendu les inclusions suivantes

N?Z?Q

et les quatre op´erations ´el´ementaires +,-,·et/peuvent s"´etendre `a l"ensembleQdes nombres

rationnels. Les Grecs classiques ont cru longtemps que toutes les quantit´es s"exprimaient par des nombres rationnels. Ils se sont aper¸cu que ce n"est pas toujours le cas. En effet on peut construire des nombres qui ne sont pas rationnels. Consid´erons par exemple un triangleABCrectangle enA5

6CHAPITRE 1. LES NOMBRES R´EELS ET COMPLEXESABC

b caSi on noteala longueur du segmentBC,bcelle deCAetccelle deAB, alors le th´eor`eme de

Pythagore dit qu"on a la relation

a

2=b2+c2.

Ainsi on obtient que la longueur de la diagonale d"un carr´e de cˆot´eb=c= 1 est ´egale `aa=⎷2.

Proposition 1.1.1Le nombre

⎷2n"est pas un nombre rationnel. D´emonstration.Nous allons faire une d´emonstration par l"absurde.1 Supposons que⎷2 est rationnel. Il existe alors deux entiers positifsa,btels que⎷2 =a/b. Si aetbsont pairs, on peut simplifier la fractiona/bpar 2. En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas o`u au moins un des deux entiersaoubestimpair.

En ´elevant au carr´e l"´egalit´e⎷2 =a/bet en chassant le d´enominateur, on arrive `a

2b2=a2.

Donca2est pair. Siaest impair, on peut ´ecrirea= 2a?+ 1, alorsa2= 4a?2+ 4a?+ 1 qui est impair. On en d´eduit donc queaestpair, donc on peut ´ecrirea= 2a?, ce qui donne 2b2= 4a?2et en simplifiant par 2, on obtient b

2= 2a?2.

C"est la mˆeme ´equation que ci-dessus aveca?`a la place debetb`a la place dea. Le mˆeme raisonnement montre alors quebest aussipair. On a donc une contradiction et⎷2 ne peut pas ˆetre rationnel.Voici d"autres exemples de nombres irrationnels.

1.Le nombreπ= 3,1415...d´efini comme la circonf´erence d"un cercle de diam`etre 1.2.Le nombre d"Eulere= 2,718..., la base de l"exponentielle, d´efini comme somme infinie2

e= 1 +11! +12! +13! +···+1k!+···3.Les racines carr´es ⎷nsinest un entier qui n"est pas un carr´e, c"est-`a-dire qui n"est pas de la formen=k2aveck?N.Proposition 1.1.2Le nombre d"Euleren"est pas un nombre rationnel.1 voir section 2.3.3

2Par d´efinitionn! = 1·2·3···n

1.2. NOMBRES R

´EELS7D´emonstration.Comme pour⎷2 nous allons faire une d´emonstration par l"absurde. Supposons

donc queeest rationnel. Il existe alors deux entiersa,b?N?tels que e=ab = 1 +11! +12! +13! +···+1n!+··· Multiplions parb!. Alors on obtient l"´egalit´e ab b!-? b! +b! +b!2! +b!3! +···+b!b!?

1b+ 1+1(b+ 1)(b+ 2)+1(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)+···+1(b+ 1)(b+ 2)···(b+n)+···

Il est clair que tous les termes de la somme `a gauche sont des nombres entiers, donc la somme, qu"on noteras, est aussi un entier. En utilisant la minoration (b+ 1)(b+ 2)···(b+n)>(b+ 1)n on obtient un l"encadrement suivant des

0< s <1b+ 1+1(b+ 1)2+1(b+ 1)3+···+1(b+ 1)n+···.

Cette derni`ere somme infinie vaut

1b+1·11-1b+1=1b

d"apr`es la formule donnant la somme d"une s´erie g´eom´etrique (voir (1.1)). Ainsi on obtient l"encadrement

0< s <1b

ce qui contreditsentier.La preuve de l"irrationalit´e deπet d´epasse largement le cadre de ce cours. Nous renvoyons par

exemple au livre "Autour du nombreπ" de Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon.

Par contre l"irrationalit´e de

⎷nse montre de la mˆeme fa¸con que celle de⎷2 (exercice).

1.2 Nombres r´eels

La proposition 1.1.1 dit que

⎷2 n"est pas rationnel, c"est-`a-dire ne peut pas s"´ecrire comme

quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre⎷2 peut s"´ecrire sous forme d"un

d´eveloppement d´ecimalinfini⎷2 = 1,41421356...

Dans ce cours nous prenons cette repr´esentation d´ecimale comme d´efinition d"un nombre r´eel.D´efinition 1.2.1 (nombre r´eel)Un nombre r´eel est une collection de chiffres{c0,...,cm}et

{d1,d2,...}compris entre0et9. Les chiffrescisont en nombre fini et les chiffresdjpeuvent ˆetre

en nombre infini. On fait correspondre `a cette collection le nombre donn´e par le d´eveloppement