Tous les exercices d'Algèbre et de Géométrie MP
D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE. MP. Pour assimiler le programme s'entraîner et réussir son concours. Rappels de cours et exercices d'assimilation. Plus de 400
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Cours d'analyse fonctionnelle
400 exercices corrigés d'Algèbre pour Sup Mohammed. Aassila
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ÉLÉMENTS D'ANALYSE ET D'ALGÈBRE
dans un lycée ambitieux(2) avec plus d'une centaine d'exercices corrigés à peu près à ce que j'ai eu la chance de recevoir comme cours en math. sup.
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ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
Exercice 28.— Montrer que le corps R n'est pas algébriquement clos. Le théorème fondamental de l'algèbre entraîne que le corps C est algébriquement.
amalaa
Exercices de mathématiques - Exo7
On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit juste d'écrire le contraire d'un énoncé. Correction ▽. Vidéo □. [000107]. Exercice 5. Compléter les
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Mathématiques Méthodes et Exercices MP
10. Compléments d'algèbre linéaire. 397. Les méthodes à retenir. 398. Énoncés des exercices. 400. Du mal à démarrer ? 406. Corrigés des exercices.
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Curriculum Vitae Mohammed Aassila
Aassila 350 exercices corrigés d'analyse avec rappels de cours pour sup
assila
Exercices de mathématiques - Exo7
d = 1 c'est-à-dire. P(X) = 3. 2. X3 −2X2 −. 1. 2. X +1. Correction de l'exercice 2 △. 1. (a) 3X5 +4X2 +1 = (X2 +2X +3)(3X3
fic
Exercices de mathématiques - Exo7
d = 1 c'est-à-dire. P(X) = 3. 2. X3 −2X2 −. 1. 2. X +1. Correction de l'exercice 2 △. 1. (a) 3X5 +4X2 +1 = (X2 +2X +3)(3X3
fic
Polynômes
Corrections de Léa Blanc-Centi.
1 Opérations sur les polynômes
Exercice 1Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que :P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:
Exercice 21.Ef fectuerla di visioneuclidienne de AparB: (a)A=3X5+4X2+1;B=X2+2X+3 (b)A=3X5+2X4X2+1;B=X3+X+2 (c)A=X4X3+X2;B=X22X+4 (d)A=X57X4X29X+9;B=X25X+4 2.Ef fectuerla di visionselon les puissances croissantes de AparBà l"ordrek(c"est-à-dire tel que le reste
soit divisible parXk+1) : (a)A=12X+X3+X4;B=1+2X+X2;k=2 (b)A=1+X32X4+X6;B=1+X2+X3;k=4 À quelle condition sura;b;c2Rle polynômeX4+aX2+bX+cest-il divisible parX2+X+1 ? 1. Déterminer les pgcd des polynômes sui vants: (a)X3X2X2 etX52X4+X2X2 (b)X4+X32X+1 etX3+X+1 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 etXnnX+n1 (n2N) 12.Calculer le pgcd Ddes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetVtels queAU+BV=
D. (a)A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 (b)A=X62X5+2X43X3+3X22X etB=X42X3+X2X+1 1.Montrer que si AetBsont deux polynômes à coefficients dansQ, alors le quotient et le reste de la division
euclidienne deAparB, ainsi que pgcd(A;B), sont aussi à coefficients dansQ. 2. Soit a;b;c2Cdistincts, et 0F actoriserles polynômes sui vants: a)X2+(3i1)X2i b)X3+(4+i)X2+(52i)X+23i Pour quelles valeurs deale polynôme(X+1)7X7aadmet-il une racine multiple réelle? Chercher tous les polynômesPtels queP+1 soit divisible par(X1)4etP1 par(X+1)4.
Indications.Commencer par trouver une solution particulièreP0avec l"une des méthode suivantes :
1. à partir de la relation de Bézout entre (X1)4et(X+1)4; 2. en considérant le polynôme déri véP00et en cherchant un polynôme de degré minimal.Montrer quePconvient si et seulement si le polynômePP0est divisible par(X1)4(X+1)4, et en déduire
toutes les solutions du problème. Quels sont les polynômesP2C[X]tels queP0diviseP? 2Exercice 10
Trouver tous les polynômesPqui vérifient la relationP(X2) =P(X)P(X+1)
Soitn2N. Montrer qu"il existe un uniqueP2C[X]tel que 8z2CP z+1z =zn+1z nMontrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l"intervalle[2;2].
1. Soit P=Xn+an1Xn1++a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0. 2. Les polynômes X3X2109X11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ? Soienta0;:::;andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0;:::;n, on pose L i(X) =Õ 16j6n j6=iXaja iaj (lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).Soientb0;:::;bndes réels fixés. Montrer queP(X) =åni=0biLi(X)est l"unique polynôme de degré inférieur ou
égal ànqui vérifie:
P(aj) =bjpour toutj=0;:::;n:
Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel queP(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:
Indication pourl"exer cice4 NLe calcul du pgcd se fait par l"algorithme d"Euclide, et la "remontée" de l"algorithme permet d"obtenirUetV.Indication pourl"exer cice5 NCalculer pgcd(P;P0).Indication pourl"exer cice9 NSiP=P0QavecP6=0, regarder le degré deQ.Indication pourl"exer cice10 NMontrer que siPest un polynôme non constant vérifiant la relation, alors ses seules racines possibles sont 0 et
1.Indication pourl"exer cice11 NPour l"existence, preuve par récurrence surn. Pour les racines, montrer queP(x) =2cos(narccos(x=2)).4
Correction del"exer cice1 NOn cherchePsous la formeP(X) =aX3+bX2+cX+d, ce qui donne le système linéaire suivant à résoudre:
8>>< >:d=1 a+b+c+d=0 a+bc+d=28a+4b+2c+d=4
Après calculs, on trouve une unique solution :a=32 ,b=2,c=12 ,d=1 c"est-à-direP(X) =32
X32X212
X+1:Correction del"exer cice2 N1.(a) 3 X5+4X2+1= (X2+2X+3)(3X36X2+3X+16)41X47 (b)3 X5+2X4X2+1= (X3+X+2)(3X2+2X3)9X2X+7
(c)X4X3+X2= (X22X+4)(X2+X2)7X+6 (d)X57X4X29X+9 = (X25X+4)(X32X214X63)268X+261 2. (a)1 2X+X3+X4= (1+2X+X2)(14X+7X2)+X3(96X)
(b)1 +X32X4+X6= (1+X2+X3)(1X2X4)+X5(1+2X+X2)Correction del"exer cice3 NLa division euclidienne deA=X4+aX2+bX+cparB=X2+X+1 donne
X4+aX2+bX+c= (X2+X+1)(X2X+a)+(ba+1)X+ca
OrAest divisible parBsi et seulement si le resteR= (ba+1)X+caest le polynôme nul, c"est-à-dire si
et seulement siba+1=0 etca=0.Correction del"exer cice4 N1.L "algorithmed"Euclide permet de calculer le pgcd par une suite de di visionseuclidiennes.
(a)X52X4+X2X2= (X3X2X2)(X2X)+2X23X2 puisX3X2X2= (2X23X2)(12 X+14 )+34 X32 puis 2X23X2= (34 X32 )(83 X+43 Le pgcd est le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant: pgcd(X3X2X2;X52X4+X2X2) =X2 (b)X4+X32X+1= (X3+X+1)(X+1)X24X puisX3+X+1= (X24X)(X+4)+17X+1 donc pgcd(X4+X32X+1;X3+X+1) =pgcd(X24X;17X+1) =1 carX24Xet 17X+1 n"ont pas de racine (même complexe) commune. 5 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1= (X4+2X3+X+2)(X+1)X31 puisX4+2X3+X+2= (X31)(X2)+2X3+2 pgcd(X5+3X4+X3+X2+3X+1;X4+2X3+X+2) =X3+1 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 = (XnnX+n1)(nX(n+1))+n2(X1)2 Sin=1 alorsXnnX+n1=0 et le pgcd vaut(X1)2. On constate que 1 est racine de X nnX+n1, et on trouveXnnX+n1= (X1)(Xn1+Xn2++X2+X(n1)). Sin>2: 1 est racine deXn1+Xn2++X2+X(n1)et on trouve X n1+Xn2++X2+X(n1) = (X1)(Xn2+2Xn3++(n1)X2+nX+(n+1)), donc finalement(X1)2divise X nnX+n1 (on pourrait aussi remarquer que 1 est racine de multiplicité au moins deux de X nnX+n1, puisqu"il est racine de ce polynôme et de sa dérivée). Ainsi sin>2;pgcd(nXn+1(n+1)Xn+1;XnnX+n1) = (X1)2 2. (a) A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 doncA=BQ1+R1avecQ1=X+1,R1=2X310X216X8 puisB=R1Q2+R2avecQ2=12 X+32 etR2=9X2+27X+18 et enfinR1=R2Q3avecQ3=29 X49DoncD=X2+3X+2, et on obtient
9D=BR1Q2=B(ABQ1)Q2=AQ2+B(1+Q1Q2)
soit U=19 (Q2) =118 Exo7Polynômes
Corrections de Léa Blanc-Centi.
1 Opérations sur les polynômes
Exercice 1Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que :P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:
Exercice 21.Ef fectuerla di visioneuclidienne de AparB: (a)A=3X5+4X2+1;B=X2+2X+3 (b)A=3X5+2X4X2+1;B=X3+X+2 (c)A=X4X3+X2;B=X22X+4 (d)A=X57X4X29X+9;B=X25X+4 2.Ef fectuerla di visionselon les puissances croissantes de AparBà l"ordrek(c"est-à-dire tel que le reste
soit divisible parXk+1) : (a)A=12X+X3+X4;B=1+2X+X2;k=2 (b)A=1+X32X4+X6;B=1+X2+X3;k=4 À quelle condition sura;b;c2Rle polynômeX4+aX2+bX+cest-il divisible parX2+X+1 ? 1. Déterminer les pgcd des polynômes sui vants: (a)X3X2X2 etX52X4+X2X2 (b)X4+X32X+1 etX3+X+1 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 etXnnX+n1 (n2N) 12.Calculer le pgcd Ddes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetVtels queAU+BV=
D. (a)A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 (b)A=X62X5+2X43X3+3X22X etB=X42X3+X2X+1 1.Montrer que si AetBsont deux polynômes à coefficients dansQ, alors le quotient et le reste de la division
euclidienne deAparB, ainsi que pgcd(A;B), sont aussi à coefficients dansQ. 2. Soit a;b;c2Cdistincts, et 0F actoriserles polynômes sui vants: a)X2+(3i1)X2i b)X3+(4+i)X2+(52i)X+23i Pour quelles valeurs deale polynôme(X+1)7X7aadmet-il une racine multiple réelle? Chercher tous les polynômesPtels queP+1 soit divisible par(X1)4etP1 par(X+1)4.
Indications.Commencer par trouver une solution particulièreP0avec l"une des méthode suivantes :
1. à partir de la relation de Bézout entre (X1)4et(X+1)4; 2. en considérant le polynôme déri véP00et en cherchant un polynôme de degré minimal.Montrer quePconvient si et seulement si le polynômePP0est divisible par(X1)4(X+1)4, et en déduire
toutes les solutions du problème. Quels sont les polynômesP2C[X]tels queP0diviseP? 2Exercice 10
Trouver tous les polynômesPqui vérifient la relationP(X2) =P(X)P(X+1)
Soitn2N. Montrer qu"il existe un uniqueP2C[X]tel que 8z2CP z+1z =zn+1z nMontrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l"intervalle[2;2].
1. Soit P=Xn+an1Xn1++a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0. 2. Les polynômes X3X2109X11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ? Soienta0;:::;andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0;:::;n, on pose L i(X) =Õ 16j6n j6=iXaja iaj (lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).Soientb0;:::;bndes réels fixés. Montrer queP(X) =åni=0biLi(X)est l"unique polynôme de degré inférieur ou
égal ànqui vérifie:
P(aj) =bjpour toutj=0;:::;n:
Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel queP(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:
Indication pourl"exer cice4 NLe calcul du pgcd se fait par l"algorithme d"Euclide, et la "remontée" de l"algorithme permet d"obtenirUetV.Indication pourl"exer cice5 NCalculer pgcd(P;P0).Indication pourl"exer cice9 NSiP=P0QavecP6=0, regarder le degré deQ.Indication pourl"exer cice10 NMontrer que siPest un polynôme non constant vérifiant la relation, alors ses seules racines possibles sont 0 et
1.Indication pourl"exer cice11 NPour l"existence, preuve par récurrence surn. Pour les racines, montrer queP(x) =2cos(narccos(x=2)).4
Correction del"exer cice1 NOn cherchePsous la formeP(X) =aX3+bX2+cX+d, ce qui donne le système linéaire suivant à résoudre:
8>>< >:d=1 a+b+c+d=0 a+bc+d=28a+4b+2c+d=4
Après calculs, on trouve une unique solution :a=32 ,b=2,c=12 ,d=1 c"est-à-direP(X) =32
X32X212
X+1:Correction del"exer cice2 N1.(a) 3 X5+4X2+1= (X2+2X+3)(3X36X2+3X+16)41X47 (b)3 X5+2X4X2+1= (X3+X+2)(3X2+2X3)9X2X+7
(c)X4X3+X2= (X22X+4)(X2+X2)7X+6 (d)X57X4X29X+9 = (X25X+4)(X32X214X63)268X+261 2. (a)1 2X+X3+X4= (1+2X+X2)(14X+7X2)+X3(96X)
(b)1 +X32X4+X6= (1+X2+X3)(1X2X4)+X5(1+2X+X2)Correction del"exer cice3 NLa division euclidienne deA=X4+aX2+bX+cparB=X2+X+1 donne
X4+aX2+bX+c= (X2+X+1)(X2X+a)+(ba+1)X+ca
OrAest divisible parBsi et seulement si le resteR= (ba+1)X+caest le polynôme nul, c"est-à-dire si
et seulement siba+1=0 etca=0.Correction del"exer cice4 N1.L "algorithmed"Euclide permet de calculer le pgcd par une suite de di visionseuclidiennes.
(a)X52X4+X2X2= (X3X2X2)(X2X)+2X23X2 puisX3X2X2= (2X23X2)(12 X+14 )+34 X32 puis 2X23X2= (34 X32 )(83 X+43 Le pgcd est le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant: pgcd(X3X2X2;X52X4+X2X2) =X2 (b)X4+X32X+1= (X3+X+1)(X+1)X24X puisX3+X+1= (X24X)(X+4)+17X+1 donc pgcd(X4+X32X+1;X3+X+1) =pgcd(X24X;17X+1) =1 carX24Xet 17X+1 n"ont pas de racine (même complexe) commune. 5 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1= (X4+2X3+X+2)(X+1)X31 puisX4+2X3+X+2= (X31)(X2)+2X3+2 pgcd(X5+3X4+X3+X2+3X+1;X4+2X3+X+2) =X3+1 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 = (XnnX+n1)(nX(n+1))+n2(X1)2 Sin=1 alorsXnnX+n1=0 et le pgcd vaut(X1)2. On constate que 1 est racine de X nnX+n1, et on trouveXnnX+n1= (X1)(Xn1+Xn2++X2+X(n1)). Sin>2: 1 est racine deXn1+Xn2++X2+X(n1)et on trouve X n1+Xn2++X2+X(n1) = (X1)(Xn2+2Xn3++(n1)X2+nX+(n+1)), donc finalement(X1)2divise X nnX+n1 (on pourrait aussi remarquer que 1 est racine de multiplicité au moins deux de X nnX+n1, puisqu"il est racine de ce polynôme et de sa dérivée). Ainsi sin>2;pgcd(nXn+1(n+1)Xn+1;XnnX+n1) = (X1)2 2. (a) A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 doncA=BQ1+R1avecQ1=X+1,R1=2X310X216X8 puisB=R1Q2+R2avecQ2=12 X+32 etR2=9X2+27X+18 et enfinR1=R2Q3avecQ3=29 X49