Tous les exercices dAlgèbre et de Géométrie MP

213191

TOUS LES EXERCICES

D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE

MP Pour assimiler le programme, s'entraîneret réussir son concours ?Rappels de cours et exercices d'assimilation ?Plus de 400 exercices dont la majorité est issue d'oraux de concours récents ?Solutions complètes et détaillées EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALDPRÉPAS 100%

Pour assimiler le programme, sÕentra"ner

et rŽussir son concours

Pour assimiler le programme, sÕentra"ner

et rŽussir son concours

El-Haj Laamri

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et ma"tre de confŽrences ˆ Nan cy-UniversitŽ

Philippe Chateaux

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et professeur en MP au LycŽe Henri P oincarŽ ˆ Nancy

GŽrard Eguether

Ma"tre de confŽrences ˆ Nancy-UniversitŽ

Alain Mansoux

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et professeur en PC au LycŽe Henri P oincarŽ ˆ Nancy

Marc Rezzouk

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et professeur en PC au lycŽe Henri P oincarŽ ˆ Nancy

David Rupprecht

AgrŽgŽ de MathŽmatiques et professeur en PSI au LycŽe Henri

Loritz ˆ Nancy

Laurent Schwald

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et professeur en BCPST au lycŽe Henr i PoincarŽ ˆ Nancy

Couverture : Claude Lieber

© Dunod, Paris, 2008

ISBN 978-2-10-053965-9

Table des matières

Présentation de la série " Tous les exercices de mathématiques ».........vii Avant-propos............................................................xi Chapitre 1. Algèbre générale.............................................1

1.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 1

1.2 Exercicesd"entraînement...................................... 14

1.3 Exercices d"approfondissement................................. 25

Chapitre 2. Compléments sur les polynômes..............................35

2.1 Généralités sur les polynômes.................................. 35

2.2 Polynômes à coefcients entiers................................ 43

2.3 Compléments : nombres algébriques et transcendants, extensions de

corps........................................................ 47 Chapitre 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires...................51

3.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 51

3.2 Exercicesd"entraînement...................................... 71

3.3 Exercices d"approfondissement................................. 76

Chapitre 4. Matrices.....................................................92

4.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 92

4.2 Exercicesd"entraînement...................................... 114

4.3 Exercices d"approfondissement................................. 124

Chapitre 5. Déterminants................................................134

5.1 Rappelsdecoursetexercicesd"assimilation..................... 134

5.2 Exercicesd"entraînement...................................... 141

5.3 Exercices d"approfondissement................................. 150

Chapitre 6. Équations linéaires...........................................155

6.1 L"essentielducours........................................... 155

6.2 Exercices.................................................... 156

© Dunod - La photocopie non autorisée est un délit viTable des matières Chapitre 7. Réduction des endomorphismes..............................164

7.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 164

7.2 Exercicesd'entraînement...................................... 189

7.3 Exercices d'approfondissement................................. 206

Chapitre 8. Espaces préhilbertiens.......................................223

8.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 223

8.2 Exercicesd'entraînement...................................... 237

8.3 Exercices d'approfondissement................................. 242

Chapitre 9. Espaces euclidiens...........................................248

9.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 248

9.2 Exercicesd'entraînement...................................... 258

9.3 Exercices d'approfondissement................................. 277

Chapitre 10. Quadriques et coniques.....................................295

10.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 295

10.2 Exercices d'entraînement ...................................... 305

10.3 Exercices d'approfondissement................................. 311

Chapitre 11. Étude afne et métrique des courbes........................314

11.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 314

11.2 Exercices d'entraînement ...................................... 335

11.3 Exercices d'approfondissement................................. 350

Chapitre 12. Surfaces....................................................357

12.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 357

12.2 Exercices d'entraînement et d'approfondissement ................ 359

12.3 Quelques surfaces usuelles..................................... 365

Chapitre 13. Compléments de géométrie.................................368

13.1 Géométrie afne.............................................. 368

13.2 Géométrie afne euclidienne................................... 371

13.3 Isométries vectorielles et afnes en dimension 3.................. 378

13.4 Lieux géométriques ........................................... 386

13.5 Extrema...................................................... 394"doc-MP" (Col. : 100 % Concours 17

Présentation de la série

" Tous les exercices de mathématiques » L"évolution récente de l"enseignement des disciplines scientiques dans les C.P.G.E s"est concrétisée par la dénition d"un nouveau programme de première année en

2003 et de seconde année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de com-

bler le fossé grandissant entre la classe terminale et les classes préparatoires. La progression est explicitement imposée par le nouveau programme qui prévoit notam- ment " un programme de début de l"année », qui exclut la présentation abstraite des concepts au prot d"une démarche fondée sur l"exemple comme point de départ de la conceptualisation, qui préconise l"approche algorithmique en complément de l"ap- proche démonstrative et qui légitime la démarche expérimentale en mathématiques par l"utilisation des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquement uti- lisés dans de nombreux concours, notamment dans le concours commun " Centrale - Supélec ». Mais les programmes des classes préparatoires ne sont pas les seuls à avoir évolué, les programmes de l"enseignement secondaire ont fait l"objet d"une évolution préalable. Enn, l"attitude nouvelle des élèves face aux disciplines scien- tiques rend inefcace l"approche axiomatique et leur appropriation grandissante de l"outil informatique nécessite d"intégrer cet outil à la pédagogie. L"ensemble de ces changements rend impérative la rédaction de nouveaux ouvrages. On constate que c"est davantage la structure, l"ordre des thèmes abordés, l"esprit du programme qui ont évolué, le fond étant resté relativement stable. Sur ce fond, que nous n"avons pas la prétention de renouveler, il existe déjà une abondante et excellente littérature; nous revendiquons une continuité par rapport à nos illustres prédécesseurs et nous nous sommes largement inspirés de leurs écrits pour y pui- ser exercices et sujets en nous efforçant de les présenter en parfaite cohérence avec l"esprit du programme actuel. Car cette nouvelle collection répond à une nécessité : entièrement rédigée après la parution des nouveaux programmes et le début de leur miseenoeuvre,ellegarantituneparfaitecompatibilitéentrelarédactiondesouvrages et les préconisations du programme... ce que n"aurait pu assurer sans risque d"ano- malies une simple remise en forme d"une rédaction antérieure. Tous les ouvrages de © Dunod - La photocopie non autorisée est un délit viiiPrésentation de la série " Tous les exercices de mathématiques » cette collection sont écrits trois ans après l'apparition des nouveaux programmes et en respectent scrupuleusement l'esprit. Les rédacteurs ont enseigné et interrogé dans le cadre de l'ancien et du nouveau pro- gramme, ils perçoivent donc parfaitement l'importance de l'évolution. Leur expé- rience de l'enseignement en classes préparatoires et à l'Université, leur interven- tion régulière en " colles », leur participation aux concours comme interrogateurs à l'oral et/ou correcteurs à l'écrit permettent d'afrmer qu'il s'agit d'équipes très " professionnelles». L'équilibre entre la pluralité des approches qui enrichit le fond et la cohérence de la forme qui renforce l'efcacité est le résultat d'un véritable travail collaboratif, d'une maîtrise d'oeuvre rigoureuse et de sources d'inspiration précieuses... citons particulièrement pour les exercices d'oral laRevue de Mathé- matiques Spéciales,l'Ofciel de la Taupeet lesArchives des Professeurs de Spé du Lycée Henri Poincaré de Nancyen particulier celles constituées par Walter APPEL. Cette collection a l'ambition de faire bénécier le lecteur de l'expertise profession- nelle des rédacteurs, chaque ouvrage est donc rédigé avec un souci de rigueur et de clarté au service de la pédagogie, souci qui s'exprime dans quelques principes :

- La qualité de rédaction aboutie exigée des élèves nécessite que les auteurs soient

TOUS LES EXERCICES

D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE

MP Pour assimiler le programme, s'entraîneret réussir son concours ?Rappels de cours et exercices d'assimilation ?Plus de 400 exercices dont la majorité est issue d'oraux de concours récents ?Solutions complètes et détaillées EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALDPRÉPAS 100%

Pour assimiler le programme, sÕentra"ner

et rŽussir son concours

Pour assimiler le programme, sÕentra"ner

et rŽussir son concours

El-Haj Laamri

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et ma"tre de confŽrences ˆ Nan cy-UniversitŽ

Philippe Chateaux

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et professeur en MP au LycŽe Henri P oincarŽ ˆ Nancy

GŽrard Eguether

Ma"tre de confŽrences ˆ Nancy-UniversitŽ

Alain Mansoux

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et professeur en PC au LycŽe Henri P oincarŽ ˆ Nancy

Marc Rezzouk

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et professeur en PC au lycŽe Henri P oincarŽ ˆ Nancy

David Rupprecht

AgrŽgŽ de MathŽmatiques et professeur en PSI au LycŽe Henri

Loritz ˆ Nancy

Laurent Schwald

AgrŽgŽ en mathŽmatiques et professeur en BCPST au lycŽe Henr i PoincarŽ ˆ Nancy

Couverture : Claude Lieber

© Dunod, Paris, 2008

ISBN 978-2-10-053965-9

Table des matières

Présentation de la série " Tous les exercices de mathématiques ».........vii Avant-propos............................................................xi Chapitre 1. Algèbre générale.............................................1

1.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 1

1.2 Exercicesd"entraînement...................................... 14

1.3 Exercices d"approfondissement................................. 25

Chapitre 2. Compléments sur les polynômes..............................35

2.1 Généralités sur les polynômes.................................. 35

2.2 Polynômes à coefcients entiers................................ 43

2.3 Compléments : nombres algébriques et transcendants, extensions de

corps........................................................ 47 Chapitre 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires...................51

3.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 51

3.2 Exercicesd"entraînement...................................... 71

3.3 Exercices d"approfondissement................................. 76

Chapitre 4. Matrices.....................................................92

4.1 L"essentielducoursetexercicesd"assimilation................... 92

4.2 Exercicesd"entraînement...................................... 114

4.3 Exercices d"approfondissement................................. 124

Chapitre 5. Déterminants................................................134

5.1 Rappelsdecoursetexercicesd"assimilation..................... 134

5.2 Exercicesd"entraînement...................................... 141

5.3 Exercices d"approfondissement................................. 150

Chapitre 6. Équations linéaires...........................................155

6.1 L"essentielducours........................................... 155

6.2 Exercices.................................................... 156

© Dunod - La photocopie non autorisée est un délit viTable des matières Chapitre 7. Réduction des endomorphismes..............................164

7.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 164

7.2 Exercicesd'entraînement...................................... 189

7.3 Exercices d'approfondissement................................. 206

Chapitre 8. Espaces préhilbertiens.......................................223

8.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 223

8.2 Exercicesd'entraînement...................................... 237

8.3 Exercices d'approfondissement................................. 242

Chapitre 9. Espaces euclidiens...........................................248

9.1 L'essentielducoursetexercicesd'assimilation................... 248

9.2 Exercicesd'entraînement...................................... 258

9.3 Exercices d'approfondissement................................. 277

Chapitre 10. Quadriques et coniques.....................................295

10.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 295

10.2 Exercices d'entraînement ...................................... 305

10.3 Exercices d'approfondissement................................. 311

Chapitre 11. Étude afne et métrique des courbes........................314

11.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 314

11.2 Exercices d'entraînement ...................................... 335

11.3 Exercices d'approfondissement................................. 350

Chapitre 12. Surfaces....................................................357

12.1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation................... 357

12.2 Exercices d'entraînement et d'approfondissement ................ 359

12.3 Quelques surfaces usuelles..................................... 365

Chapitre 13. Compléments de géométrie.................................368

13.1 Géométrie afne.............................................. 368

13.2 Géométrie afne euclidienne................................... 371

13.3 Isométries vectorielles et afnes en dimension 3.................. 378

13.4 Lieux géométriques ........................................... 386

13.5 Extrema...................................................... 394"doc-MP" (Col. : 100 % Concours 17

Présentation de la série

" Tous les exercices de mathématiques » L"évolution récente de l"enseignement des disciplines scientiques dans les C.P.G.E s"est concrétisée par la dénition d"un nouveau programme de première année en

2003 et de seconde année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de com-

bler le fossé grandissant entre la classe terminale et les classes préparatoires. La progression est explicitement imposée par le nouveau programme qui prévoit notam- ment " un programme de début de l"année », qui exclut la présentation abstraite des concepts au prot d"une démarche fondée sur l"exemple comme point de départ de la conceptualisation, qui préconise l"approche algorithmique en complément de l"ap- proche démonstrative et qui légitime la démarche expérimentale en mathématiques par l"utilisation des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquement uti- lisés dans de nombreux concours, notamment dans le concours commun " Centrale - Supélec ». Mais les programmes des classes préparatoires ne sont pas les seuls à avoir évolué, les programmes de l"enseignement secondaire ont fait l"objet d"une évolution préalable. Enn, l"attitude nouvelle des élèves face aux disciplines scien- tiques rend inefcace l"approche axiomatique et leur appropriation grandissante de l"outil informatique nécessite d"intégrer cet outil à la pédagogie. L"ensemble de ces changements rend impérative la rédaction de nouveaux ouvrages. On constate que c"est davantage la structure, l"ordre des thèmes abordés, l"esprit du programme qui ont évolué, le fond étant resté relativement stable. Sur ce fond, que nous n"avons pas la prétention de renouveler, il existe déjà une abondante et excellente littérature; nous revendiquons une continuité par rapport à nos illustres prédécesseurs et nous nous sommes largement inspirés de leurs écrits pour y pui- ser exercices et sujets en nous efforçant de les présenter en parfaite cohérence avec l"esprit du programme actuel. Car cette nouvelle collection répond à une nécessité : entièrement rédigée après la parution des nouveaux programmes et le début de leur miseenoeuvre,ellegarantituneparfaitecompatibilitéentrelarédactiondesouvrages et les préconisations du programme... ce que n"aurait pu assurer sans risque d"ano- malies une simple remise en forme d"une rédaction antérieure. Tous les ouvrages de © Dunod - La photocopie non autorisée est un délit viiiPrésentation de la série " Tous les exercices de mathématiques » cette collection sont écrits trois ans après l'apparition des nouveaux programmes et en respectent scrupuleusement l'esprit. Les rédacteurs ont enseigné et interrogé dans le cadre de l'ancien et du nouveau pro- gramme, ils perçoivent donc parfaitement l'importance de l'évolution. Leur expé- rience de l'enseignement en classes préparatoires et à l'Université, leur interven- tion régulière en " colles », leur participation aux concours comme interrogateurs à l'oral et/ou correcteurs à l'écrit permettent d'afrmer qu'il s'agit d'équipes très " professionnelles». L'équilibre entre la pluralité des approches qui enrichit le fond et la cohérence de la forme qui renforce l'efcacité est le résultat d'un véritable travail collaboratif, d'une maîtrise d'oeuvre rigoureuse et de sources d'inspiration précieuses... citons particulièrement pour les exercices d'oral laRevue de Mathé- matiques Spéciales,l'Ofciel de la Taupeet lesArchives des Professeurs de Spé du Lycée Henri Poincaré de Nancyen particulier celles constituées par Walter APPEL. Cette collection a l'ambition de faire bénécier le lecteur de l'expertise profession- nelle des rédacteurs, chaque ouvrage est donc rédigé avec un souci de rigueur et de clarté au service de la pédagogie, souci qui s'exprime dans quelques principes :

- La qualité de rédaction aboutie exigée des élèves nécessite que les auteurs soient