[PDF] Leçon 229 : Fonctions monotones Fonctions convexes Exemples et

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Leçon 229 : Fonctions monotones. Fonctions

convexes. Exemples et applications.

1 Fonctions monotones

Définition 1.SoitIun intervalle deRet soitf:I!R. On dit quefest croissante si pour tousx,y2I,xÇy)f(x)6f(y). On dit qu"elle est strictement croissante si l"inégalité est stricte. On dit qu"elle est (stricte- ment) décroissante si¡fest (strictement) croissante. On dit qu"elle est monotone si elle est croissante ou décroissante. Proposition 2.Une application monotone est injective ssi elle est stricte- ment monotone. Application3.Spotf:I!Rmonotonetellequef(I)µIetsoit(un)suite définie par récurrenceunÅ1AEf(un) etu02I.

1. Sifest croissante, alors (un) est monotone et son sens de monoto-

nie est déterminé par le signe deu1¡u0.

2. Sifest décroissante, alorsf±fest croissante et les suites (u2k) et

(u2kÅ1) sont monotones.

Théorème 4.Soit f:]a,b[!Rmonotone. Alors f admet une limite (dansR) à gauche en tout point de[a,b[et une limite à droite en tout point de

]a,b]. De plus, pour tout x2]a,b[, f(x¡)6f(xÅ). Théorème5.L"ensemble des points de discontinuité d"une fonction mono- tone est au plus dénombrable. Proposition 6.Soit f:I!Rmonotone. Alors f est continue sur I ssi f(I) est un intervalle. Corollaire 7.Soit f:I!Rstrictement monotone et continue. Alors JAE

f(I)est un intervalle et f induit un homéomorphisme de I sur J.Théorème 8.Soit f: ]a,b[!Rdérivable. Alors f est croissante ssi f0>0,

et f est décroissante ssi f 060.
Application 9.Soitf:RÅ!RÅcontinue, positive et décroissante. AlorsPn kAE0f(k)¡Rn

0f(t)dtestdécroissanteetconvergedansRÅ.Enparticulier,

la sérieP n2Nf(n) etRÅ1

0f(t)dtont même nature.

Exemple10.LasérieP

etl"intégraleRÅ1 11t dtontmêmenature(di- vergente) etHn¡log(n)!°où°est la constante d"Euler.

2 Fonctions convexes

Définition 11.SoitCµRd. On dit queCest convexe si pour tousx,y2C, pour tout¸2[0,1],¸xÅ(1¡¸)y2C. Définition 12.SoitCµRdun convexe et soitf:C!Rd. On dit quef est convexe si pour tousx,y2C, pour tout¸2[0,1],f¡¸xÅ(1¡¸y)¢6 ¸f(x)Å(1¡¸)f(y). On dit quefest strictement convexe si l"inégalité est stricte lorsquex6AEyet¸2]0,1[. Proposition 13.Soit I un intervalle deR. Alors f:I!Rest convexe ssi pour tout x

02I, l"application pente px0:

p x0I\{x0}¡!R x7¡!f(x)¡f(x0)x¡x0 est croissante. Corollaire 14(inégalité des trois pentes).Soit f:I!Rconvexe et soient aÇbÇc2I. Alors : f(b)¡f(a)b¡a6f(c)¡f(a)c¡a6f(c)¡f(b)c¡b 1 Proposition 15.Soit f:I!Rconvexe. Alors f admet en tout point de°I une dérivée à gauche et à droite. Elle est donc continue en tout point de

°I et

de plus, f

0get f0

dsont croissantes et vérifient f0g6f0 d. Théorème 16.Soit f:I!Rdérivable. Les assertions suivantes sont équi- valentes :

1. f est convexe.

2. La courbe représentative de f est au-dessus des tangentes.

3. f

0est croissante.

4. En supposant f deux fois dérivables, f

00>0.

Application 17(quelques inégalités).

1.8x1,...,xnpositifs, (x1¢¢¢xn)1n

6x1Å¢¢¢Åxnn

2.8a,bpositifs etp,q2]1,Å1[ tels que1p

Å1q

AE1, on aab6app

Åaqq

3. Sif2Lpetg2Lqavecp,qcomme précédemment, alorsf g2L1et

Leçon 229 : Fonctions monotones. Fonctions

convexes. Exemples et applications.

1 Fonctions monotones

Définition 1.SoitIun intervalle deRet soitf:I!R. On dit quefest croissante si pour tousx,y2I,xÇy)f(x)6f(y). On dit qu"elle est strictement croissante si l"inégalité est stricte. On dit qu"elle est (stricte- ment) décroissante si¡fest (strictement) croissante. On dit qu"elle est monotone si elle est croissante ou décroissante. Proposition 2.Une application monotone est injective ssi elle est stricte- ment monotone. Application3.Spotf:I!Rmonotonetellequef(I)µIetsoit(un)suite définie par récurrenceunÅ1AEf(un) etu02I.

1. Sifest croissante, alors (un) est monotone et son sens de monoto-

nie est déterminé par le signe deu1¡u0.

2. Sifest décroissante, alorsf±fest croissante et les suites (u2k) et

(u2kÅ1) sont monotones.

Théorème 4.Soit f:]a,b[!Rmonotone. Alors f admet une limite (dansR) à gauche en tout point de[a,b[et une limite à droite en tout point de

]a,b]. De plus, pour tout x2]a,b[, f(x¡)6f(xÅ). Théorème5.L"ensemble des points de discontinuité d"une fonction mono- tone est au plus dénombrable. Proposition 6.Soit f:I!Rmonotone. Alors f est continue sur I ssi f(I) est un intervalle. Corollaire 7.Soit f:I!Rstrictement monotone et continue. Alors JAE

f(I)est un intervalle et f induit un homéomorphisme de I sur J.Théorème 8.Soit f: ]a,b[!Rdérivable. Alors f est croissante ssi f0>0,

et f est décroissante ssi f 060.
Application 9.Soitf:RÅ!RÅcontinue, positive et décroissante. AlorsPn kAE0f(k)¡Rn

0f(t)dtestdécroissanteetconvergedansRÅ.Enparticulier,

la sérieP n2Nf(n) etRÅ1

0f(t)dtont même nature.

Exemple10.LasérieP

etl"intégraleRÅ1 11t dtontmêmenature(di- vergente) etHn¡log(n)!°où°est la constante d"Euler.

2 Fonctions convexes

Définition 11.SoitCµRd. On dit queCest convexe si pour tousx,y2C, pour tout¸2[0,1],¸xÅ(1¡¸)y2C. Définition 12.SoitCµRdun convexe et soitf:C!Rd. On dit quef est convexe si pour tousx,y2C, pour tout¸2[0,1],f¡¸xÅ(1¡¸y)¢6 ¸f(x)Å(1¡¸)f(y). On dit quefest strictement convexe si l"inégalité est stricte lorsquex6AEyet¸2]0,1[. Proposition 13.Soit I un intervalle deR. Alors f:I!Rest convexe ssi pour tout x

02I, l"application pente px0:

p x0I\{x0}¡!R x7¡!f(x)¡f(x0)x¡x0 est croissante. Corollaire 14(inégalité des trois pentes).Soit f:I!Rconvexe et soient aÇbÇc2I. Alors : f(b)¡f(a)b¡a6f(c)¡f(a)c¡a6f(c)¡f(b)c¡b 1 Proposition 15.Soit f:I!Rconvexe. Alors f admet en tout point de°I une dérivée à gauche et à droite. Elle est donc continue en tout point de

°I et

de plus, f

0get f0

dsont croissantes et vérifient f0g6f0 d. Théorème 16.Soit f:I!Rdérivable. Les assertions suivantes sont équi- valentes :

1. f est convexe.

2. La courbe représentative de f est au-dessus des tangentes.

3. f

0est croissante.

4. En supposant f deux fois dérivables, f

00>0.

Application 17(quelques inégalités).

1.8x1,...,xnpositifs, (x1¢¢¢xn)1n

6x1Å¢¢¢Åxnn

2.8a,bpositifs etp,q2]1,Å1[ tels que1p

Å1q

AE1, on aab6app

Åaqq

3. Sif2Lpetg2Lqavecp,qcomme précédemment, alorsf g2L1et