[PDF] Groupe des nombres complexes de module 1

217473

Universite Claude Bernard{Lyon I

Agregation de Mathematiques : Algebre & geometrie

Annee 2008{2009Groupe des nombres

complexes de module 1

A ne pas rater

Exponentielle complexe et (mesure des) angles.

Sous-groupes : nis ou denses. Un sous-groupe ni de cardinalnpour toutn1. Recommande : tout groupe de Lie compact connexe abelien est \une puissance" deU. Racines de l'unite, polyn^omes cyclotomiques, applications. Dual d'un groupe abelien ni. Recommande : sommes de Gauss, reciprocite quadratique. En rapport avec le point precedent : morphismes continusU!Uet series de Fourier.

I Le groupe U

1

Denition, premieres proprietes

On noteUle noyau du morphismejj:C!R+. C'est un groupe compact, connexe, abelien. 2

La suite exacte1!2Z!R!U!1

PropositionL'application':R!U,t7!eitest un morphisme de groupes. Il est surjectif, et son noyau est un sous-groupe discret deR. DenitionOn appellele reel positif tel queKer'= 2Z. (Sens : un sous-groupe discret de

Rest monogene.)

Premiere approche :Par restriction de l'exponentielle exp :C!C, comme suggere par B. Bautheney. Ref. : P. Tauvel,Analyse complexe pour la licence 3,x3.7 (Dunod, 2006). Deuxieme approche(moins elegante mais plus elementaire) : On denit deux fonctions cos;sin :R!R, soit par leur developpement en serie entiere, soit comme les solutions de l'equation dierentielley00+y= 0 avec les \bonnes" conditions en 0. On en deduit que sin0= cos et que cos

0=sin. Partant : (1) on montre que cos s'annule au moins une fois surR+; on

notele double du plus petit zero ; (2) on montre que les deux fonctions sont 2-periodiques ; (3) on retrouve leur tableau de variations ; (4) on en deduit : LemmeSoit(x;y)2R2. Il existe un reel, unique a2pres, tel quex= cosety= sin. (Dans la premiere approche, il faudra citer ce lemme quand m^eme pour la suite.) 3

Nombres complexes de module1, rotations et angles

On considereCcomme un espace vectoriel de dimension 2, qu'on munit de la norme euclidienne dont le carre est le carre du module. On denit une rotation comme une isometrie vectorielle directe. Fixons une base orthonormee, disons (1;i). Alors les rotations sont les applications lineaires dont la matrice est orthogonale et de determinant 1. Notons le groupeSO(2) de ces matrices. On verie sans peine qu'il est abelien. On prouve alors avec ce qui precede :

LemmeL'application :R!SO(2),t7!cossin

sincos est un morphisme de groupes.

Il est surjectif, et son noyau est2Z.

CorollaireLes groupesUetSO(2)sont isomorphes aR=2Z. 1

Inter^et geometrique : mesure des angles

En eet, sachant que les rotations s'identient canoniquement aux angles en dimension 2, on peut denir la mesure d'un anglecomme tout reel2Rtel queeisoit le complexe de module

1 associe a la rotation d'angle.

RemarqueEst-ce que la mesure d'un angle est canonique ? Non, car l'identication entre rotations et matrices orthogonales dependa prioridu choix d'une base. En fait, la commutativite deUet deSO(2)permet de montrer qu'il ne depend que du choix d'une orientation. 4

Sous-groupes de U

Proposition(i)Les sous-groupes deUsont nis ou denses. (ii)Pour toutn2N,Upossede un unique sous-groupe d'ordren. PropositionUn sous-groupe dense monogene deUest \uniformement reparti" au sens suiv- ant : si on noteun generateur, alors, pour tout intervalle[a;b][0;2[, on a : lim n!+1#k2[n;n]; k2[a;b]2n=ba2:

Ref. :Chambert-Loir, Fermigier, Gianella.

5

Un zeste de geometrie

Ce paragraphe enrichit le plan, mais serait un developpement un peu trop elementaire. (a) Interpretation geometrique de la loi de groupe Soitz1;z22Uetw=z1z2. On peut construire geometriquementwcomme intersection du cercle et de la droite parallele a la droite contenantz1etz2(ou la tangente au cercle siz1=z2) qui passe par le point 1, autre que 1. En eet, siiest un argument dezi(i= 1;2), on a : cos2cos1cos(1+2)1 sin2sin1sin(1+2) = 0: Ceci regle le cas generique {pourquoi ? Il faut par ailleurs verier que les cas \degeneres" marchent aussi : si1=2[2] ou si1+2= 0 [2]. z 1 z 2 z 1z2z

1=z2z21z1

z

2=z111

(b) Parametrage rationnel de U NotonsJle point de coordonnees (1;0), et, pourt2R,Ttle point de coordonnees (1;t). On noteMtl'intersection de la droite (JTt) et du cercleU=f(x;y)2R2; x2+y2= 1g. Gr^ace au theoreme de l'angle inscrit et a l'expression de coset sinen fonction det= tan(=2), on montre que les coordonnees deMtsont1t21+t2;2t1+t2 . La correspondancet7!Mtetablit une bijection bicontinueR!Un fJg, qu'on peut prolonger aR[ f1g !Upar1 7!J. RemarqueCeci permet d'identierUa la droite projective reelle ou au compactie d'Alexandrov deR. (Si on remplaceRparR2, les deux ne concident pas.)

LemmeSoitt2R. Alorst2Q()1t11+t2;2t1+t22Q.

Application :Resolution de l'equationx2+y2=z2dansZ. 2

II Groupes de Lie compacts abeliens connexes

Dans ce paragraphe, on appelle groupe de Lie un sous-groupe ferme de GL n(R) ou GLn(C). Les numeros entre crochets se referent a Mneimne{Testard,Groupes de Lie classiques. TheoremeUn groupe de Lie connexe abelien compact est isomorphe aUn(n= dimension). Demonstration :SoitGun groupe de Lie connexe abelien compact etgson algebre de Lie [x3.4] : c'est une sous-algebre de Lie d'une algebre de matrices. CommeGest abelien,gl'est aussi [Formule 3.4.1.2 apres reinsertion de exp(X=n)], si bien que la restriction de l'exponentielle des matrices a exp :g!Gest un morphisme de groupe. De plus, on sait queGest engendre par un voisinage de l'unite [Propriete 2.4.2], et que l'exponentielle est un homeomorphisme local degsurG[Theoreme 3.4.3], si bien queGest engendre par l'image d'un voisinage de 02g[voir aussi 3.4.2.1]. Avec le premier fait, cela entra^ne que l'exponentielle exp :g!Gest surjective. Le fait que l'exponentielle soit un homeomorphisme local entra^ne aussi que son noyau est un sous-groupediscretdeg[verier]. Or, comme groupe de Lie,gest isomorphe aRnpour n= dimRg[evident !]. Et on sait que les sous-groupes discrets deRnsont de type ni (ce sont des reseaux de l'espace vectoriel qu'ils engendrent). Ainsi, il existee1;:::;ed2gtels que

Kerexp =Ze1 Zed:

Ceci montre que, comme groupes topologiques,

G'g=Kerexp'(R=Z)dRnd;

d'ou l'on deduit par l'hypothese de compacite quen=d.2 PropositionPour tout groupe de Lie compact connexeG,exp : LieG!Gest une surjection. En eet, l'exponentielle est surjective est sur les groupes connexes compacts abeliens, et un

Universite Claude Bernard{Lyon I

Agregation de Mathematiques : Algebre & geometrie

Annee 2008{2009Groupe des nombres

complexes de module 1

A ne pas rater

Exponentielle complexe et (mesure des) angles.

Sous-groupes : nis ou denses. Un sous-groupe ni de cardinalnpour toutn1. Recommande : tout groupe de Lie compact connexe abelien est \une puissance" deU. Racines de l'unite, polyn^omes cyclotomiques, applications. Dual d'un groupe abelien ni. Recommande : sommes de Gauss, reciprocite quadratique. En rapport avec le point precedent : morphismes continusU!Uet series de Fourier.

I Le groupe U

1

Denition, premieres proprietes

On noteUle noyau du morphismejj:C!R+. C'est un groupe compact, connexe, abelien. 2

La suite exacte1!2Z!R!U!1

PropositionL'application':R!U,t7!eitest un morphisme de groupes. Il est surjectif, et son noyau est un sous-groupe discret deR. DenitionOn appellele reel positif tel queKer'= 2Z. (Sens : un sous-groupe discret de

Rest monogene.)

Premiere approche :Par restriction de l'exponentielle exp :C!C, comme suggere par B. Bautheney. Ref. : P. Tauvel,Analyse complexe pour la licence 3,x3.7 (Dunod, 2006). Deuxieme approche(moins elegante mais plus elementaire) : On denit deux fonctions cos;sin :R!R, soit par leur developpement en serie entiere, soit comme les solutions de l'equation dierentielley00+y= 0 avec les \bonnes" conditions en 0. On en deduit que sin0= cos et que cos

0=sin. Partant : (1) on montre que cos s'annule au moins une fois surR+; on

notele double du plus petit zero ; (2) on montre que les deux fonctions sont 2-periodiques ; (3) on retrouve leur tableau de variations ; (4) on en deduit : LemmeSoit(x;y)2R2. Il existe un reel, unique a2pres, tel quex= cosety= sin. (Dans la premiere approche, il faudra citer ce lemme quand m^eme pour la suite.) 3

Nombres complexes de module1, rotations et angles

On considereCcomme un espace vectoriel de dimension 2, qu'on munit de la norme euclidienne dont le carre est le carre du module. On denit une rotation comme une isometrie vectorielle directe. Fixons une base orthonormee, disons (1;i). Alors les rotations sont les applications lineaires dont la matrice est orthogonale et de determinant 1. Notons le groupeSO(2) de ces matrices. On verie sans peine qu'il est abelien. On prouve alors avec ce qui precede :

LemmeL'application :R!SO(2),t7!cossin

sincos est un morphisme de groupes.

Il est surjectif, et son noyau est2Z.

CorollaireLes groupesUetSO(2)sont isomorphes aR=2Z. 1

Inter^et geometrique : mesure des angles

En eet, sachant que les rotations s'identient canoniquement aux angles en dimension 2, on peut denir la mesure d'un anglecomme tout reel2Rtel queeisoit le complexe de module

1 associe a la rotation d'angle.

RemarqueEst-ce que la mesure d'un angle est canonique ? Non, car l'identication entre rotations et matrices orthogonales dependa prioridu choix d'une base. En fait, la commutativite deUet deSO(2)permet de montrer qu'il ne depend que du choix d'une orientation. 4

Sous-groupes de U

Proposition(i)Les sous-groupes deUsont nis ou denses. (ii)Pour toutn2N,Upossede un unique sous-groupe d'ordren. PropositionUn sous-groupe dense monogene deUest \uniformement reparti" au sens suiv- ant : si on noteun generateur, alors, pour tout intervalle[a;b][0;2[, on a : lim n!+1#k2[n;n]; k2[a;b]2n=ba2:

Ref. :Chambert-Loir, Fermigier, Gianella.

5

Un zeste de geometrie

Ce paragraphe enrichit le plan, mais serait un developpement un peu trop elementaire. (a) Interpretation geometrique de la loi de groupe Soitz1;z22Uetw=z1z2. On peut construire geometriquementwcomme intersection du cercle et de la droite parallele a la droite contenantz1etz2(ou la tangente au cercle siz1=z2) qui passe par le point 1, autre que 1. En eet, siiest un argument dezi(i= 1;2), on a : cos2cos1cos(1+2)1 sin2sin1sin(1+2) = 0: Ceci regle le cas generique {pourquoi ? Il faut par ailleurs verier que les cas \degeneres" marchent aussi : si1=2[2] ou si1+2= 0 [2]. z 1 z 2 z 1z2z

1=z2z21z1

z

2=z111

(b) Parametrage rationnel de U NotonsJle point de coordonnees (1;0), et, pourt2R,Ttle point de coordonnees (1;t). On noteMtl'intersection de la droite (JTt) et du cercleU=f(x;y)2R2; x2+y2= 1g. Gr^ace au theoreme de l'angle inscrit et a l'expression de coset sinen fonction det= tan(=2), on montre que les coordonnees deMtsont1t21+t2;2t1+t2 . La correspondancet7!Mtetablit une bijection bicontinueR!Un fJg, qu'on peut prolonger aR[ f1g !Upar1 7!J. RemarqueCeci permet d'identierUa la droite projective reelle ou au compactie d'Alexandrov deR. (Si on remplaceRparR2, les deux ne concident pas.)

LemmeSoitt2R. Alorst2Q()1t11+t2;2t1+t22Q.

Application :Resolution de l'equationx2+y2=z2dansZ. 2

II Groupes de Lie compacts abeliens connexes

Dans ce paragraphe, on appelle groupe de Lie un sous-groupe ferme de GL n(R) ou GLn(C). Les numeros entre crochets se referent a Mneimne{Testard,Groupes de Lie classiques. TheoremeUn groupe de Lie connexe abelien compact est isomorphe aUn(n= dimension). Demonstration :SoitGun groupe de Lie connexe abelien compact etgson algebre de Lie [x3.4] : c'est une sous-algebre de Lie d'une algebre de matrices. CommeGest abelien,gl'est aussi [Formule 3.4.1.2 apres reinsertion de exp(X=n)], si bien que la restriction de l'exponentielle des matrices a exp :g!Gest un morphisme de groupe. De plus, on sait queGest engendre par un voisinage de l'unite [Propriete 2.4.2], et que l'exponentielle est un homeomorphisme local degsurG[Theoreme 3.4.3], si bien queGest engendre par l'image d'un voisinage de 02g[voir aussi 3.4.2.1]. Avec le premier fait, cela entra^ne que l'exponentielle exp :g!Gest surjective. Le fait que l'exponentielle soit un homeomorphisme local entra^ne aussi que son noyau est un sous-groupediscretdeg[verier]. Or, comme groupe de Lie,gest isomorphe aRnpour n= dimRg[evident !]. Et on sait que les sous-groupes discrets deRnsont de type ni (ce sont des reseaux de l'espace vectoriel qu'ils engendrent). Ainsi, il existee1;:::;ed2gtels que

Kerexp =Ze1 Zed:

Ceci montre que, comme groupes topologiques,

G'g=Kerexp'(R=Z)dRnd;

d'ou l'on deduit par l'hypothese de compacite quen=d.2 PropositionPour tout groupe de Lie compact connexeG,exp : LieG!Gest une surjection. En eet, l'exponentielle est surjective est sur les groupes connexes compacts abeliens, et un