MAT302 : Séries et intégrales généralisées Université Grenoble









Intégrales Généralisées

Allez à : Correction exercice 1. Exercice 2. Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? Etudier la convergence des intégrales :.
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Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + xλ) . Montrer que I(λ) converge pour tout réel λ et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.
intgen


Polycopié Séries et intégrales généralisées Cours et exercices

sans retourner au corrigé. Les solutions des exercices sont utiles uniquement pour tester le ... 6.6 Intégrales généralisées dépendant dfun paramètre .
Polycope Hamdaoui abdenour


INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

Calcul d'intégrales généralisées par primitivation . . . . . . . 1 Convergence et calcul des intégrales suivantes. ... Corrigé de l'exercice 1.1.
intgen





TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 Exercices. Exercice 1 : Convergence et calcul de I(a b) = ∫. +∞. +.
maths td support


TD1 - Intégrales généralisées Exercice 1 Montrer que les intégrales

dx est une intégrale généralisée convergente. Exercice 3 Etudier la convergence des intégrales généralisées dépendantes d'un paramètre suivantes : (a) ∫. 1.
Integrales


Exercices de mathématiques - Exo7

Correction ▽. [005714]. Exercice 3. (Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes : 1. (**) ∫ +∞.
fic


Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 8

Intégration : intégrale de Riemann primitives
daniel alibert cours et exercices corrigc a s volume





MAT302 : Séries et intégrales généralisées Université Grenoble

La convergence absolue entraîne la convergence. Exercice 1. * Intégration par parties. Déterminer une primitive F de la fonction f : [0+∞[ → [ 
MAT TD


Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques

Intégrales généralisées. Suites et séries numériques. Suites et séries de fonctions. Séries entières. Exercices corrigés. Licence STS.
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247698MAT302 : Séries et intégrales généralisées Université Grenoble MAT302 : Séries et intégrales généralisées Université Grenoble Alpes

2018-2019

TD n o5 : Intégrales généralisées

Organisation :les exercices sont divisés en trois catégories : * correspond aux exercices de base,

à maîtriser impérativement, ** correspond aux exercices de difficulté moyenne, c"est en gros le

niveau requis pour valider l"UE, *** correspond aux exercices plus avancés. * Définitions à connaître par coeur Définition de la convergence d"une intégrale généralisée. Définition de l"absolue convergence d"une intégrale généralisée. * Propriétés à connaître par coeur Théorèmes de comparaison pour les fonctions positives. La convergence absolue entraîne la convergence.

Exercice 1. * Intégration par parties

Déterminer une primitiveFde la fonction

f: [0;+1[![0;+1[ t7!t2et

En déduire que l"intégrale impropre

R+1

0f(t)dtconverge, et déterminer sa valeur.

Exercice 2. * Une fraction rationnelle

1. Calculer pourX >0:

I(X) =Z

X

1dxx(x+ 1)(x+ 2)

2. Quelle est la limite lorsqueX!+1deI(X)? Que peut-on donc dire de l"intégrale

impropreR+1

1dxx(x+1)(x+2)?

Exercice 3. *Changement de variable

SoitX2[0;+1[. CalculerI(X) =RX

0dtchtpuis déterminer la limite deI(X)lorsqueX!+1.

Exercice 4. ** Nature d"intégrales impropres

Déterminer la nature de chacune des intégrales impropres suivantes. 1. Z 1

1lnxx+exdx;

2. Z 1

0lnxx+exdx;

3. Z 1

0lnxx+exdx;

4. Z 1

1jsinxjx

2+ 1dx;5.

Z +1 0e px px dx; 6. Z 1 1lnxx exdx; 7. Z 1 0 (x+ 2px

2+ 4x+ 1)dx;

8. Z 1 1 (3px

3+ 1px

2+ 1)dx;

9. Z 1 1 epx 2xdx; 10. Z 1 2px (lnx)3dx; 11. Z 1

12 + sinx+ sin2x3

px

4+x2dx;12.

Z 1 1 ex2dx; 13. Z 1

0lnx1xdx;

Exercice 5. ** Limite et convergence de l"intégrale

1. Soitf: [0;+1[![0;+1[une fonction continue par morceaux telle quef(t)!`quand

t!+1, avec` >0ou`= +1. Montrer queR+1

0f(t)dtdiverge.

2. Donner un exemple de fonction continue par morceauxg: [0;+1[![0;+1[telle que

g(t)6!0quandt!+1etR+1

0g(t)dtconverge.

Exercice 6. **Deux équivalents

1. Déterminer la nature des intégrales impropresZ

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2018-2019

TD n o5 : Intégrales généralisées

Organisation :les exercices sont divisés en trois catégories : * correspond aux exercices de base,

à maîtriser impérativement, ** correspond aux exercices de difficulté moyenne, c"est en gros le

niveau requis pour valider l"UE, *** correspond aux exercices plus avancés. * Définitions à connaître par coeur Définition de la convergence d"une intégrale généralisée. Définition de l"absolue convergence d"une intégrale généralisée. * Propriétés à connaître par coeur Théorèmes de comparaison pour les fonctions positives. La convergence absolue entraîne la convergence.

Exercice 1. * Intégration par parties

Déterminer une primitiveFde la fonction

f: [0;+1[![0;+1[ t7!t2et

En déduire que l"intégrale impropre

R+1

0f(t)dtconverge, et déterminer sa valeur.

Exercice 2. * Une fraction rationnelle

1. Calculer pourX >0:

I(X) =Z

X

1dxx(x+ 1)(x+ 2)

2. Quelle est la limite lorsqueX!+1deI(X)? Que peut-on donc dire de l"intégrale

impropreR+1

1dxx(x+1)(x+2)?

Exercice 3. *Changement de variable

SoitX2[0;+1[. CalculerI(X) =RX

0dtchtpuis déterminer la limite deI(X)lorsqueX!+1.

Exercice 4. ** Nature d"intégrales impropres

Déterminer la nature de chacune des intégrales impropres suivantes. 1. Z 1

1lnxx+exdx;

2. Z 1

0lnxx+exdx;

3. Z 1

0lnxx+exdx;

4. Z 1

1jsinxjx

2+ 1dx;5.

Z +1 0e px px dx; 6. Z 1 1lnxx exdx; 7. Z 1 0 (x+ 2px

2+ 4x+ 1)dx;

8. Z 1 1 (3px

3+ 1px

2+ 1)dx;

9. Z 1 1 epx 2xdx; 10. Z 1 2px (lnx)3dx; 11. Z 1

12 + sinx+ sin2x3

px

4+x2dx;12.

Z 1 1 ex2dx; 13. Z 1

0lnx1xdx;

Exercice 5. ** Limite et convergence de l"intégrale

1. Soitf: [0;+1[![0;+1[une fonction continue par morceaux telle quef(t)!`quand

t!+1, avec` >0ou`= +1. Montrer queR+1

0f(t)dtdiverge.

2. Donner un exemple de fonction continue par morceauxg: [0;+1[![0;+1[telle que

g(t)6!0quandt!+1etR+1

0g(t)dtconverge.

Exercice 6. **Deux équivalents

1. Déterminer la nature des intégrales impropresZ


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